新人教版高中数学必修第一册：课时跟踪检测(九) 基本不等式

课时跟踪检测（九） 基本不等式

A 级——学考合格性考试达标练

1．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4

a ≥4

B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥

a ＋b

2

D ．x 2＋3

x

2≥2 3

解析：选D a <0，则a ＋4

a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，

b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，

a ＝4，

b ＝16，则ab <

a ＋b

2

，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞

a ＋b

2

＞ab B ．a ＞a ＋b

2＞ab ＞b

C ．a ＞a ＋b

2

＞b ＞ab

D ．a ＞ab ＞a ＋b

2

＞b

解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b

2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此B 项正确．

3．已知x <0，则x ＋1

x －2有( )

A ．最大值为0

B ．最小值为0

C ．最大值为－4

D ．最小值为－4

解析：选C ∵x ＜0，

∴x ＋1

x －2＝－????

??（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1

－x ，即x ＝－1时取等号．

4．3x 2＋6

x 2＋1的最小值是( )

A ．32－3

B ．3

C ．6 2

D ．62－3

解析：选D 3(x 2＋1)＋6

x 2＋1－3≥2

3（x 2＋1）·6

x 2＋1

－3＝218－3＝62－3，当

且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.

5．若x >0，y >0，且2x ＋8

y

＝1，则xy 有( )

A ．最大值64

B ．最小值

164

C ．最小值1

2

D ．最小值64

解析：选D 由题意xy ＝????

2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最

小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.

6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．

解析：设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3， 高为1 m ，得另一边长为4x m.

记容器的总造价为y 元，则

y ＝4×20＋2????x ＋4x ×1×10＝80＋20????x ＋4

x ≥80＋20×2 x ·4

x

＝160， 当且仅当x ＝4

x ，即x ＝2时，等号成立．

因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 答案：160

7.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为________．

解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当a ＝－3

2时等号成立．

答案：9

2

8．已知x >0，y >0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________． 解析：因为x >0，y >0，2x ＋3y ＝6， 所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·? ????2x ＋3y 22

＝16·????622＝3

2

. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时等号成立，xy 取到最大值32

.

答案：3

2

9．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b

c ≥6.

证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，c b ＋b

c ≥2，

所以????b a ＋a b ＋????c a ＋a c ＋????c b ＋b c ≥6， 当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c ，

即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.

10．(1)已知x <3，求y ＝

4

x －3

＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3

y 的最小值．

解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，

∴y ＝4x －3＋x ＝4x －3

＋(x －3)＋3

＝－????

??43－x ＋（3－x ）＋3≤－2

43－x

·（3－x ）＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，

即x ＝1时取等号， ∴y 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，

∴(x ＋y )????1x ＋3y ＝4＋????y x ＋3x

y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3x

y

，

即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．

又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32

. B 级——面向全国卷高考高分练

1．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B ．1a ＋1b ≥1

C.1a ＋1b

<2 D ．1a ＋1b

≥2

解析：选B 因为ab ≤? ??

??a ＋b 22≤????422＝4，所以1a ＋1

b ≥2

1ab

≥21

4

＝1，当且a ＝b ＝2时等号成立．

2．若0

2，则x 1－4x 2的最大值为( )

A ．1

B ．12

C.14

D ．18

解析：选C 因为0

2，所以1－4x 2>0，所以x

1－4x 2＝1

2×2x

1－4x 2≤1

2

×

4x 2＋1－4x 22＝1

4

，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝

2

4

时等号成立，故选C. 3．已知x ≥5

2，则x 2－4x ＋52x －4有( )

A ．最大值5

4

B ．最小值5

4

C ．最大值1

D ．最小值1

解析：选D x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋1

2（x －2）

＝12??????

（x －2）＋1x －2， 因为x ≥5

2，所以x －2>0，

所以12??????（x －2）＋1x －2≥12

·2 （x －2）·1

x －2

＝1.

当且仅当x －2＝1

x －2，即x ＝3时取等号．

故原式有最小值为1.

4．已知不等式(x ＋y )????

1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6

D ．8

解析：选B 不等式(x ＋y )????1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则(x ＋y )????1x ＋a

y ≥(1＋a )2≥9，∴a ≥2，即a ≥4，故正实数a 的最小值为4.

5．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．

①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1

b

≥2.

解析：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，所以ab ≤? ??

??a ＋b 22

＝1，所以①恒成立；

a ＋

b ≤2

（a ）2＋（b ）2

2

＝2，所以②不恒成立；

a 2＋

b 2≥

（a ＋b ）2

2

＝2，所以③恒成立； 当a ＝b ＝1时，a 3＋b 3＝2＜3，所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝1

2(a ＋b )????1a ＋1b ＝12????2＋a b ＋b a ≥2，所以⑤恒成立． 答案：①③⑤ 6．若对任意x >0，

x

x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．

解析：因为x >0，所以x ＋1

x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，

所以有

x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x

＋3≤12＋3＝1

5

，

即

x x 2＋3x ＋1

的最大值为15，故a ≥1

5.

答案：?

??

a ???

??a ≥15

7．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1

b

＝2 2.

(1)求a 2＋b 2的最小值；

(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．

解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1

b ＝22≥2

1ab ，即ab ≥1

2

(当且仅当a ＝b 时等号成立)．

因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×1

2＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，

所以a 2＋b 2的最小值为1.

(2)因为1a ＋1

b ＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，

即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.

C 级——拓展探索性题目应用练

某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－

k

m ＋1

(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．

(1)将2019年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？

解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2

m ＋1，

又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x

x

元， ∴y ＝x ? ??

??

1.5×

8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8? ??

??3－2m ＋1－m

＝－????

??16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．

(2)∵m ≥0，

16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16

m ＋1

＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y m ax ＝21.

故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．