大学物理作业(1-5)

1—4 一质点的运动学方程为2t x =，()2

1-=t y (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程：(2)

在2=t s 时，质点的速度和加速度。

[解] (1) 由质点的运动方程 2t x = (1)

()2

1-=t y (2)

消去参数t ，可得质点的轨迹方程

2

1)y =

(2) 由(1)、(2)对时间t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t dt dx v x 2==

()12-==t dt

dy

v y 所以 ()221x y v v t t =+=+-v i j i j r r r r r

(3)

222==dt x

d a x 222==dt

y d a y

所以

22=+a i j r r r

(4) 把t =2s 代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。

42=+v i j r r r

22=+a i j r r r

1—6 质点的运动学方程为()2

22t t =++r i j r r r (S1)，试求：(1)质点的轨道方程；(2)t

＝2s 时质点的速度和加速度。

[解] (1) 由质点的运动方程，可得

2

2,2x t y t ==+

消去参数t ，可得轨道方程

2124

y x =+

(2) 由速度、加速度定义式，有

d /d 22t t ==+v r i j r r r r

22

d /d 2t ==a r j r r r

将t=2s 代入上两式，得

24=+v i j r r r ，

2=a j r r 1—10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bv g a -=，g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t =0时物体的初速度为零。(1)试求物体

的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?

[解] (1) 由dt dv a /=得

dt Bv

g dv

=-

两边积分，得

v

t dv

dt g Bv =-?

?

)1(Bt e B

g

v --=

(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0 由此得收尾速率 v=g/B

1—12 一艘正以速率0v 匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大小与速度的平方成正比，即2kv a -=， k 为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶了x 距离时速度的大小。

[解] dx dv v dt dx dx dv dt dv a ===

dv a

v

dx =

对上式两边积分

??

?-==v v v

v x kv dv dv a

v

dx 0

化简得 0

ln 1v v

k x -=

所以 kx e v v -=0

1—17 火车在曲率半径R ＝400m 的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度

2.0a t =2s m ，求火车的瞬时速率为m 10时的法向加速度和加速度。

[解] 火车的法向加速度 22

2m 25.0400

10===R v a n

方向指向曲率中心

火车的总加速度 ()

22222

m 32.02.025.0=-+=+=t n a a a

设加速度a 与速度v 之间的夹角为θ，则

041282

.025

.0arctg arctg

0'=-==t n a a θ 1—18一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置342t +=θ。(1)在t =2s 时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，θ值为

多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?

[解] 质点的角速度 212d /d t t ==θω

质点的线速度 222.11210.0t t R v =?==ω 质点的法向加速度a n ，切向加速度a t 为

42224.1410.0)12(t t R a n =?==ω (1)

t dt dv a t 4.2/== (2) (1)把t=2s 代入(1)式和(2)式，得此时

)

m/s (8.424.2)m/s (103.224.142224=?=?=?=t n a a

(2)质点的总加速度 2/1622

)136(4.2+=+=t t a a a t n

由 a a t 2

1

=

得 1364.25.04.26+?=t t t

解得 3

3

t =

，t=0.66s 所以 )rad (15.3423=+=t θ

(3) 当t n a a =即 t t 4.24.144=时 有 3

1

6

t =

， t=0.55(s)

附加题目：湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示)。当收绳速度为v 时，试问：(1)船的运动速度u 比v 大还是小?(2)若v ＝常量。船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值?

[解] (1) 由图知 222h s L +=

两边对t 求导数，并注意到h 为常数，得

dt

ds s dt dL L

22= 又dt ds u dt dL v /,/-=-= 所以 Lv=su (1) 即 u/v=L/s>1

因此船的速率u 大于收绳速率v 。

(2) 将(1)式两边对t 求导，并考虑到v 是常量

dt

du

s

dt ds u dt dL v

+= 所以 sa v u =-22

即 32222//)(s v h s v u a =-=

2—3 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，

求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv

(1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 : t

v m kv d d ==- 所以

t m k

v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t

v v t m k v v 0

d d 0

得 t m

k

v v -=0ln

因此 t m

k

e

v v -=0

(2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m

ma f d d d d d d d d ==== 即 x v

mv kv d d =-

所以 v x m

k

d d =-

对上式两边积分 ??=-00

d d v s

v x m k

得到 0v s m

k

-=-

即 k

mv s 0

=

2—3 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为

???

? ??

--=-m kt e k F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方

向，开始沉降处为坐标原点

由牛顿第二定律 t v m

ma f F mg d d ==-- 即 t

v

m ma kv F mg d d ==--

整理得

m

t

kv F mg v d d =--

对上式两边积分

??

=

--t v

m

t kv F mg v

00

d d 得 m

kt

F mg kv F mg -=---ln

即 ???

? ??--=-m kt e k F mg v 1 2—5 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ， 有牛顿第二定律 t

v

m kv mg d d 2=- 整理得 m

t

kv mg v d d 2

=- 对上式两边积分

2

00d d v

t

v

t

m

mg kv =-?? 得 m

t

v

k mg v k mg =

+-ln

整理得 T kg

m t kg m t

kg

m t kg m t

v e

e

k mg e

e v 1

1112222+-=+-=

设极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时 2

T kv mg =

即 k

mg

v T =

3—6 一质量为1m 与另一质量为2m 的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由1x 增加到d x x +=1时所需要作的功。

[解] 万有引力122

?m m G r

=-F r r r

两质点间的距离由x 增加到d x x +=1

时，万有引力所作的功为

111

1

121221111x d

x d x x m m A d G dr Gm m r x d x ++??=?=-=- ?+??

?

?F r r r

故外力所作的功：121111A A Gm m x x d ??

'=-=- ?+??

3—7 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为3f k r =，k 为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r 时的势能。

[解]由势能的定义知r 处的势能E p 为:

???

∞∞∞

==?=r r r

p dr r k fdr r d f E 3ρρ2

2

221r k

r

k r

=

-=∞

3—8 设地球的质量为M ，万有引力恒量为0G ，一质量为m 的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心1R 下降到2R 处时所增加的动能。

[解] 由动能定理(或者根据机械能守恒定律)，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，即：

2

1

02

21

120

12

()[()]()R k R Mm

Mm Mm

E A G dr G G R R r Mm R R G R R ?==-=-----=?

4-5．如图所示，质量为M ＝1.5 kg 的物体，用一根长为l ＝1.25 m 的细绳悬挂在天花板上．今

有一质量为m ＝10 g 的子弹以v 0＝500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s ，设穿透时间极短．求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；

(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．

解 （1） 由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过程系统在水平方向满足动量守恒。

0mv MV mv =+

30()1010(50030)

3.13/1.5

m v v V m s M --?-=

== 对M 进行受力分析有

22

3.131.59.8 1.526.51.25

V T Mg M N l =+=?+?= (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量：

301010(30500) 4.7I p mv mv Ns -=?=-=?-=-

上式中负号表示冲量方向与0v ?

方向相反。

4-8 如图所示，砂子从h ＝0.8m 处下落到以=0v 3s m 的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg 的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。

[解] 如图所示，设t ?时间内落下的砂子的质量为m ?，则m ?的动量改变

水平方向：0x x F t p mv ?=?=?

0300x m

F v N t

?=

=? 竖直方向：

()0y y x F mg t p mv -??=?=-?=-?

0y y x F t p mv ?=?=-?=-?

396y F N ==-或者 400(10)y F N g ==-= 300396F i j =-r r r

497F N = 方法二：

()01m ?=?-p v v r r r

显然有 gh v 21=

()()20

212

021v v m mv mv p +?=?+?=

? 根据动量定理 t ?=?F p r r

所以

2

20212v gh t

m v v t m t p F +??=+??=??=

N 49738.08.921002=+???=

4—14 6月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为111052.1?m ，轨道速度为

m 1093.24?。6个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为111047.1?m 。求：(1)在近日

点地球的轨道速度； (2)在近日点和远日点时地球的角速度。

[解] 设在近日点附近地球的轨道速度为1v ，轨道半径为1r ，角速度为1ω；在远日点地球的轨道速度为2v ，轨道半径为2r ，角速度为2ω。

(1) 取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。

2211v r m v r m 地地=

所以 s m 1003.31047.11093.21052.14

114111221?=????==r v r v (2) s rad 1006.21047.11003.3711

4

111-?=??==r v ω s rad 1093.110

53.11093.27

114222-?=??==r v ω 4—17 有两个质量都等于50kg 的滑冰运动员，沿着相距1.5m 的两条平行线相向运动，速率皆为10s m 。当两人相距为1.5m 时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m 时，角速度变为多大? [解] 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒

(1) 设两人质量均为m ，到转轴的距离为1r ，握住手以后绕中心角速度为1ω，则有： 22111111r mv r mv r m r m ωω+=+

)rad/s (3.1375.0/10/11===r v ω

(2) 设两人相距1.0米时，角速度为2ω，此时系统对转轴的转动惯量为2J ，两人到转轴的

距离为2r ，则

222211112222r m r m r m r m ωωωω+=+

)rad/s (9.295.0/3.1375.0/22221212=?==r r ωω

4—21 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为m 的滑块。弹簧原长为0L ，倔强系数为k 。当t ＝0时，弹簧长度为0L 。滑块得一水平速度0v ，方向与弹簧轴线垂直。t 时刻弹簧长度为L 。求t 时刻滑块的速度v 的大小和方向(用θ角表示)。 [解] 因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即

20220)(2

1

2121L L k mv mv -+= (1) 小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即

=?=v m r L ρ

ρρ恒量

故

θsin 00Lmv mv L =

(2)

由(1)式得 2020

)(L L m

k

v v --=代入(2)式得

202

00

0)(sin

arg L L m

k

v L v L --

=θ

5-5 有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动. 另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v 1和v 2，如图所示. 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 (已知棒绕O 点的转动惯量J=m 1l 2/3).

解：由角动量守恒可以得到 )(212v v l m J +=ω

碰后，由于摩擦产生的阻力矩为：

l

gm dr gr gdm r M rdF

M l

???====0121

μρμμ 由角动量定理，ωJ Mt =

得到，碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间

g

m v v m t 1212)

(2μ+=

5—6 一砂轮直径为1m ，质量为50kg ，以900min r 的转速转动，一工件以200 N 的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在11.8s 内停止转动。求砂轮与工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为

22

1

mR ，其中，m 和R 分别为砂轮的质量和半径)。 [解] 根据动量矩定理， 21Mt J J ωω=- NR M μ-=

21

2J mR =

0=ω 联立得： 5.08

.112002602900215020

=?????

==πωμNt

mR

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l

v 2

□m 1

m O

v 1 A