[资料]《运筹学》课堂作业及答案.docx

第一部分绪论

第二部分线性规划与单纯形法

1判断下列说法是否正确：

(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；

(b)线性规划模型屮增加一个约束条件，可行域的范闱一般将缩小，减少一个约束条件, 可行域的范围一般将扩大；

(c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；

(d)如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含塑标的原点；

(e)对取值无约束的变量Xi ,通常令X J —X) —X i其中

作换入变量；

(g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；

(h)单纯形法计算中，选収最大正检验数九对应的变量Xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；

(i)一旦一个人工变量在迭代屮变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果；

(j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；

(k)若X】，X2分别是某一线性规划问题的最优解，则

X =入］X’十入2X?

也是该线性规

划问题的最优解，其中八，兀可以为任意正的实数；

⑴线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为

mm n —

h均为大于零的常数；

(m) 对一个有n个变量、m个约朿的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好

为Jn个；

(n) 单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行

(o) 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解；

(p) 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；

(q) 线性规划可行域的某一顶点若其日标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优；

(r) 将线性规划约束条件的“W”号及“2”号变换成号，将使问题的最优目标 函数值得到改善；

(s) 线性规划目标函数屮系数最大的变量在最优解屮总是収正的值；

(t) 一个企业利用3种资源生产4种产品，建立线性规划模型求解得到的最优解中，最 多只含有3种产品的组合；

(u) 若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解；

(v) —个线性规划问题求解吋的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数 量

关系相对较小。

【答案】1. 1 (a) (b) (f) (g) (i) (J) (1) (q) (t)正确，(c) (d) (e) (h) (k) (m) (n) (o) (p)

(r) (s) (U) (v)不正确。

2用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、 无

界解或无可行解。

(a) min z — + 4工2 (b) max z = )+ 8.r z

2攵1+孔上1

s. t. & 3文| + 4孔 $ 1. 5

4，孔 $ 0

乃十22

.ri + 才2 0 4 rV 6 2JC \ — 5.7*2 W 0

JT| # 才2°》0 【答案】(a)唯一最优解，z*=3, XL1/2, X 2=0；

(b) 无可行解；

(c) 有可行解，但max 刁无界； (d) 无穷多最优解，z*二66。

1.25表1-6中给出某?求极大化问题的单?纯形表，问表中5，血，6, 〃为何值 时以及表中变ill ：

屈哪一种类型时有：

(a) 表中解为唯一最优解；

(b) 表中解为无穷多最优解之一； (O 表中解为退化的可行解；

(d) 下一步迭代将以4替换基变Mxs ； (e) 该线性规划问题具有无界解； (f) 该线性规划问题无可行解。 表1.6

2小+2工2￡10

s. t. f —才|+ 孔$ 8

巧，兀$ 0

(c) max z = .r\

(ci) max z = 3J T| +

4JTI + 6业12 s. t. y

2工2》4

【答案】1.25(a)dN0, Ci<0, C2<0；

(b)dNO, c】W0, C2W0,但ci, C2 中至少一个为零;(c)d=O,或d>0,而6>0 且d/4—3 / a2；

(d)Ci>0, 3/a2

(e)C2>0, a」WO；

(f)xs为人工变量,且cWO, C2W0。

3某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其屮之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000 1、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。E机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2 km,带轻型炸弹时每升汽油可飞行3 knio 乂知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来冋路程汽油消耗(空载时每升汽油可飞行4 km)外，起飞和降落每次各消耗100 1。有关数据如表1 — 17所示。

表1—17

为了使摧毁敌方军事门标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。要求建立这个问题的线性规划模型。

【答案】用i二1, 2分别代表重型和轻型炸弹，j二1, 2, 3, 4分别代表四个要害部位，Xij为投到第J部位的i种型号炸弹的数量，则问题的数学模型为

min 2 (1 -0.(1 -0. 20)*?? (1 -0.15)*?(1-0. 25)^ (1-0. 08)'"

(1-0. 16)M?(l-0. !2)z?(l-0. 20)%

1.5 X 450 ,1.5 X 480 . 1.5 X 540 , 1.5 X 600

---- 2 ----- -?' ----- 2 ------ 十---- 2---- x,* 十 2 ---- +

1. 75 X 450 , 1. 75 X 480 . 2 X540 . 2X 600

―3—小 + —3—斤+ —y-m + —+

?1- *] 1OO(X|| - J 4 + 丿-+ 匸利+ ￡初+ x:l + ) C 48 000

口W 32

JT II + ” 4”

5 + 才八 + 八 + W 48

几P 0 i1. 2i > =■ 1 ? ???? 4

式中目标函数非线性，但rain z等价于max lg(l/z),因此目标函数可改写为

max lg(l/z)=0. 045 7.m +0. 096 9JT I2 +0. 070 4J*I3 +0. 124 8T U +0. 036 2X2I +

0. 065 6^22 +°? 055 4^23 +0. 096 9^24

4用单纯形法求解下列线性规划 max Z 二 3X| + 4x 2 + x 3

2 兀]+ 3X 2 + x

3 < 1

v X, + 2X 2 + 2X 3 < 3 x ： >0, ./ = 1,2,3 u J 【解】单纯形表:

最优解：X= (1/2, 0, 0, 0, 5/2)；最优值 Z=3/2

max Z = 2Xj + x 2 - 3x 3 + 5x 4

Xj +5兀2 + 3兀3 - 7无4 <

30 (2)

?:

3%! - x 2 + x 3 + x 4 < 10 2兀]一 6兀一兀3 + 4X 4 <

20 >0,7 = 1,...,4

【解】单纯形表:

因为入7=3>0并且4/7<0（匸1,2,3）,故原问题具有无界解，即无最优解。

线性规划的对偶理论与灵敏度分析

2.1写岀下列线性规划问题的对偶问题：

（a ） min N = 3Q +2互 一3JC 3

.T| - 2xz + 3小 + 4工4 =3

x 2 + 3J ?3 + 412— 5

2x\ — 3.r 2 — 7片—4二=2 Tj ? 0,, M 0,丁2 ?力无约束

JI

(b) max N =

I

n

工丿< S (/ = 1,???"小) n

^a lf T, = b, (z = mi + 1 ,???"◎)

r ;无约束

(c) max z =

ik

￡ ￡工?,二心d = l

?2?3?4)

5. t ?丿 _ " ' ■八

x t , > 0

(i — 1 ■???■4 8 j

【答案】

(3)max w —3y\ — 5y2 H~2J /3

*（）

ES

i — 1 k — 1

(d) min z=

工工「宀

J — I I

(f = 1. 2, 3, 4)

(/ = 1, 2, 3) (/ = 1, 2) (/ = 1 ■ 2, 3, 4)

2. 2 Li 知线性规划问题:

M + 2/3 W 3 —2，i + 力一3/3 = 2

s. t. v 3j/]+ 3J /2— 7歹3 =— 3

4?i+ 4/2— 4歹3$ 4 M < 0^2 > 0,夕3无约束

m

(b) min w = 丫 by

i=l

m

〉

J 切“ W Cj (j = 1,…，n }) m

工 5* A 6 (j =山 + 1,…，n 2 )

〉：= Cj

(j = ? + 19 …” w) 1 = 1

?

yi > o (, = 1,???，％) yi 无约束 (i = m\ + 1,…，7心)

y W 0 & = 7712 + 1 ?…5)

(d) max w —

4

1= 1

< ci

.

y, + % i W c z y f + jru + y^2 冬 5

M +力+力+ M 冬C

y, $ o

^,4 V* + 几G $ C tk

乙无约束

max n = g 心十ck 孔十门七

用单纯形法求解得最终单纯形表如表2?2所示。

(a)

求dll 疋12，如2 山23和b, b 2；

⑹求Cl ，c

2

°3。

表2—2

「

4

一 _

轨

工3

3/2 1 0

1 1/

2 -1/2 ?T2

2

1/2 1 0 -1 2 勺一夠

-3

-4

【答案】

2. 2 a 11 = 9 / 2 U2\ = 5/2 a 」2 = 19 (222 = 1 Qi3=4, ?3=2;

“=4心=8。

【解析】(1)由题意可设初始单纯形表的增广矩阵为

由单纯形运算法则可知，(A l :B l ) = (A 3:B.)

助以 9 6/i | — 9 / 2,纠? = 1，a 】？ — 4,6?91 = 5 / 2,Q" — 1,dg — 2,b 、— &— 5 (2)由检验数的计

覧式可知 _

「

C }-(C ^C 2/2) = -3

< 0 _ (c) / 2 - c ：) = 0 0 — (73/2 + 25) = —4

求解上述方程组得：C1=7,C 2=4,C 3=8

2.3已知线性规划问题：

。】53

1 0 :

a 22

°23

1 : 6

2 -

0 1

1/2 ? -1/2 :3/2 r

1 0

-1

2

2 -

使其第4, 5列组成单位矩阵

最终单纯形表的增广矩阵为

「1

(A. 〃」=

L1/2 对矩阵(A 烏5)作初等行变换,

1 0 1 1/2

-1/2： 3/2^ ―? - 2 0 2 1 -1:3^ —>

-9/2 1 4 1 0:8- = (A 3 1/2 1 0 -1 2=2-

-5/2 1 2 0 1U-

-5/2 1 2 0 lb-

iBJ

max z= 10x] + 5化

3JTI +4JC2 ￡ 9

s. t. -<5J?I + 2工2 W 8

、4 . JT2 > 0

用单纯形法求得最终表如表28所示。表2-3

试用灵敏度分析的方法分别判断：

(a)S标函数系数G或C2分别在什么范围内变动，上述最优解不变；

(b)当约束条件右端项b, b2中一个保持不变吋，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变；

(c)问题的冃标函数变为

max 12Q +4乜

时上述最优解的变化；

(d)约束条件右端项rtiL］变为［lJ时上述最优解的变化。

【答案】

2.31 (a) 15/4<^<50, 4/5

(b)24/5WAV16, 9/2GW15

(c)X* =(8/5,0,21/5,0)

(d)X* =(11/3,0,0,2/3)

2.4已知表2—4为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中X,, xs为松弛变量问题的约束为W形式。

表2-4

才

I工2才3Ts

5/201/211/20 45/21一1/20-1/61/3

0-40-4-2（a）写出原线性规划问题；（b）写出原问题的对偶问题；（c）直接由表2—4写出对偶问题的最优解。

【答案】@）原线性规划问题如下：

max z = 6乂1一2乙+10乂3

s. t. <3Q— Z2+ 血W 10

1工1 9 乂2 9 工3 $ 0

Q）原线性规划问题如下：

max z = 6口一2乙 + 10乂3

工2+ 2无3 W 5

s. t. < 3工1一E2+ 乂3 W 10

、4 9 攵2 ,工3 3 0

⑹略；

(c)对偶问题最优解为Y*=(4, 2)o

2.5已知线性规划问题：

max Z~3XY +JC2 +4心

6J?I+ 3乂2+ 5J?3 W 25 s. t. Y 3J?}+

4J?2+5J?3 M 20

勺> o O = 1,2,3) 用单纯形法求解时，其最优解见表2—7。

表2-5

小丿、

Xi 5/31-1/301/3-1/3

才3 3011—1/52/5

G ~初02?o—1/5一3/5

要求:

(a)直接写出上述问题的对偶问题及其最优解。

(b)若问题中X2列的系数变为(3, 2, 3)丫，试问表2?7中的解是否仍为最优解？

(C)若增加一个新的变量X"其相应系数为(2, 3, 2)T。试问增加新变量后表2—7中的最优解是否

发生变化？

【答案】(a)其对偶问题为

min w= 25ji +20力

6力+ 3^2 $ 3

3卩+ 4夕2 2 1

s. t. <

5卩 + 5J/2 > 4

di 必> °

其最优解为开=1 5?* =3/5

(b)zz系数变化后，对偶问题第(2)个约束将相应变为2y】+3y2$3,将y：*, — Y2*代入不满足，

故原问题最优解将发生变化；

2- (3,2)「"5] = 2- ￥>0

(C)相应于新变量”，因有L3/5」 5 ,故原问题最优解将发生变化。

2.6已知线性规划问题：

max N =3Q + 2x2

‘一工1+ 2J?2 W 4

3xi+ 2无2《14

s. t. <

2 M 3

X\ —力

、攵1 口2 2 0

要求：(a)写出它的对偶问题；

(b)应用对偶理论证明原问题和对偶问题都存在最优解。

【答案】(a)略;

(b)容易看出原1〃3题和其对偶问题均存在可行解，据对偶理论，两者均存在最优解。

第三部分运输问题

3.6某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1 000件、2000件和2000

件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各簡店销售不同玩具的赢利额不同(见表3—6)。又知丙百货商店要求至少供应C玩具1 000件，而拒绝进A种玩具。求满足上述条件下使总赢利额为最大的供销分配方案。

表3-6

解：用16减去利润表上的数字，使之变成一个运输问题。由于表3?6中产大于销，因此需要增添一个假想的销地“丁”，其运价为0,其销售虽为500,由于C玩具至少要供给丙百货商店1000件，故将C玩具拆成两个玩具，如表3-6(1)所示。

表3-6(1)

利用伏格尔法求出表3-6(1)运输问题的初始解，求解结果见表3?6(2)。

利用位势法求出表3?6(2)小各空格的检验数，如表3-6(3)o

表3-6(3)

由表3?6(3)可知，所有空格处的检验数均为非负。所以，表3?6(3)中的运输方案即为此问题的最优调运方案，表中将A调拨给丁500件，表明玩具A有500件销不出去。

己知某运输问题的产销平衡表与单位运价表如表所示。表

(a)求最优调拨方案；

⑹如产地III的产量变为130,又B地区需要的115单位必须满足，试重新确定最优调拨方案。

解：第一步：用伏格尔法求初始可行解，求得的初始解，如表3A-3所示。

表3A?3

第二步：用位势法进行最优解的判断。在对应于表3人-3的数字格处填入单位运价，并增加一行一列，在行中填入片，在列中填入坷。令= 0 ,按照u t + V z = Cy (ij G B)求出所有的址和月，并依据S =q?-⑴+匕?)(口wN)计算所有空格处的检验数，计算结果如表3A-3(1)所示。

表3A-3(1)

由表3A-3(1)可知，所有空格处的检验数均为非负。所以，表3A-3(1)中的运输方案即为此问题的最优调运方案，最小运价为7225c

(b)根据题设条件重新列出这个问题的产销平衡表与单位运价表见表3A 一4。

重新求出最优调拨方案见表3A 一5o

表3A-5

第四部分目标规划

给定目标规划问题：

min z = p x?+ p2? d] + p3? d：「

—5J T] + 5孔 + 4丁3 + di — d\ = 100 —+ x2

+ 3心 + dz — d.2 = 20

s. t. < ,

12jf| + 4J'2+10JC3 + 〃3 —丛=90 JT, $ 0；d t ?

d\ $ 0 (i = 1,2,3)

(a)求该目标规划问题的满意解；

(b)若约束右端项增加( 0 , ()，5)\问满意解如何变化？

(c)若目标函数变为

min z = p\ (di +山)+ <

则满意解如何改变？

(d)若第二个约束右端项改为45,则满意解如何变化？

【答案】Q)用单纯形法解上面的标准形式。解题过程的单纯形表见表4A-4(1)

； =dt =0. 满意解为”=（￡罟）d

最终单纯形表如表4A 一3所示。

满意解为K=(15/16, 335/16)di =么卜=0。

(C)将+的新系数反映到最终单纯形表屮，所有变竝的检验说都不小于0 ,故上述变化不影响最优解。

满意解为X=(5/8, 165/8)丁d\ = d：= 0 o

(d)满意解为X= (5/8, 165/8)「，右=25

第五部分整数规划

将下述非线性整数规划问题改写成线性o-i整数规划问题:

max z — 2x} x2x\

[5JCI + 9丘工3 W 15

S?t?

出皿，乂3 = 0或1

［答案］卩—心力2攵3 Q2 =乂1工2，，3 =力2幺3

,则问题可改写为max N = 2y +刃

5工］+ 9^3 ￡ 15

+ 乂2 + 乂3 — 2 W y

y(J'I +=2 +乃)M 刃

4+ 工2 — 1 W 乂

+乜)> yz

工2 + 広3 — 1 W，3

+(工2 + 工3)A )3

Hl、工2，工3，” ^2 *3 = 0 或1

【解析】参见胡运权《运筹学教程》屮的第四节0-1型整数规划P135-I42

某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为Si, S2,…，SI0,相应的钻探费用为Cl, C2,…，C.O,并且井位选择方面要满足下列限制条件：

①或选择S】和S7,或选择钻探弘

②选择了S3或S1就不能选匕，或反过来也一样；

③在”5八、6，$7 8最多只能选两个;是建立这个问题的整数规划模型。解：设

_J1若生产第/种产品f._19门

X/ ~ [0若不生产第/种产品丿_ ‘，

10

min乙=2吓）

y=i

io

=5

y=i

兀］+兀8 = 1 耳+禺51

=1

s.t.<

x4+x5 < 1

x5 + x6 + x7 + x8 < 2

兀_J1,选择钻探第9井位

口0,否则

第六部分非线性规划

6. 7已知

/(jr) = 2云—3JC

2

+ 不一

4 9

要求：

(a) 计算/ Q )在力0 = 3的值;

(b) 利用f (x)的导数及(a)的结果求f (x)在x 二7的值。

6. 7 (a) /(如=3) = 26

(b) /(工= 7) = 542

【答案】 【解析】6)/(无)=3) = 54 — 27 + 3-4 = 26

(b)

利用泰勒公式有:

/(X )= /(X 0) + /(X 0)(A--X 0)+^^()

^(X~X O )2 +

(X~X O )3 2

o

其中：

/(x) = 6X 2-6X +15 /(x) = 12兀-6 J(xj = 12, f (兀)⑷=0

6.8

/"(X) =7： +jfi JC 2

+E 9

已知

X* =a ，工2)=(2, 3対 J'(X) = 19。

求f(x)在x=(3, 5)点的值。 【答案】49

第七部分动态规划

用动态规划方法求解下列问题：

/ 、

___ 2 3

(a) max z — x\ X 2JC 3

{JT1 +0*2+23 ￡ 6 S. t.

c c

I 巧 $ 0 9 j =

1 2 ? 3

f(7) = 26+(54-18+1)x4+ 並0X16+Ex 64 二 542

2 6

(b) max 7无：+6心+5工(

无i + 2 文2 W 10

s. te < JTI —3JT2 W 9

、夂1 口2 N 0

(c)max N =8Z： +4 址+J?3

2JC} +工2 + 10工3 = b

s. t. < Xj ^0 j = 1 2,3

上为正数

(d)max N = 2&f+2乜+4忑—云

2x x + 氐 + 心W 4

'匚 v 巧3 °，j = 1,2,3

【答案】(a)最优解为：xi=2, X2=L X3=3； Z ma x=108

(b)由于第2个约束中X2的系数为负号，故将问题改写为

max z = 5无：+ 7着 + 6心

2X2 + xi ￡10

s. t. < — 3J?2 + 心￡ 9

“2>0

用s.h, s2h表示k阶段初的状态变量，则本题的动态规划基本方程为

f k（、' M 9、2k）= mdX \ Uk（、h八7〉）+ f k+1（SiM+i 9 S2M + i ） } 边界条件为/

（S13 "23 ） = °

米用逆序算法，当k=2时有

fz （512 "22）= max {7X} + 64 + f 3（s }3 ^23）}

*

& QO-2七 巧€9+3七

?

=min{7（10-2^2）2 +6（10 — 2口）； 7（9 + 3乜严 + 6（9 + 3乃”

当k 二1时

f\ （10,9） = max Sx? + min 推导得

Xi*8=9. 6, x 2*=0. 2, z*二702.92

（c ） 当 6>4000 时,xi=0, X2=0, X3=b / 10； Zi=6/10' 当 0

（d ） 将.271, z2, X3的取值划分为三个阶段，状态变量si=4, S2=4—2XI , S 3=s 2-x 2,边 界条件f-1（S4）=0

（2# + 8 — 4J ?\ =max < 05￡ 12暮 +9_4小

由此 ' =4.

二 3 ； $3 = I ?*； = 1

【解析】（a ）将问题分为三个阶段,

当23,

盹）

去龟）

8 兀

3

1

2

3

4

5

6

0 1

1

1 1 2

8

8 2 3

27

27 3 4

64

64

4 5

125

125

5 6

216

216

6

当 k 二2,

292工 2 +760,68/ + 396工2 +6211}

4,当出 $ 2口； = 2

/3（七）=max <4^ — & + 人（S4）}

°￡工3 W$3

453 — 53 ?当 S3 W 2,^3

S

+4

max -> °彳2?2 I 2X 2 + 4七—心

12（52 — 2） + 4, max < 叫匕氐+ 1,

0 < X2 = s 2 — 2

0 xi = s 2 — 1

[2卅+2S 2?

/1（5i ） = max <

°5中12甘+ 2切+ 1

]2卅 +2（4 — 2心>

=max < °5=2[2云+2（4 — 2厂）+ 1

当k=l,

得到最优解为:xi=2, X2=L X3=3； maxz =108.

(b)由于第2个约束中X2的系数为负号，故将问题改写为

max z =5J：2 + 7右 + 6心

￡ 10

2x2 + 心

s. t. * 一3J?2 + 乂1 ￡ 9

4 “2 $ 0

用S.h, S2h表示k阶段初的状态变量，则本题的动态规划基本方程为

fk（s ik闷）=max{“（》9忑）+ 办+1（S1M+1 "2M+1 ） } 边界条件为f（S\3“23）= °

采用逆序算法，当22吋有ft（512 ?522）= max {7xi + 64 + /3（^13 t523）}

T,<9+3T2?

=min{7（10 — 2工2严+6（10 —2工2）; 7（9 + 3工2 严 + 6（9 + 3乃）} 当k=l时

fi（10,9） = max 5工[+ mini 28壬：—292乞+ 760,68x1 + 396JT2 +621]}

才2 * 5

推导得

Xi*8=9. 6, x2*=0. 2, z*=702. 92