时间序列分析讲义第章差分方程

第一章 差分方程

差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。

§1.1 一阶差分方程

t w 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。

由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ

1=t ：10101w y y ++=φφ

t t =：t t t w y y ++=-110φφ

依次进行叠代可以得到：

i t

i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0111010φφφφ (1.2)

上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态

19.0=??t

t I w ，72.01=φ 从而可以得到二阶乘子为：

注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%，其弹性是比较

微弱的。

定义1.1 在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为t y 相对于外生扰动t w 的反应函数：

j t j

t j w y L 1φ=??=+， ,1,0=j (1.5)

显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数1φ的取值。

1||1>φt y ∑∞

=+0

j j t j y β (1.6)

如果t w 发生一个单位的变化，而t s w s >,不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数：

∑∑∑∞=∞=+∞=+-==??=??00011/)(j j j j t j t j j t j t j w y w y φβφββ

β，1||<φβ

上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果t w 发生一个单位的变化，而且其后的t s w s >,也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于)(j t +时刻的j t y +的影响乘数是：

0111111φφφ+++=??++??+??-+++++ j j j

t j t t t t j

t w y w y w y (1.7) 当1||1<φ时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响：

t 以后 如果在方程当中允许t y 依赖它的p 阶前期值和输入变量，则可以得到下述p 阶线性差分方程(将常数项归纳到外生变量当中)：

t p t p t t t w y y y y ++++=---φφφ 2211 (1.10) 为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：

t t t v F +=-1ξξ (1.11)

其中：

????????????????=+---121p t t t t t y y y y ξ，????????????????=-0001000000100011321

p p F φφφφφ，???????

?????????=000 t t w v 其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其

0j t j t t j t j t j j t v v F v F v F F +-++--+++++++=11111 ξξ (1.14) 类似地，表示成为单方程形式：

j t j t t j t j p

t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++++++++=1)1(111)1(11)(11)1(12)1(121)1(11 (1.15)

利用上述表达式，可以得到p 阶差分方程的动态反应乘子为：

)(11j t j

t j f w y L =??=+， ,1,0=j

由此可见，动态反应乘子主要由矩阵j F 的首个元素确定。

例1.4 在p 阶差分方程中，可以得到一次乘子为：

命题1.1 距阵F 的特征根满足下述方程，此方程也称为p 阶线性差分方程的特征方程： 证明：根据特征根的定义，可知特征根满足：

对上述行列式进行初等变化，将第p 列乘以)/1(λ加到第1-p 列，然后将第1-p 列乘以)/1(λ加到第2-p 列，依次类推，可以将上述行列式方程变化为对角方程，并求出行列式值为：

这便是所求的p 阶线性差分方程的特征方程。 END 如果知道p 阶线性差分方程的特征方程及其特征根，不仅可以分析差分方程的动态反应乘子，而且可以求解出差分方程解析解的动态形式。

1.2.1 具有相异特征根的p 阶线性差分方程的通解

根据线性代数的有关定理，如果一个方阵具有相异特征根，则存在非奇异矩阵T 将其

j t j t t j t j p

t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++++++++=1)1(111)1(11)(11)1(12)1(121)1(11 (1.15)

中可以得到动态乘子为：

j p p j j j t j

t j c c c f w y L λλλ+++==??=+ 2211)(11， ,1,0=j (1.21)

究竟系数序列j c 取值如何，下述命题给出了它的具体表达式。

命题1.2 如果矩阵F 的特征根是相异的，则系数j c 可以表示为：

∏≠=--=p i k k k i p i i c ,11

)(λλλ (1.22) 证明：由于假设矩阵F 具有相异的特征根，因此对角化的非奇异矩阵可以由特征向量构造。令向量i t 为：

T 。 ()84.0)2.0(4)6.0(6.02121=++=

λ，()24.0)2.0(4)6.0(6.02122-=+-=λ 778.0)(211

1=-=λλλc ，222.0)(122

2=-=λλλc

此方程的动态乘子为：

j j j j t j

t j c c w y L )24.0(222.0)84.0(788.02211-+=+=??=+λλ， ,1,0=j

在上述乘子的作用过程中，绝对值教大的特征根决定了乘子的收敛或者发散过程。一般情形下，如果1λ是绝对值最大的特征根，则有：

11)1(lim c w y j

t j t j =??+∞→λ (1.23) 则动态乘子的收敛或者发散是以指数速度进行。

当一些特征根出现复数的时候，差分方程解的性质出现了新的变化，扰动反应函数将

βαi c +=1，βαi c -=2

则有：

)][sin(2)][cos(2j R j R w y L j j t j

t j θβθα-=??=+ (1.24)

如果1=R ，即复数处于单位圆上，则上述动态乘子出现周期性变化，并且影响不会消

失；如果1R ，即复数处于单位圆外，则上述动态乘子按照周期方式进行扩散，其作用将逐渐增强。

例1.7 求解二阶差分方程：t t t t w y y y +-=--218.05.0

解：该方程的特征方程为：

根，且复数的模为：

因此，当102<-<φ时，此时解系统是震荡收敛的；当12=-φ是震荡维持的；当12>-φ时是震荡发散的。

b. 当特征根为实数时，我们分析最大特征根和最小特征的性质。此时04221>+φφ，且

当且仅当1112<<<-λλ时解及其动态反应乘子是稳定的。下面我们判断非稳定情形。如果：

即：

求解可知，使得不等式11>λ成立的参数解为：

21>φ，或者，121φφ->

于是动态反应乘子可以表示为：

§1.3 长期和现值的计算

如果矩阵F 的所有特征根均落在单位圆内(即所有特征根的模小于1)，当时间间隔j 逐渐增大时，矩阵乘积j F 将趋于零矩阵。如果外生变量t w 和t y 的数据均是有界的，则可以利

用t w 的所有历史数据表示差分方程的一个解：

其中)(11i i f =ψ，即矩阵j F 中的(1, 1)位置元素。可以在矩阵表示下，计算t w 的一个暂

时性变化形成的对t y 现值的影响。注意到利用向量求导得到：

这样一来，现值影响乘子可以表示为：

下面我们求1)(--F I p β当中(1, 1)位置的元素。假设ij x 表示1)(--F I p β当中(i , j )位置的元素，则有：

仅仅考虑上述矩阵的第一行，则有：

对于上述矩阵通过右乘初等矩阵进行初等变换，例如对最后一列乘以β加到倒数第2

列，然后倒数第2列乘以 加到倒数第3列，依次类推，可以得到：从中可以求出

x，即可以证明命题中的三个等式。

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