内蒙古海拉尔二中2020届高三数学第六次阶段考试(理)

内蒙古海拉尔二中2020届高三第六次阶段考试

理科数学 (2020.5.15)

时间：120分钟 分值：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．设集合}80|{≤<∈=x N x U ，}5,4,2,1{=S ，}7,5,3{=T ，则)(T C S U I =

A ．}4,2,1{

B ．}7,5,4,3,2,1{

C ．}2,1{

D ．}8,6,5,4,2,1{

2. 已知复数,121i

i z -+

=则 2009

z

的值为 A ．1- B ．1 C ．i D ．i -

3．正项数列{a n }成等比数列，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12,则65a a +的值是

A . -24

B . 21

C . 24

D . 48

4．函数()ln 1f x x =-的图像大致形状是

5．在四边形ABCD 中，“AB

=2DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件 6某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修4系列的10门课程供学生选修，其中4—1，

4—2，4—4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是

A ．120；

B ．98；

C ．63；

D ．56；

7．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是

A ．28cm π

B ．212cm π

C ．216cm π

D ．220cm π

8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()2x

f x ??= ???

，那么1

(0)f - 的值为

A ．2

B ．1

C ．1-

D ．0

9. 已知抛物线12

-=ax y 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的

三角形面积为

A .1

B .4

C .2

D .

2

1 10．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于

A .

6 B .4 C .2 D .2

11. 在二项式n

x )1(+的展开式中，存在系数之比为3:2的相邻两项，则指数)(*

N n n ∈ 的

最小值为

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

12．双曲线122

22=-b

y a x )0,0(>>b a 的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且

||2||21PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为

A ．(]3,1

B ．()3,1

C ．()+∞,3

D ．[)+∞,3

海拉尔二中2020届高三第六次阶段考试试题（理）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）

13. 实数40,,220,0,0,x y x y x y z x y x y +-≤??

-+≥=-??≥≥?

满足条件则的最大值为________ .

14. 设曲线x x y +=3

在点)2,1(处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a =______. 15. 将圆1)1(2

2

=++y x 按向量)1,2(=a ρ

平移后，恰好与直线0x y b -+=相切，则

b =_______

16. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2

(2,)(0)N σσ>，若ξ在（0，2）内

取值的概率为40．，则ξ在(,4)-∞内取值的概率为_______

三．解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分）已知向量a r =(sin(2

π

+x

cos x )，b r =(sin x , cos x ), f (x )= a r ·

b r . ⑴求f (x )的最小正周期和单调增区间； ⑵如果ABC ?中，满足)(A f

，求角A 的值．

18．（本小题满分12分） 某次抽奖活动，有彩票号从0001到1000共1000张彩票，

其中彩票号为0123是一等奖，奖金5000元；彩票号后两位数为23的是二等奖，奖金1000元；彩票号尾数为3是三等奖，奖金20元.

（1）某人买了2张彩票，问他获得一等奖或二等奖的概率是多少？(用分数表示) （2）某人买了1张彩票，求他获得奖金数ξ的分布列以及期望

19.（本小题满分12分） 如图，直二面角D AB E --，四边形ABCD 是边长为2的正方形，

,AE EB F =为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．

（1）求证AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B AC E --的大小．

20．（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足：n n n a a a a a 3

235,35,11221-===++ （1）令n n n

a a

b -=+1，求数列{}n b 的通项公式；

（2）求数列{}n na 的前n 项和n S ． )(*

∈N n

21．（本题12分）椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，焦点到相应准线的距离及离

l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点A ，B （1）求椭圆方程；

（2）若PB AP 3=，求m 的取值范围．

22．（本题满分12分） 已知函数1ln () (1)x

f x x x

+=

≥ （1）试判断()f x 的单调性，并说明理由； （2）若()1

k

f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；

理数参考答案

一．选择题：CACA ABBD ACDB

二、填空题: 13. 4 14. 4 15. 2± 16. 9.0

三．解答题

17．解：⑴f (x )= sin x cos x

+

2

+2cos2x = sin(2x+3

π

)+2 T=π，2 k π-2π≤2x+3π≤2 k π+2

π

，k ∈Z , 最小正周期为π，单调增区间[k π-512π,k π+12

π

],k ∈Z . ⑵由sin(2A+3π)=0,3π<2A+3π<73π

,

∴2A+3π=π或2π，∴A =3

π或56π

18. 解：（1）11100221

2

1000

9902101990110=+=C C C C C P （2

∴E ξ=5+9+1.8+0=15.8（元）

19．解：（1）BF ⊥Q 平面,ACE BF AE ∴⊥

∵二面角D AB E --为直二面角，且CB AB ⊥，

CB ∴⊥平面,ABE CB AE ∴⊥ AE ∴⊥平面BCE ．

（2）连接BD 与高AC 交于G ，连接,FG ABCD Q

是边长为2的正方形，

,BG AC BG ∴⊥=，

BF Q 二平面ACE ，由三垂线定理逆定理得FG AC ⊥ BGF ∴∠是二面角B AC E --的平面角

由（1）AE ⊥平面,BCE AE EB ∴⊥，

,AE EB BE ==Q

在Rt BCE ?

中，BC BE EC BF EC ?=

=-

==

∴在Rt BFG ?

中，3sin 2BF BGF BG ∠===

故二面角B AC E --

等于arcsin 3

． （2）可用向量法

20. 解：（1）因1211115222()3333

n n n n n n n n n b a a a a a a a b ++++++=-=

--=-= 故{}n b 是公比为23的等比数列，且1212

3

b a a =-=

故2()(1,2,)3

n

n b n ==L ．

（2）由12()3

n

n n n b a a +=-=得

111121()()()n n n n n a a a a a a a a ++--=-+-++-L

122222()()()3333

n n -=++++L

2

2[1()]3

n =-

注意到11a =，可得11233n n n a ++=-，即123(1,2,)3

n

n n a n -=-=L

记数列12{}3n n n -的前n 项和为n T ，则1

2212()33

n n T n -=+?++?L

22222()()3333n n T n =+?++?L 两式相减得：211222

1()()3333n n T -=++++-L 222()3[1()]()333

n n n n n ?=--?

故11

22(3)29[1()]3()9333

n n n n n n T n +-+=--?=- 从而1223(12)2n n n S a a na n T =+++=+++-L L

1

3(3)2(1)1823n

n n n n -+=++-．

21．解:（1

）由22a c c c a

?-=????=??

得1,,22a c b ===

∴椭圆C 的方程为：2

2

21y x +=．

（2）设直线l 的方程为：y kx m =+

由22

21

y kx m y x =+??+=?得222

(2)2km (1)0k x x m +++-= 222(2km)4(2)(1)k m ∴?=-+-224(22)0k m =-+>

由此得2

2

22k m >-．

①

设l 与椭圆C 的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则21212222km 1

,12

m x x x x k k -+=-=++

由3AP PB =u u u r u u u r

得123x x -=

1222

122

23x x x x x x +=-?∴?=-?，整理得2

12123()40x x x x ++=

2

222

2134022km m k k -??∴-+= ?++??

，整理得222

(41)22m k m -=- 2

14

m =Q 时，上式不成立，22

22122,441m m k m -∴≠=

- ②

由式①、②得222

22

22122(1)104141m m m m m -??>-?-+< ?--??

2(1)(1)101(21)(21)2m m m m m m -+?

12

m <<

∴m 取值范围是111,,122?

???--

? ?????

U ． 22.,解（1）'2

ln ()x

f x x =- 1 ln 0 '()0x x f x ∴≥∴≥∴≤ 故()f x 在[1,)+∞递减 （2）(1)(1ln )() 1k x x f x k x x ++≥

?≥+ 记(1)(1ln )()x x g x x

++=

22

[(1)(1ln )]'(1)(1ln )ln '()x x x x x x x

g x x x ++-++-∴=

=

再令 1

()ln '()1 1 '()0h x x x h x x h x x =-?=-≥∴≥Q

()h x ∴在[1,)+∞上递增

min [()](1)10h x h ∴==>，从而 '()0g x > 故()g x 在[1,)+∞上也单调递增 min [()](1) 2 2g x g k ∴==∴≤