函数的单调性与最值练习题适合高三精修订

函数的单调性与最值练

习题适合高三

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函数的单调性与最值练习

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（每小题4分）

1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2 2．已知212

()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）

A.(1,)+∞

B.(2,)+∞

C.(,0)-∞

D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()

0f a f b a b

->-成立，

则必有（ ）

A.()f x 在R 上是增函数

B.()f x 在R 上是减函数

C.函数()f x 是先增加后减少

D.函数()f x 是先减少后增加 4．若

在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为(

)

A. [1，2)

B. [1，2]

C. [1,+∞)

D.

[2，+∞)

5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2

6．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有

2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜x 取值范围是( )

A. B. C. D.

7．已知(x)=??

?≥<+-)

1(log )

1(4)13(x x

x a

x a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）

A.（0，1）

B.（0，3

1） C.［7

1，3

1） D.［7

1，1）

8．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）

A ．（－∞，－3）

B ．（－∞，－1）

C ．(1，+∞)

D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数

，则满足(21)f x -＜的x 取值范围是

（ ）

（A ）（∞- （B （C ∞+） （D

10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2x y = B ．1

y x

=

C ．2y x =

D ．tan y x =

11．已知函数(a 为常数)．若在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取

值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当1

2

x ≥

时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

二、填空题（每小题4分）

13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是

14．设函数()f x =???≤，

＞，，

，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．

15．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .

16．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有)(0)

()(b a b

a b f a f ≠>--，若

)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．

17．函数2()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4∈+=x x

x x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2(),,.f x x ax b a b R =-+∈

若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．

20．已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是 .

21．已知函数()()

23log 5f x x ax a =+++，

()

f x 在区间(

)

,1-∞上是递减函数，则实数

a 的取值范围为_________．

22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)

23为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．

24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________．

25．已知函数f(x)

＝

(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小值为2(1)log 10f ==。

考点：对数函数的图像及性质 2．C 【解析】

试题分析：函数)(x f 是复合函数,其定义域令022 x x -,即

).2(0,∞+?∞-）（,根据复合函数的单调性:同增异减.该函数是增函数,其

外函数是v u 2

1log =为减函数,其内函数为x x v 22-=也必是减函数,所以取

区间）（0,∞-.

考点：复合函数单调性的判断.

3．A.【解析】

试题分析：若b

a<，则由题意

()()

f a f b

a b

-

>

-

知，一定有)

(

)

(b

f

a

f<成

立，由增函数的定义知，该函数()

f x在R上是增函数；同理若b

a>，则一定有)

(

)

(b

f

a

f>成立，即该函数()

f x在R上是增函数.所以函数()

f x在R上是增函数.故应选A.

考点：函数的单调性.

4．A

【解析】函数的对称轴为，要使函数在(-∞，1]上递减，则有，即，解得，即，选A.

5．B

【解析】∵y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2

∴当x=1时，函数取最小值﹣2，

当x=3时，函数取最大值2

∴最大值与最小值的和为0

故选B

6．A 【解析】

试题分析：因为2121()(()())0x x f x f x -->，所以函数()f x 在),0(+∞上单调

增. 由(21)f x -＜.3

2

21,31120<<<-

考点：利用函数单调性解不等式 7．C 【解析】

试题分析：由题意可得()13103110101731log 131147a a a a a a a a a ?

<

?

.故C

正确.

考点：1函数的单调性;2数形结合思想. 8．A 【解析】

试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为

(,3)(1,)-∞-+∞．

22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，

223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u

=在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ． 考点：复合函数的单调性． 9．D 【解析】

试题分析：根据已知的定义域和单调性，得到不等式：??

?

??<-≥-3112012x x ，所

以：3

221

<≤x

考点：1．函数的单调性；2．抽象函数解不等式． 10．A 【解析】

试题分析：A 选项是指数函数，定义域为{}R x x ∈,底数大于1，所以在定义域内是单调增函数。故选A 。B 选项是反比例函数，定义域为{}0≠x x ，由反比例函数图像可知当0>x 或0

单调递减所以排除C 。D 选项是正切函数，定义域为{?

??

∈+≠z k k x x ,2

ππ，

正切函数是在每一个区间??

?

??++-

ππππk k 2,2()z k ∈都是单调递增的，但在

整个定义域内并不是单调递增的，例如：令()x x f tan =，取4

1π

=

x ，

4

32π

=

x ，则21x x <，但是()11=x f ，()12-=x f ，显然()()21x f x f >。这说明在每一个??

? ??++-

ππππk k 2,2

()z k ∈都是单调递增的与在整个定义域内并不是单调递增的含义是不同

的，所以排除D 。

考点：函数的定义域、基本初等函数的图像及性质 11．B

【解析】∵

∴在区间上是增函数,则．

∴1-≤a ． 12．C 【解析】

()()1f x f x -= ∴函数()f x 的图象关于直线1

2

x =

对称， 当12x ≥

时()()2log 31f x x =-， ∴函数()f x 在1,2??

+∞????

上单调递增， ∴函数()f x 在1,2?

?

-∞ ??

?上单调递减， ∴函数()f x 在[]2,0-上单调递减， ∴函数

()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和为

()()()()()()2220121031log 8log 24f f f f f f -+=++-=+=+=故选A.

13．12,23??- ???

【解析】

试题分析：13

2121

31221222

22311223m m m m m m m m ?

?-<<-<-

??-<-

考点：函数的单调性. 14．[0,)+∞

【解析】

试题分析：当1x ≤时，()2f x ≤122x -?≤，即11x -≤，解得0x ≥；1x >时，()2f x ≤21log 2x ?-≤，解得1

2

x ≥，所以满足()2f x ≤的x 的取值范围是[0,)+∞．

考点：1、分段函数；2、函数的单词性． 15．(,1)-∞

【解析】

试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为

1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞．

考点：二次函数的单调性． 16．1

--1+3

∞?∞（，）（，）

【解析】

试题分析：由()()f x f x -=可得()f x 为偶函数，因为,(,0]a b ∈-∞时总有

()f x 在(],0-∞上单调递增，又()f x 为偶函数，

所以()f x 在()0,+∞上单调递减．

()()()()1212f m f m f m f m +>∴+>，

即12m m +<，则()()()()2

2

123110m m m m +，解得

1

--1+3

m ∈∞?∞（，）（，）

． 考点：函数的单调性和奇偶性 17．[1,+∞) 【解析】

试题分析:()2

23f x x x =--,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞). 考点：一元二次函数的单调性. 18．29[4,

]5

【解析】

试题分析：函数()f x 在[]1,2上是减函数，在[]2,5上是增函数，且

()15f =，()24f =，()2955f =

，所以函数()x f 的值域为29

[4,]5

. 考点：函数的单调性和值域. 19．2≥a 【解析】

试题分析：根据题意可知:二次函数开口向上,对称轴为2

a

x =,根据题意可

知:区间(,1)-∞在对称轴2

a x =的左侧,所以12

≥a .

考点：二次函数的性质. 20．(][),4080,-∞+∞

【解析】

试题分析：要)(x f 使在区间]10,5[上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以58≤k 或108

≥k 即得k 的范围(][),4080,-∞+∞.

考点：二次函数的单调性. 21．-3 ≤a ≤-2 【解析】

试题分析：设t=x 2

+ax+a+5，则f （x ）=log 3t ，且函数t 在区间（-∞，1）上是递减函数，

且t ＞0．∴12

150

a a a ?

-≥?

??+++≥?，求得-3 ≤a ≤-2 考点：对数函数的单调性。

22．12,23??

- ???

【解析】

试题分析： 由题意得21122m m -<-<-<，解得21

1,,32m m m -<<>-

，所以实数m 的取值范围为12,23??

- ?

??

考点：抽象函数单调性 23．)8,4[

【解析】

为R 上的增函数，得1

1

402(4)122

a a a a ?

?>?

?

->?

?

?-?+≤??即18484a a a a >??

考点：分段函数的单调性．

24．(2

2

【解析】易知f(a)＝e a －1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b 2＋4b －3>－1，解得2

. 25．(－∞，0)∪(1，3]

【解析】当a －1>0即a>1时，要使f(x)在(0，1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时10，此时a<0.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1，3]．

点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[],a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取

值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.