应用数学基础分章习题答案 第三章

一、判断

1. 设α?和β?是有限维线性空间X 上的两种范数，{}X y X x X x n ∈∈?00,,. 若

0l i m 0

=-∞

→α

x x n n 且0lim 0

=-∞

→β

y x n n ，则00y x =. ( )

2. 设α

?

和β

?

是线性空间X 上的两种等价范数，{}X y X x X x n ∈∈?00,,. 若

0l i m 0

=-∞

→α

x x n n 且0lim 0

=-∞

→β

y x n n ，则00y x =. ( )

3. 由矩阵A n m C ?∈确定的线性算子是有界的. ( )

4. 由矩阵A n m C ?∈确定的线性算子是连续的. ( )

5. 设矩阵A n m C ?∈，定义映射:n m A C C →，对任意1(,

,)T n n x C ξξ=∈，

()A x Ax =，则A 是有界线性算子. ( )

6. 设X 和Y 都是赋范线性空间，T:Y X →是线性算子, 若T 在0x x =处连续，则T 在X 上是有界的. ( )

7. 若(,)X ?是一赋范空间，则)(22

2

2

2

y x

y

x y

x +=-++. ( )

8. 若赋范线性空间X 的子集M 是紧的，则M 任何非空的闭子集也是紧的. ( ) 9. ][b a ,上全体有理系数多项式构成的集合P ][b a ,是实空间(C ][b a ,,?)(其中

)(max t x x b

t a ≤≤=)中的完备子空间. ( )

10. ][b a ,上全体实系数多项式构成的集合P ][b a ,是实空间(c ][b a ,,?)(其中

)(m ax t x x b

t a ≤≤=)中的闭集. ( )

11. 设Y X ,是赋范线性空间，若Y 是有限维的，则),(Y X B 是完备的. ( ) 12. 若赋范线性空间X 是列紧的，则X 是Banach 空间. ( )

13. 设X 是赋范线性空间,X y x ∈,,若f X *?∈, 都有()()f x f y =, 则y x =. ( )

14. 设X 是内积空间,X y x ∈,,若X u ∈?有>>=<??<若对任意的X u ∈均有0,>=

( )

16. 若赋范线性空间X 的子集M 是紧的，则M 任何非空的闭子集是有界的. ( )

17. 可数多个开集的交仍是开集. ( ) 18. 可数多个闭集的并仍是闭集. ( )

19. 设A n {}n =1￥

是赋范线性空间E 的一列紧子集，则

也为紧子集. ( ) 20. 设A i (1￡i ￡n )均为赋范线性空间E 的紧子集，则

也为紧子集. ( )

21. 设X 是赋范线性空间,x X ∈,且x θ≠，则存在有界线性泛函f X *∈, 使得

()f x x =, 1f =. ( )

22. )1(+∞≤≤p l p 都是可分的赋范线性空间. ( ) 23. )1(+∞<≤p l p 都是可分的赋范线性空间. ( )

24. C [a ,b ]上的范数 x =max a ￡t ￡b x (t )和 x 1=x (t )dt a b

ò是等价的. ( )

25. n n C ?上的方阵范数1?与2?是等价范数. ( )

26. 设 x n {},y n {}

为赋范线性空间X 中的两个Cauchy 列，则 x n -y n {}

必收敛.

( )

二、填空

1. ]1,0[1C 是][1,0上所有有连续一阶导数的函数的全体构成的]1,0[C 的子空间，

)(max 1

0t x x t ≤≤=（()[,]x t C a b ∈）. 若线性算子T ：][][1,01,01

C C →的定义

为 ()()Tx t =

dt

t dx )

(，则T 是 . 2. ]1,0[1

C 是][1,0上所有有连续一阶导数的函数的全体构成的]1,0[C 的子空间，

)(max 1

0t x x t ≤≤=（()[,]x t C a b ∈），线性算子T ：][][1,01,01

C C

→的定义为

)(3)

(2

))((t x dt

t dx t Tx +=，则T 是 .

3. 设??

??

?

?????-=i i i A 010010，则1A = ，∞A = ，2A = ，F A = .

4. 设20100103i A i i -????=-??????

，则 A (m )= . 5. 设X 是赋范线性空间,则3(,)B X R 是 .

6. 设Y X ,是赋范线性空间,若Y 是有限维的,则),(Y X B 是 .

7. 设X 是任意赋范线性空间，则X 到n C 的所有线性算子构成的赋范线性空间

(,)n B X C 是 .

8. 设X 是任意赋范线性空间，则),(p l X B 是 . 9. 设{}n u 是Hilbert 空间的完全正交系，?X x ∈，则2

x ＝ . 10. 设 A ?

n ′n

是Hermite 矩阵， r (A )=2，则 A 的谱范数为 .

11. 若有界线性算子T:][][2,02,0c c →的定义为

(Tx)(t)=][[)]2,0,2,0()(0∈∈?t c x ds s x t

，则T = .

12. 设n n C U ?∈是酉矩阵，则其谱范数=2

U

.

13. 设),(?n R 是赋范线性空间，设)(),,,1(121N k R x n T n k k k ∈∈= ，则}{k x 按范数收敛于 .

14. 设X 是赋范线性空间,X y x ∈,,若f X *?∈, 都有0)(=x f , 则=x .

四、证明题

1. 对任意n

n j i C a A ?∈=)(，定义 11

max()n

ij i n

j A a ∞≤≤==∑，则∞

?

是n

n C ?上的方阵范数，

0,≠∈ββn C ，定义

H

x

x β

β∞

=，n

C

x ∈. 证明 β

?

是n

C 上与

方阵范数∞

?

相容的向量范数.

2. 对任意n

n j i C

a A ?∈=)(，定义 111

max()n

ij j n

i A a ≤≤==∑，则1

?

是n n C ?上的方阵 范数. 对任意n C β∈ 且0β≠，定义1

H x x ββ

=，n

C x ∈. 证明β

?

是n

C 上 的范数且与方阵范数1

?

相容.

3. 设?.是n n C ?上的方阵范数，D 是n 阶可逆方阵. 对任意n n C A ?∈，定义

1-*=DAD A ，证明*?是n n C ?上的方阵范数.

4. 设?是n n C ?上的方阵范数，D 、n n C C ?∈是可逆矩阵且11D -<，11C -<.对任意n

n j i C

a A ?∈=)(，定义 A DAC *=，证明

*

?

是n n C ?上的方阵范数.

5. 设C[0,1]上的范数为)(max 1

0t x x t ≤≤= ([0,1])x C ∈定义算子:[0,1][0,1]T C C → 为0()()()(0)t

au Tx t e x u du a =>? ([0,1],[0,1])x C t ∈∈.

试证：T 是有界线性算子，并求T .

6. 设C[0,1]上的范数为)(max 1

0t x x t ≤≤= ])1,0[(C x ∈定义算子]1,0[]1,0[:C C T →为

udu u x t Tx t

cos )())((0

?= ])1,0[],1,0[(∈∈t C x .

试证：T 是有界线性算子并求T . 7. 设 T :l p ?l p (1￡p <￥)定义如下：

T (x 1,x 2,,x n ,),=(x 2,,x n ,),

其中

(x 1,x 2,,x n ,)?l p .

（1）判断 T 是否为有界线性算子；

（2）若 T 为有界线性算子，则求 T 的算子范数.

8. 设}{ ,1n a l X =为有界数列，||sup n N

n a M ∈=，定义映射T 如下：

).}{( },,,,{)(2211X x a a a x T n n n ∈=?=ξξξξ

证明：T 为X 到X 的有界线性算子，且M T =.

9. 设算子∞∞→l l T : 定义为}){( },{})({1n n n n x T ξξξ=?=. 证明：T 为有界线性算子.

10. （1）设X 和Y 是赋范线性空间，Y X T →:是有界线性算子，试证：若A

是X 中的列紧集，则T(A)是Y 中的列紧集；

（2）若,A B 是X 中的紧集，则A B 仍是X 中的紧集.

11. 设X 和Y 是赋范线性空间，Y X T →:是连续映射，试证：若A 是X 中的列紧集，则T(A)是Y 中的列紧集，并且紧空间的有限维子空间是紧的. 12. （1）设X 是赋范线性空间，:f X R →是有界线性泛函，试证：若A 是X

中的紧集，则()f A 是R 中的紧集；

（2）若,A B 是X 中的紧集，则A B 仍是X 中的紧集.

13. 设n R R T →:是连续的向量值函数，若],[b a A =，试证：T(A)是n R 中的紧集. 14. 设 E ,F 为算子赋范线性空间， T :E ?F 为连续算子. 证明：当A 在 E 中稠密 时， T (A )在 T (E )中稠密. 15. 设

A m ?

n ′n

(m =0,1,2,)且

lim m ?￥A m =A 0. 证明： lim m ?￥A H m

=A H

0. 16. 设 x n {}， y n {}

为赋范线性空间 X 的两个Cauchy 列. 证明 x n -y n {}

必收敛.

17. 设X 是赋范线性空间，证明：任意的*X f ∈，其零空间)(f N 均为X 的闭线性子空间.

18. 设21,Y Y 为赋范线性空间X 的线性子空间. 证明：21Y Y 也是X 的线性子空间.