2013年大连市数学竞赛试题(数学专业试题)答案

学校姓名

大连市第二十二届高等数学竞赛试卷

（数学专业）

考试时间：150分钟，满分100分

题号一二三四五六七八

分数

一、（15分）有一束平行于直线:l x y z

==-的平行光

照射到不透明的球面222

:2

S x y z z

++=。求S在该平行光照射下在xoy平面留下的阴影部分的边界曲线方程。

阅卷人

得分

222

111

:(0,0,1):(1)0,.3

10,

: (3)

(1) 1.

:

.

(,,),(,,)

l x y z

x y z

S C

x y z

C l xoy

M x y z M C x y z

π

π

+--=????

+-+=

?

????

?

++-=

?

Γ

∈Γ

过球心且与直线垂直的平面方程为分平面与球面的交线为分求以为准线、以的方向为柱面方向的柱面与

平面的交线

设并设过点的直母线与准线交于点

解

问题归结为

111

111

222

111

,

(1)

111

10, (2)..4

(1) 1. (3)

(1),(2),(3)

x x y y z z

x y z

x y z

---

?

==

?-

?

+-+=?????????

?

?++-=

?

?

则有

分

由式消

111

222

22

,,,

1

2 (3)

2

1

.

(2)

2

0.

x y z

x y z xy yz zx x y z

x y xy x y

xoy

z

Γ

++-++---=?????????

?

+---=

?

Γ?????????

?

?=

?

去并整理得柱面的方程为

分于是与平面的交线为分

二、（12分）证明:当错误！未找到引用源。时，0011

lim sin 0x

m x

dt x

t +→=?

证明：当错误！未找到引用源。时结论显然成

立。．．．．．．．．．．．.......................................1分

当错误！未找到引用源。时,使用洛必达法则可证结论成立。 即 错误！未找到引用源。. ．．．．．．．．．．．.....................3分 当错误！未找到引用源。时，令错误！未找到引用源。,则 错误！未找到引用源。

因为 错误！未找到引用源。 为非负递减函数,对于任意的错误！未找到引用源。,由第二积分中值定理，有

．．．．．．．．．．.............................．4分 所以，错误！未找到引用源。. ．．．．．．．．．．．....................................2分 从而有错误！未找到引用源。. ．．．．．．．．．．．.......................................2分

阅卷人 得 分

共 4 页 第 1页

学校姓名

三、（13分）设2

1

,0

()

0,0

x

e x

f x

x

-

??

≠

=?

?=

?

，

1)求(0)

f'

2)证明f的各阶导数在R上均有定义。

错误！未找到引用源。

解：1）

．．．．．．．．．．．．．．．． (4)

2）当错误！未找到引用源。时，f的各阶导数显然有定义。设

．．．．．．．．．．．．．．．． (2)

则由于对于任意的正数r,

．．．．．．．．．．．．．．．． (3)

若r<0,显然有

．．．．．．．．．．．．．．．． (2)

则 .

所以f的各阶导数在R上均有定义.．．．．．．．．．．．．．．．．．.............2分阅卷人

得分

2

2

2

1

1

000

1

()(0)

(0)lim lim lim lim0

x

t

x x x t

x

f x f e t

x

f

x x e

e

-

→→→→∞

-

'=====

1

()110

()()()/()

n

m m

k

n m m

n l

a x a x a x a

f x p x f x x f x

x

-

-

++++

==

2

2

2

1

1

00

1

lim lim lim0

r

x r

r t

x x t

x

e t

x

x e

e

-

→→→∞

===

()(0)0

n

f=

2

1

lim0

x

r

x

e

x

-

→

=

四、（13分） 设函数()f x 在0x =附近可微，

(0)0f =，(0)f a '=。定义数列 ，

22212n n x f f f n n n ????

??

=++

+ ? ? ?????

??

证明数列{}n x 有极限并求其值

证明：因为函数f (x )在x = 0附近可微。f (0)=0, f ′(0)=a.

因此对于任意的正数错误！未找到引用源。，存在一个δ>0,当|x|<δ有错误！未找到引用源。，

即错误！未找到引用源。. ．．．．．．．．．．...............................................．3分 从而当错误！未找到引用源。时，

错误！未找到引用源。, ．．．．．．．．．． (3)

其中

k=1,2,…n.对上式求和，有

错误！未找到引用源。 ．．．．．．．．．．．........................2分 从而

错误！未找到引用源。, ．．．．．．．．．．.................................．3分 所以

错误！未找到引用源。. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (2)

分

共 4 页 第 2页

阅卷人 得 分

学校姓名

五、（12分）设

1

1

()()

n

n

k

k

f x f x

n n

-

=

=+

∑，其中()

f x在(,)

-∞+∞上连续，证明函数列{}

()

n

f x在有界闭区间[,]

a b上一致收敛.

证明：由定积分定义知错误！未找到引用源。,．．．．．．．．．．．..． 2分

由于

f(x) 在 (?∞

, +∞)上连续,故f(x) 在 [a,b+1]上一致连续，即任意的正数错误！未找到引用源。，存在一个δ>0，错误！未找到引用源。,当错误！未找到引用源。时，

有错误！未找到引用源。.

取错误！未找到引用源。，则当n>N时

从而

．．．．．．．．．．．．．．．．．..........................................................4分即函数列{错误！未找到引用源。}在有界闭区间[a,b]上一致收敛。．．．．．．．．．．．．．．．．..．2分

阅卷人

得分

六、(15分) 设A 为n 阶方阵，若A A =2

，则称A 为幂等的.

(1) A 为幂等的充要条件为n E A r A r =-+)()(；

(2) 若A 为幂等的，则)()(A r A tr =，其中)(A tr 为A 的迹，)(A r 为A 的秩.

证明：(1)（必要性）由A A =2

，即0)(=-A E A 知n A E r A r ≤-+)()(， ．．．．........................2分 而()()n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()(.

故n A E r A r =-+)()(. ．．．．．．．．．．......................．3分 (充分性) 利用分块矩阵的初等变换

???

? ??-??→????? ??-??→????? ??--+E A E A

E A A A E A A r r c c 00002112 ???

?

?

?-??→????? ?

?-???→????? ?

?--??→??-+-22

)(20000

211221A A E A A E E A A A E c c r A E r A

c c ．．(3分)

则 ?

??

?

??-=-+=E A A

r E A r A r n 00)()( )()()(002

22A A r n A A r E r A A E

r -+=-+=???

? ??-=， 于是0)(2

=-A A r ，故A A =2

. ．．．．．．．．．． (2)

（2）矩阵A 能对角化，理由如下：由0)()(=-=-A A E A E A 知0)(=-x A E 与0=Ax 的基础解系中分别有

)(A E r n --个和)(A r n -个线性无关的解向量， ．．．．．．．．．． (2)

于是A 的对应于特征值1=λ有)(A E r n --个线性无关的特征向量，

A 的对应于特征值0=λ有)(A r n -个线性无关的特征向量，

故n 阶矩阵A 有n =（)()(2A r E A r n ---）个线性无关的特征向量，从而A 能对角化，

．．．．．．．．．． (3)

即A 相似于对角阵Λ（A 与Λ必有相同的秩），其中对角阵Λ的对角元中有)(A r 个1，)(A r n -个0.故

)()()(A r tr A tr =Λ=. ．．．．．．．．．． (3)

共 4 页 第 3页

学校姓名

七、（10分）设σ为数域P上的n维线性空间V的线性变换, 多项式

][P

)

)(

)(

(

)(

3

2

1

t

a

t

a

t

a

t

t

f∈

-

-

-

=

满足0

)

(=

σ

f，其中互异常数

1

a,

2

a,P

3

∈

a.记}

)

(

|

{ξ

ξ

σ

ξ

i

i

a

V

V=

∈

=，3,2,1

=

i.

证明：

3

2

1

V

V

V

V⊕

⊕

=.

证明：易知

3

2

1

,

,V

V

V均为V的子空间，从而

3

2

1

V

V

V+

+亦为V的子空间；……1分

由于

1

a,

2

a,P

3

∈

a为互异常数，则二次多项式

)

)(

(

)(

3

2

1

a

t

a

t

t

f-

-

=，)

)(

(

)(

3

1

2

a

t

a

t

t

f-

-

=，)

)(

(

)(

2

1

3

a

t

a

t

t

f-

-

=

互素，即存在多项式]

[P

)

(

),

(

),

(

3

2

1

t

t

u

t

u

t

u∈使得

)(

)(

1

1

t

u

t

f+)(

)(

2

2

t

u

t

f+)(

)(

3

3

t

u

t

f1

=，

从而)

(

)

(

1

1

σ

σu

f+)

(

)

(

2

2

σ

σu

f+)

(

)

(

3

3

σ

σu

fε

=，其中ε为V的单位变换. …………3分

对任意V

∈

ξ有

=

=εξ

ξ{)

(

)

(

1

1

σ

σu

f+)

(

)

(

2

2

σ

σu

f+)

(

)

(

3

3

σ

σu

f}ξ，………2分

记ξ

σ

σ

γ)

(

)

(

1

1

1

u

f

=，ξ

σ

σ

γ)

(

)

(

2

2

2

u

f

=，ξ

σ

σ

γ)

(

)

(

3

3

3

u

f

=，由

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(=

=

-

=

-ξ

σ

ξ

σ

σ

ε

σ

γ

ε

σf

u

f

a

a

i

i

i

i

i

，3,2,1

=

i，

即

i

i

V

∈

γ，3,2,1

=

i.于是

3

2

1

V

V

V

V+

+

?. ………………2分

故

3

2

1

V

V

V

V+

+

=.

由于

3

2

1

,

,V

V

V为σ的属于不同特征值

1

a,

2

a,

3

a的特征子空间，

i

V的基即为σ的属于

i

a的线性无关的特征向量，而σ的属于不同特征值的线性无关的特征向量合起来还是线性无关的，则)

dim(

)

dim(

)

dim(

)

dim(

3

2

1

3

2

1

V

V

V

V

V

V+

+

=

+

+，即和

3

2

1

V

V

V+

+为直和.

………………2分

综合可知

3

2

1

V

V

V

V⊕

⊕

=.

共 4 页第 4页阅卷人

得分

八、（10分）设φ为数域P 上的n 维线性空间V 的线性 变换，1λ，2λ，…, k λ为φ的k 个不同的特征值，1α，2α，…,k α是相应的特征向量. W 为V 的φ不变子空间，且1α+2α+…+k αW ∈. 证明：W i ∈α，),...,2,1(k i =. 证明：令=β1α+2α+…+k α，易知

,)()()()(221121k i k i i k i i i i αλαλαλαφαφαφβφ+++=+++= ......................………2分

即()

()().,...,,111,...,,)(),...,(,211

1

221

11

211

A k k k k k k k k αααλλ

λλλλαααβφβφβ=??

??

??

?

?

?=---- .......................……2分

由

1λ，2λ，…, k λ两两互异可知范德蒙德行列式∏≤<≤≠-=

k

j i i j

A 10)(||λλ

，即A 为可逆矩

阵. .......................…...………………2分 于是()()())|(|)(),...,(,)(),...,(,,...,,*111

21A A A k k k βφβφββφ

βφβααα---==

，

则()

)()(||121βφβφβα-+++=k ik i i i A A A A ，其中*

A 为A 的伴随矩阵，ij A 为A 的),(j i 元的代数余子

式. ...................................... ………………2分 由于W ∈β以及W 为V 的φ不变子空间，则)(),...,(,1βφβφβ-k W ∈.故

())()(||121βφβφβα-+++=k ik i i i A A A A W ∈, ),...,2,1(k i =. .........................……2分

阅卷人 得 分