司马红丽必修五模块提升讲义

第一讲解斜三角形

【知识要点归纳】

正弦定理余弦定理

公式变形应用

三角形内角和定理锐角三角函数【典例分析】例1、解下列三角形

⑴已知在△ABC 中，10=c ，?=45A ，?=30C ，求b a ,和B ； ⑵已知在△ABC 中，3=b ，?=60B ，1=c ，求a 和C A ,；

⑶△ABC 中，6=c ，?=45A ，2=a ，求b 和C B ,。

例2、解下列三角形

⑴△ABC 中，32=a ，26+=

c ，?=45B ，求b 和A ；

⑵△ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为c b a ,,若26+==c a 且?=∠75A ，则b = 。

例3、如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该

曲线段为函数y=Asin ωx(A>0, ω>0) x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°。（I ）求A , ω的值和M ，P 两点间的距离；（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？

例4、在△ABC 中，C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 22

=-，且C A C A sin cos 3cos sin =，

求b 。

例5、设△ABC 中的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，()2

3cos cos =+-B C A ，ac b =2

，求B 。

例6、△ABC 中，C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，B

A B

A C cos cos sin sin tan ++=

，()C A B cos sin =-。

⑴求C A ,；

⑵若33+=?ABC S ，求c a ,。

例7、根据已知条件判断三角形形状。

⑴B a A b cos cos =； ⑵2

cos

sin sin 2

A C

B =?； ⑶()()ab c b a c b a 3=-+++，且

C B A sin sin cos 2=。

【课堂练习】

1、在△ABC 中，若2

22c b a +>，则△ABC 为；

若2

22c b a +=，则△ABC 为；

若222c b a +<且222c a b +<且2

22a b c +<，则△ABC 为。 2、在△ABC 中，C B A sin cos 2sin =，则三角形为。 3、如图，△ABC 三个顶点坐标为)5,6(，()8,2-，()1,4。求A cos 。

4、在△ABC 中，证明下列各式：

⑴(

)0tan tan )(2

222

=+-+--B c b a A c b a ；

⑵2

2221

12cos 2cos b a b B a A -

=-。

5、在△ABC 中，a BC =，b AC =，b a ,是方程02322

=+-x x 的两根，且1)cos(2=+B A ，求：

⑴角C 的度数； ⑵AB 的长度； ⑶△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=。

⑴求A 的大小；

⑵若1sin sin =+C B ，试判断△ABC 的形状。

7、在△ABC 中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，设S 为△ABC 的面积。满足)(4

3222

c b a S -+=

。 ⑴求角C 的大小；⑵求B A sin sin +的最大值。

8、在△ABC 中，

C B

AB AC cos cos =

。 ⑴证明：C B =；

⑵若3

1cos -=A ，求)3

4sin(π

+B 的值。

第二讲等差数列与等比数列基础梳理

【知识要点归纳】

【典例分析】例1、求解下列问题

⑴已知{}n a 为等差数列，105531=++a a a ，99642=++a a a ，则20a = ； ⑵已知{}n a 为等差数列，且1247-=-a a ，03=a ，则公差=d ； ⑶已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2

5932a a a =?，12=a ，则=1a 。

例2、⑴设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知32=a ，116=a ，则7S = 。

⑵公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于

A.18

B.24

C.60

D.90

例3、在等差数列{}n a 中，605-=a ，1217-=a ，求数列{}||n a 的前n 项和。

例4、求解下列问题

⑴设首项为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前n 2项和为6560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q ； ⑵在n

和1+n 之间插入n 个正数，使这2+n 个数依次成等比数列，求所插入的n 个数之积。

例5、设等差数列{}n a 满足53=a ，910-=a 。

⑴求{}n a 的通项公式；

⑵求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。

例6、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123=a ，012>S ，013

⑴求公差d 的取值范围；

⑵指出1221,,,S S S Λ中哪个最大，并说明理由。

【课堂练习】

1.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且63=S ，41=a ，则公差d = 。

2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

=S S ，则=69S S 。

3.已知等差数列{}n a 中，105531=++a a a ，99642=++a a a 。以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是。

4. 设()10310

222++++++=n n f Λ（N n ∈），则()=n f 。

5. 若数列{}n a 满足：11=a ，n n a a 21=+（+

∈N n ），则=5a ；前8项的和=8S 。

6. 在等差数列5-，213

-，2-，2

-，…的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项。

7. 已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a ，求{}n a 的前n 项和n S 。

8. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列。

⑴求{}n a 的公比q ； ⑵求331=-a a ，求n S 。

9. 已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足5563=a a ，1672=+a a 。

⑴求{}n a 的通项公式；

⑵若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：n n n b b b b a 2

22233

221++++=

Λ（n 为正整数）。求数列{}n b 的前n 项和n S 。

第三讲等差数列与等比数列综合

例1、等差数列{}n a 中，104=a 且3a ，6a ，10a 成等比数列，求数列{}n a 的前20项的和20S 。

例2、一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列

的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

例3、已知实数y a a x ,,,21成等差数列，y b b x ,,,2

1成等比数列，则()2

21b b a a +的取值范围是。

例4、在数列{}n a 中，11=a ，n

n n a a 221+=+。设1

n n

n a b 。证明：数列{}n b 是等差数列。

例5、已知数列{}n a 满足，11=a ，22=a ，2

12+++=

n n n a a a ，*

N n ∈。令n n n a a b -=+1，证明：{}n b 是等比数列。

例6、在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，且()111-+--=n n n qa a q a （2≥n ，0≠q ）。设n n n a a b -=+1（*

N n ∈），

证明：{}n b 是等比数列。

【课堂练习】

1、等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是。

2、给定正数c b a q p ,,,,，其中q p ≠，若q a p ,,成等比数列，q c b p ,,,成等差数列，则一元二次方程

022=+-c ax bx （）

A.无实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个同号的相异实数根

D.有两个异号的相异的实数根 3、已知c b a ,,成等比数列，b x a ,,和c y b ,,都成等差数列，且0≠xy ，那么

x a += 。 4、已知方程(

)(

)

0222

=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为

的等差数列，则=-n m 。 5、在数列{}n a 中，21=a ，1341+-=+n a a n n ，*

N n ∈。证明数列{}n a n -是等比数列。

6、已知数列{}n a 的前n 项和为n S 是关于正自然数n 的二次函数，其图像上有三个点C B A ,,求数列

a 的通

项公式，并指出{}n a 是否为等差数列，说明理由。

第四讲求通项公式和前n 项和

【要点归纳】一、求通项公式的方法 1.累加法 2.累乘法 3.公式法 4.减项做差法 5.其他二、求和的方法 1.公式法 2.倒序相加 3.错位相减 4.裂项相消

【典例分析】

例1、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知下列式子，求通项公式

⑴n kn S n +=2，+

∈N n ，其中k 是常数； ⑵1322

++=n n S n ；

⑶15+=n n S a ；

⑷11=a ，n n S a 21=+（+

∈N n ）

例2、已知数列{}n a 满足11=a ，11

3--+=n n n a a （2≥n ），求n a 。

例3、已知数列{}n a 满足11=a ，32=a ，n n n a a a 2312-=++（*

∈N n ）

⑴证明：数列{}n n a a -+1是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式。

例4、已知11=a ，n n

n a a 21=+，求n a 。

例5、设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112

21=+-+++n n n n a a na a n （Λ,3,2,1=n ），则它的通项公

式=n a 。

例6、求和：

⑴

()21

531421311+++?+?+?n n Λ； ⑵()()13231

71741411+-++?+?+?n n Λ；

例7、求数列：1，43?，2

45?，…，()1

12-?-n n 的前n 项和。

例8、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的*

∈N n ，点()n S n ,，均在函数r b y x

+=（0>b 且1≠b ，

r b ,均为常数）的图像上。

⑴求r 的值； ⑵当2=b 时，记n

n a n b 41+=（*

∈N n ），求数列{}n b 的前n 项和n T 。

【课堂练习】

1、已知数列{}n a 中，11=a ，31=-+n n a a ，则=n a 。

2、已知数列{}n a 中，11=a ，

=+n

n a a ，则=n a 。 3、数列

21，321+，4

321

++，…，)1(4321+++++k Λ，…的前n 项和=n S 。

4、等差数列{}n a 的前n 项和为18，前n 2项和为28，则前n 3项和为。

5、数列{}n a 中，21=a ，cn a a n n +=+1（c 是常数，Λ,3,2,1=n ）且321,,a a a 成公比不为1的等比数列。

⑴求c 的值；

⑵求{}n a 的通项公式。

6、已知数列{}n a 的前n 项和2211

??--=-n n n a S （n 为正整数）

。令n n

n a b 2=，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式。

7、若数列{}n a 的通项n

n n a 3)12(?-=，求此数列的前n 项和n S 。

8、求数列211

，412，813，…，??? ?

+n n 21，…的前n 项和n S 。

9、已知数列{}n a 的通项公式56-=n a n ，设3

n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和。

第五讲解不等式和线性规划

【要点归纳】

一、不等式的类型和解法

二、线性规划的方法

【典例分析】例1、解不等式：

⑴0322

≤-+x x ⑵062

<+-x x ⑶01442

≥-+x x

⑷0962

≤+-x x ⑸042

<-+-x x

例2、0)3)(1)(53(>-+-x x x

例3、01

3>+-x x

例4、1|53|>-x

例5、解关于x 的一元二次不等式012

>++ax x （a 为实数）。

例6、若x 、y 满足条件??

??≤+-≥+-≤-+010*******

122y x y x y x ，求y x z 2+=的最大值和最小值。

例7、设x ，y 满足约束条件??

??≥≥≥+-≤--0

,0020

63y x y x y x ，若目标函数z=ax +by （a >0，b>0）的值是最大值为12，则23a b +

的最小值为 ( ). A.625 B.38 C. 3

D. 4

例8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若84≥a ，105≤a ，则6S 的最小值为。

【课堂练习】

1. 若实数,x y 满足2045x y x y +-≥??

≤??≤?

则s y x =-的最小值为__________.

2.已知不等式组??

??≤-≥≤a x x y x y ，表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，则y x z +=2的

最大值为。

3. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,

乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为______元。 4.解下列不等式：

⑴0432>--x x ⑵0122≤--x x ⑶0432

>-+x x

⑷08162

≤+-x x ⑸01

22≤+-x x

⑹1|132|2>+-x x

⑺0)1092)(23(2

>+-+-x x x x

5.解关于x 的不等式0)1(2

<++-a x a x 。

第六讲均值不等式

【要点归纳】 1.均值不等式

2.对勾函数与均值不等式的关系

【典例分析】

例1、⑴求函数x

x x f 1)(+=；

⑵求函数2

3)(2

2++=x x x f 的最小值；

⑶已知45<

x ，函数5

4124-+-=x x y 的最大值为。

例2、求)

1(613

842+++=x x x y ，[)+∞∈,1x 的最小值。

例3、求1

+++=x x x y （2->x ）的值域。

例4、平面直角坐标系有点()x P cos ,1，()1,cos x Q ，???

∈4,4ππx ⑴求向量和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数()x f ； ⑵求θcos 的最值。

例5、围建一个面积为360m 2

的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面

围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

【课堂练习】 1. 函数()x x x f 49+

=，??

??∈52,0x 的值域是。 2. 函数x

x y sin 2

2sin +

的值域是。 3. 设0>x ，若1>+x

x 恒成立，则实数a 的取值范围是。

4. 设0,0.a b >>1133a b

a b +与的等比中项，则的最小值为（）

A 8

B 4

C 1

D 1

5. 函数1

72+++=x x x y )1(-≠x 的值域是。

6.函数5

++=x x y 的最大值是。

第七讲点线面位置关系

【要点归纳】 1、平面图形知识

2、空间图形知识

3、位置关系

【典例分析】

例1、将正三棱柱截去三个角（如图所示，C B A ,,分别是GHI 三边的中点）得到几何体如图，则该几何体

按所示方向的侧视图为（）

例2、根据三视图还原图形。 ⑴ ⑵

C D

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

⑶

例3、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的

侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则b a +的最大值为（） A.22 B.32 C.4 D.52

例4、在长方体1111D C B A ABCD -中，哪些棱与1AA 平行？异面？垂直？

例5、在长方体1111D C B A ABCD -中，哪些面与AB 平行？垂直？

例6、判断下列说法是否正确？

⑴垂直于同一直线的两条直线相互平行； ⑵平行于同一直线的两个平面平行； ⑶平行直线的平行投影重合；

⑷若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ⑸若m 、n 与α所成角相等，则m n //； ⑹若α?m ，n m //，则α//n ； ⑺若γα⊥，γβ⊥，则βα//；

⑻若α⊥m ，β//n ，βα⊥，则n m ⊥；

⑼如果α?m ，α?n ，m 、n 是异面直线，那么α//n ； ⑽若平面α内有不共线三点到平面β的距离相等，则βα//。

例7、已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面α内一定存在一条直线b ，使得a 与b （）

A.平行

B.相交

C.异面

D.垂直

正视图

侧视图

俯视图

【课堂练习】

1、将装有水的长方体的水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽的水形成的几何体是（）

A.棱柱

B.棱台

C.棱柱与棱锥组合体

D.不能确定 2、若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则（）

A.过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行；

B.过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直；

C.过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交；

D.过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面；

3、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 3

cm 。

4、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：3

cm ）为（）

A.21248+

B.22448+

C.21236+

D.22436+

5、长方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=BC ，51=BB ，一只蚂蚁从点A 出发沿表面爬行到点1C ，

求蚂蚁爬行的最短路线的长。

正视图侧视图

俯视图