高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用学案 苏教版选修1-1

3.4 导数在实际生活中的应用

学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．(重点) 2.通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．(难点)

[自主预习·探新知]

1．导数的实际应用

导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．

2．用导数解决实际生活问题的基本思路

[基础自测]

1．判断正误：

(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题．( )

(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式．( )

(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景．( )

【解析】(1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解．

(2)√.求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题．

(3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值．

【答案】(1)×(2)√(3)√

2．生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大，最大利润是________．

【解析】L′(x)＝1－0.002x，令L′(x)＝0，得x＝500，

∴当x＝500时，最大利润为750.

【答案】500 750

[合作探究·攻重难]

面积容积的最值问题

r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上．设CD＝2x，梯形的面积为S.

(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；

(2)求面积S的最大值.

【导学号：95902246】

[思路探究] (1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S 关于x 的函数式；(2)根据S 的函数的等价函数求最大值．

【自主解答】 (1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系如图所示，则点C

的坐标为(x ，y )．∵点C 在椭圆上，∴点C 满足方程x 2r 2＋y 2

4r

2＝1(y ≥0)，

则y ＝2r 2－x 2(0< x

(0< x

(2)记S ＝4(x ＋r )2

(r 2

－x 2

)(0＜x ＜r ) 则S ′＝8(x ＋r )2(r －2x )

令S ′＝0，解得x ＝1

2r 或x ＝－r (舍去)．

当x 变化时， S ′，S 的变化情况如下表：

x ? ??

??0，r 2 r

2

? ??

??r 2，r

S ′ ＋ 0 －

S

↗

33r 2

2

↘

∴x ＝12r 时，S 取得最大值33r 2

，即梯形面积S 的最大值为33r 2

.

[规律方法]

1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解．

2．选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题． [跟踪训练]

1.在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为h 的圆柱，其轴截面如图3-4-1所示．设两个圆柱体积之和为V ＝f (h )．

图3-4- 1

(1)求f (h )的表达式，并写出h 的取值范围． (2)求两个圆柱体积之和V 的最大值．

【解】 (1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为：

r 1＝1－h 2， r 2＝1－2h

2

.

它们的高均为h ，所以体积之和

V ＝f (h )＝πr 21h ＋πr 2

2h ＝π[]()1－h 2

＋()1－4h 2

h ＝π()2h －5h 3

.

因为0＜2h ＜1，所以h 的取值范围是? ??

??0，12.

(2)由f (h )＝π(2h －5h 3

)，得f ′(h )＝π(2－15h 2

)， 令f ′(h )＝0，因为h ∈? ????0，12，得h ＝3015. 所以当h ∈? ?

???0，

3015时，f ′(h )＞0；当h ∈? ????3015，12时，f ′(h )＜0. 所以f (h )在?

????0，3015上为增函数，在? ??

??

3015，12上为减函数， 所以当h ＝

30

15

时，f (h )取得极大值也是最大值， f (h )的最大值为f ?

??

??3015＝430π

45. 答：两个圆柱体积之和V 的最大值为430π

45

.

用料最省、节能减耗问题

如图3-4-2A 处，乙

厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.

两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？

【导学号：95902247】

图3-4- 2

[思路探究] 先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值．

【自主解答】 设C 点距D 点x km ，则BD ＝40 km ，AC ＝(50－x )km ， ∴BC ＝BD 2

＋CD 2

＝402

＋x 2

(km)．又设总的水管费用为y 元，依题意， 得y ＝3a (50－x ) ＋5a x 2

＋402

(0≤x ≤50)，则y ′＝－3a ＋5ax

x 2＋402

，令y ′＝0，解

得x ＝30.当x ∈[0,30)时，y ′＜0，当x ∈(30,50]时，y ′＞0,

∴当x ＝30时函数取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．

[规律方法]

1．像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型．

2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．

[跟踪训练]

2．某工厂需要建一个面积为512 m 2

的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为________，宽为________．

【解析】 如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512

x

m ，

因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝2－512

x

2＝0，得x ＝16或x

＝－16.

∵x ＞0，∵x ＝16.∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点，

∴它必是最小值点．

∵x ＝16，∴512

x

＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最

省．

【答案】 16 m 32 m

利润最大问题

[探究问题]

1．在有关利润最大问题中，经常涉及“成本、单价、销售量”等词语，你能解释它们的含义吗？

【提示】 成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量．

2．什么是销售额(销售收入)？什么是利润？

【提示】 销售额＝单价×销售量，利润＝销售额－成本．

3．根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？

【提示】 在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示．

某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w (单位：百千克)与肥料费用x (单

位：百元)满足如下关系：w ＝4－

3

x ＋1

，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x )(单位：百元)．

(1)求利润函数L (x )的函数关系式，并写出定义域；

(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ [思路探究] (1)利润＝收入－总成本．其中，收入＝产量×售价，总成本＝肥料费用＋其他成本；

(2)利用求导、列表、定最值．

【自主解答】 (1)当肥料费用为x 百元时，收入为16? ????4－3x ＋1百元，总成本为(x ＋

2x )百元．

所以L (x )＝16?

????4－3x ＋1－(x ＋2x )＝64－48

x ＋1

－3x (百元)，其中x ∈[0,5]． (2)L ′(x )＝

48

x ＋1

2

－3，x ∈[0,5]．

令L ′(x )＝0，得x ＝3. 列表如下：

x 0 (0,3) 3 (3,5) 5 L ′(x ) ＋ 0 － L (x )

↗

极大值

↘

由上表可知，L (x )max ＝L (3)＝43.

答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是 4 300元．

[规律方法] 解决最优化问题的一般步骤： 1根据各个量之间的关系列出数学模型；

2对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值； 3

比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解.

[跟踪训练]

3．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x

成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．

(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；

(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值.

【导学号：95902248】

【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则k

e 30＝100，∴k ＝100e 30

，

∴日销量q ＝100e

30

e x ，

∴y ＝

100e 30

x －20－t

e

x

(25≤x ≤40)．

(2)当t ＝5时，y ＝100e

30

x －25

e

x

，

∴y ′＝

100e

30

26－x

e

x

. 由y ′＞0，得25≤x ＜26，由y ′＜0，得26＜x ≤40， ∴y 在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，

∴当x ＝26时，y max ＝100e 4

.

故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4

元．

[构建·体系]

[当 堂 达 标·固 双 基]

1．一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h ，则体积V 的表达式为________．

【解析】 设圆锥的高为h ，则圆锥的底面半径为r ＝400－h 2，则V ＝13π(400－h 2

)h .

【答案】 13

π(400－h 2

)h

2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2

；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3

－x 2

(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台.

【导学号：95902249】

【解析】 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2

－2x 3

(x ＞0)，y ′＝36x －6x 2

，

由y ′＝0是x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．即生产6千台时，利润最大．

【答案】 6

3．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2

? ??

??60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积

最大时，箱子底面边长为________．

【解析】 V ′(x )＝2x ·?

????60－x 2＋x 2·? ??

??－12＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)．

令V ′(x )＝0，得x ＝40或x ＝0(舍)．不难确定x ＝40时，V (x )有最大值． 即当底面边长为40时，箱子容积最大． 【答案】 40

4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．

【解析】 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2

L ＝27π，∴L ＝27R

2.

要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2

＋2π·27R

，

∴S ′表＝2πR －54π

R

2.令S ′＝0，解得R ＝

3.

∵R ∈(0,3)时，S 表单调递减，R ∈(3，＋∞)时，S 表单调递增，∴当R ＝3时，S 表最小． 【答案】 3

5．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝1200＋275x 3

(万元)，已知产品单价的平方与

产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为多少件时，总利润最大？并求出最大总利润．

【解】 由题意，可设p 2

＝k

x

，其中k 为比例系数．因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000，

所以p 2

＝250 000x

，p ＝500x

，x ＞0.设总利润为y 万元，

则y ＝500x

·x －1200－275x 3＝500x －275 x 3

－1 200.

求导数得，y ′＝250x －225

x 2

.令y ′＝0得x ＝25.故当x ＜25时，y ′＞0；当x ＞25时，

y ′＜0.

因此当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值，即最大利润为2 650

3万元．

【答案】 25