离散系统的数学模型辨识

系统模型的辨识与仿真

摘要：系统传递函数是系统模型的数学形式，广泛地应用于自动控制领域。通过已知输入信号与输出信号的采样结果，利用矩阵运算与系统辩识技术，客观地求出了系统真实的传递函数并利用Matlab仿真对其进行了验证。经过大量的实践，该技术现已成功应用于实际工程之中。

关键词：系统辨识；系统仿真；数字模型

Identification And Simulation Of System Model Abstract：The system transfer function is the mathematical form of system model，which is widely used in the field of automatic control. With the known input signal and output signal sampling results，the true transfer function of system is derived objectively by using matrix operations and system identification technology，and verified by means of Matlab simulation．It has been successfully applied to the practical engineering．Keywords：system identification；system simulation；digital model

0 引言

系统是一个内涵十分丰富的概念，从广义上来讲，系统是指具有某些特定功能、相互联系、相互作用的元素的集合。系统的数字模型则是用抽象的数学方程描述系统内部物理变量之间的关系。通过对系统的数字模型的研究可以揭示系统的内在运动和系统的动态性能。对于一些简单的系统，可以通过基本定律如牛顿定律、基尔霍夫定律建立数字模型，这种建模方法通常称之为“机理建模法”。而对于很多系统，由于系统的复杂性，难于写出用数学表达式表示的数字模型，则必须利用实验方法获得实验数据，通过系统辨识技术建立数字模型。因为数字模型是系统仿真的研究依据，所以数字模型的准确性是十分重要的。凡是需要通过实验数据确定数学模型和估计参数的场合都要利用辨识技术，辨识技术已经推广到工程和非工程的许多领域。

1理论基础

数字模型的基本形式多为传递函数形式，所谓传递函数是基于拉氏变换引入的描述线性定常系统或线性元件的输入一输出关系的一种最常用的函数。传递函数全面反映线性定常系统或线性元件的内在固有特性。假设线性定常系统或元件在输入信号x1t与输出信号x2t间的内在特性可用线性常系数微分方程表示，在信号x1t与x2t的初始条件为零的条件下，通过拉氏变换则有式(1)：

G s=X2s

X1S =b m s m+b m?1s m?1+?+b1s+b0

a n s+a n?1s+?+a1s+a0

(1)

在初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换式X2s与其输入信号的拉氏变换式X1S之比，称为该系统或元件的

传递函数，通常记为G s=X2s

X1S

。

离散系统的广泛应用形式是以数字计算机，特别是以微型数字计

算机为控制器的所谓数字控制系统。也就是说，数字控制系统是一

种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭

环控制系统。因此，数字控制系统包括工作于离散状态下的数字计

算机和工作于连续状态下的被控对象两大部分。数字控制系统的方

框图如图1所示。

当然，在输入与输出之间，可以建立一个基于“特殊傅里叶变化”的传递函数来仿真此过程，这个传递函数就可以认为是“离散系统

模型”。这里不妨设它为G F(z)，对于客观存在的实际系统，此模型

存在通式，通式为式(2)：

C z=G F(z)?R(z)=b0+b1z?1+b2z?2+?+b n z?n

1+a1z+a2z+?+a n z

(2)

这就是“基于离散系统模型的系统辨识技术”的基础模型，即将离

散系统的数学模型进行z变换，将差分信号转换化简单的代数方程，

使进一步的求解简单化。其中，G F(z)为“离散系统模型”，R(z)为

输入信号，C(z)为输出采样结果。

傅式变换的目的是求解时域信号的频域组成成分，将时域信号转换成频域信号，为进

一步分析，求出的即是传递函数。拉氏变换是傅氏的反变换，目的是为了快速求解常

系数微分方程。离散傅立叶变换为傅立叶变换的特殊形式，就是要分析的时域信号是

离散的。z变换就是对离散系统的数学模型——差分方程转化为简单的代数方程，使求

解简单化。前两个针对连续的，后两个针对离散的。傅式是时频域变换，拉式是求解

方程。

2 理想系统验证

以经典模型为例，验证此方法的可行性与准确度。数字控制系统方框图如下图2所示:

通过z变换，根据开环传递函数：

G s=1?e?T0s

s ?k

s(s+a)

（3）

求取开环脉冲传递函数：

G z=z G(s)=1?z?1?z1

s ?k

s s+a

(4)

转化后有：

G z=k aT0 ?1+e?aT0z+1?e?aT0?aTe?aT0

a2z?1z?e?aT0

(5)

当R(z)为单位阶跃信号，参数a，k与T0取1时，可算得式(6)，式(7)：

C(z) R(z)=0.368z+0.264

z?z+0.632

(6)

C z=0.368z2+0.264z

z3?2z2+1.632z?0.632

(7)

由此可知，对于单位阶跃信号R(z)，通过此系统后的采样输出为C(z)。

现在，仅依靠单位输入信号R(z)与采样输出信号C(z)，应用“基于离散系统模型的系统辨识技术”方法，利用已有的程序，通过参数估计，不难求得：

C z=0.3680z2+0.2600z

z3?2.0002z2+1.6321z?0.6319 (8)

与原始模型高度吻合，在工业控制与仿真中可以应用。因此，此方法在理论上是可行的，且精准度较高。

3实际工程应用

此思想经过系统仿真和详细计算，取得了较为完整的数据，并将

它应用到某系列天线伺服系统中，实际控制分析结果和预期十分吻合，现将设计过程介绍如下。

3．1 结构分析

要研究面向对象控制，先要对对象体有较为完整的认识，针对某

型号单电机伺服天线，简化的数字控制系统基本模型如图3所示。

若将“ACU”部分看为一个整体，设传递函数为G1s；设“保持器”部分传递函数为G H(s)；“PDU”视为反馈环节，设传递函数为H(s)；“ADU”、“伺服电机”和“被控对象”与“电流环路”、“速度环路”归为一体，设传递函数为G0s。则系统方框图可简化为图4。

实际上，观测到的并非是真实的天线位置C，而是通过轴角编码器

处理过显示在ACU上的的数字信号C0。因此，从某种意义上讲，真实

的控制对象并非是天线，而是轴角编码器上报给ACU的数字信号。当然，前期的测量与校验工作充分证实了在误差容许的范围之内，C与

C0在空间范围内等同，即，控制轴角编码器的数字信号等同于控制

天线的空间姿态。因此，在测试中可以将系统理想化为单位负反馈

系统，也就是认为PDU的传递函数H(s)为常量1。同时，为了方便测试，不给系统环路带来更多的微分、积分与惯性环节，在测算过程中，人为地将G1s作成单纯的比例调节器K。而由于z变换的需要，

G H(s)与G0s在变换中将归为一体，设变换后的传递函数为G(z)，

系统方框图可进一步简化，如图5所示。

这样简化的优点是使复杂的系统具有了简单明了的传递结构，但

同时，非线性因素介入其中，为后期的参数估计带来不便。

3．2 采样

由于“基于离散系统模型的系统辨识技术”对数据的依赖性极高，因此，采样过程相对比较规范。首先，要定性采样，即要保证被测

模型间关系相对稳定。以方位采样为例：在对方位采样时，起始转角、转向、天线状态(如俯仰角度，使能状态)等要基本相同。其次，要定量采样，即通过改变比例系数K完成多状态采集。采样内容要覆

盖面广，必须包括欠阻尼、过阻尼过程。如天线条件允许，甚至可

以包括振荡过程(或阻尼系数善较小的)。丰富的采样数据可以展现

出模型的各个性能，揭示非线性状态，这样有利于模型的建立。最后，要符合概率统计的基础原理，即针对同一状态对此采样。因为

采样过程本身就是一个概率事件，大量的数据有利于揭示数据本质。

3．3数据处理

面对大量数据，要归一化处理。以顺时针转动，比例系数为0．3，2倍单位阶跃触发信号采样数据结果为

由此可见，各曲线基本吻合，趋势一致，这可以说明数据较为客

观真实且天线线性度较好，可以用于系统辨识。

3．4 系统辨识

基于离散系统模型的系统辨识技术利用已有的程序，通过参数估计，可以求得式(9)：

G z=0.0208z2+0.3498z

(9)

(z?1.2712z+0.3651z?0.0919)(z?1)

3．5 综合处理

由于非线性因素的存在，还需将各组数据统一处理后需汇总统算，以求出最大的模型。经反复试验后可求出开环传递函数G(z)，形式

为式(10)：

G z=0.0330z+0.5697

(10)

z?1.2712z+0.3651z?0.0919

此传递函式广泛使用于采得的各组数据，且吻合度较高。分别以

比例系数为0．5，0．3，0．15三组数据为例。仿真结果对照图如图

7所示。

图7中黑色线为仿真结果，浅灰线为采样结果。模型客观地展示了对象的主要特征。同时对比曲线，可清晰地看到非线性所带来的偏差。

4结束语

模型优于实体，因为模型能够更深刻地反映实际系统的主要特征和运动规律，它是对实际系统更高层次的抽象，本身就是对实体认识的结果。就模型本身而言，其主要特征是被控对象主体机能的体现(如转动惯量、电磁特性等)，因此它能为研究被控对象的特性提供依据(如幅频特性、相频特性、带宽、截止频率等)。同时，在调节控制方面，可依托模型实现仿真，完成最优PID调节甚至是最优信号控制。当然，非线性始终是理论模型的难题。但鉴于此方法是“基于离散系统模型的系统辨识技术”，滞后环节是可以通过运算式辨析于传递函数的。而如死区、迟滞等环节，因为它们同样通过采样数据作用于原始模型中，因而在系统辨识过程中，它们就显现出来了。虽然在综合处理中将其忽略，但在深度研究中也可以此为依据展开分析。

绝对的非线性是不存在的，可以利用分段函数或高阶传递函数逼近非线性环节，甚至可以利用函数来完成非线性环节的仿真。通过使用Matlab下Simulink非线性环节模块，结合现行模型，定能获得更逼真的仿真模型。

系统辨识是一门技术，也是一门艺术。除了控制理论基础与数学能力外还需要积累丰富的经验。只有在进一步辩证的研究过程中才能完善此方法。