极限与连续部分基本概念
极限与连续（包含第三章集合 映射和函数）
§1 函数及其特性
基本概念
1． 集合 集合的表示方法 集合的关系及运算 （见书中概念）
2． 映射
3． *函数 定义域 值域
函数的两要素：定义域 对应法则
4． 反函数 )(x f y =，)(1x f y -=
注意（1）不是任一函数都存在反函数，反函数存在的条件；
（2）一个函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=互为反函数；
（3）)(x f y =与)(1x f y -=图像关于直线y=x 对称；
（4）)(x f y =的定义域即为)(1x f y -=值域，而)(x f y =的值域即为
)(1x f y -=的定义域。
5．函数的基本性质
（1）有界性
界是不唯一的；函数的有界性与区间有关（如函数x
y 1=
在区间（1，2）有界，但在（0，1）无界）；
（2）单调性 函数的单调性在后面的导数应用中还会用到
函数的单调性也与区间有关（如函数2x y =在)0,(-∞上是减函数，
),0(+∞上是增函数）
；如一函数在某区间是严格增函数（或减函数），则其必有反函数。
（3）奇偶性（函数要定义在一对称区间上）
偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称且f (0)=0;
判断一函数的奇偶性只需验证f (x )与f (-x )关系.
（4）周期性
f (x )= f (x +T)= f (x +k T) k 为整数
三角函数的周期性。
6． 幂函数，指数函数，对数函数
常用的指数函数：x e y =，常用的对数函数：x y ln =；指数函数与对数函数互为反函数。
7． 基本初等函数
幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数统称为基本初等函数。
对于基本初等函数的图形及其基本特性必须熟练掌握。
8． 复合函数
掌握两个（或多个函数）是如何复合构成新函数的（即复合函数是如何复合而成的）。
9． 初等函数
10. 分段函数
分段函数不是两个或多个函数，它是一个函数，只是自变量在不同的取值范围其函数表达式不同。
分段函数在分段点处极限的存在性，连续性，可导性等都是难点。
§2 数列极限
基本概念
1． 数列极限
数列极限是一常数，是随着数列项数的增加通项的一种变化趋势。
2． 数列极限的四则运算
数列极限的四则运算的前提两个数列极限都存在。
§3 函数极限
一、基本概念
1． 函数极限
自变量的变化趋势共有6种情形：
（1）A x f x =+∞
→)(lim f (x )在),(+∞a 上有定义； （2）A x f x =-∞
→)(lim f (x )在),(a -∞上有定义； （3）A x f x =∞→)(lim f (x )在),(),(+∞?--∞a a 上有定义；
结论：A x f x =∞→)(lim ?A x f x f x x ==-∞
→+∞→)(lim )(lim 典型：（a ） 2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x
∴ x x arctan lim ∞
→不存在； （b ） +∞=+∞→x x e lim , 0lim =-∞
→x x e ∴ x x e ∞
→lim 不存在. (4) A x f x x =→)(lim 0
f (x )在0x 邻域内有定义（0x 除外）；
（5）左极限 )0()(lim 00-==-
→x f A x f x x ； （6）右极限 )0()(lim 00+==+
→x f A x f x x ； 左右极限主要用于求分段函数在分段点处的极限。
结论： A x f x x =→)(lim 0?A x f x f x x x x ==+
→-→)(lim )(lim 00 注：函数在某点0x 处的极限与函数在该点0x 处是否有定义无关，与函数在此点0x 取何值也无关（函数在某点0x 的极限与此点无关，而与0x 周围点有关）。
2． 函数极限的性质
（1） 极限是唯一；
（2） 若A x f x x =→)(lim 0，则f (x )在0x 邻域内有界， 若A x f x =∞
→)(lim ，则f (x )在|x |充分大时是有界的；
（3） 若0)(lim 0
>=→A x f x x （或<0），则在0x 邻域内f (x )>0（或<0）. 3. 函数极限的运算法则
（1）四则运算法则
C C x x =→0
lim ，其他同数列极限； （2）复合函数的极限法则。
4．两个重要极限
（1）e x x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim ， （e n
n n =+∞→)11(lim ）； 变形： e x x x =+→)(10)())(1(lim ααα；
（2） 1sin lim 0=→x
x x ； 变形：1)
()(sin lim 0)(=→x x x ααα。 5. 无穷小量和无穷大量
注：（1）无穷小量是f (x )有极限的特殊情形；
（2）无穷大量是f (x )没有极限的特殊情形；
（3）无穷小量和无穷大量之间的关系。
6. 无穷小量的性质
注意无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量的应用（如0sin lim =∞→x
x x ）。
7. 无穷小量的比较
高阶无穷小量，同阶无穷小量，等价无穷小量
在应用这些概念时注意前提必须是无穷小量才能比较，否则没有任何意义。
8. 无穷小量的替换（代换）
在进行无穷小量替换时只有在乘除时能替换，在加减时是不能替换的。
二、难点
1. 分段函数在分段点处的极限（如何思考）；
2. 等价无穷小代换在求极限过程中的灵活应用；
3. 重要极限的准确运用；
4. 一些常用结论
（1）01lim =∞→x x ，∞=→x
x 1lim 0； （2）+∞=+∞→x x e lim ，0lim =-∞→x x e ；
（3）1tan lim 0=→x x x ，1arcsin lim 0=→x x x ，1arctan lim 0=→x x x ；
（4）1)1ln(lim 0=+→x x x ， （5）11lim 0=-→x e x x ，
（6）111lim 0=-+→n x x n
x ， 特殊地 12
11lim 0
=-+→x x x ； （7）12
1cos 1lim 20=-→x x x ； （8）若0x x →时，0)(>→a x f ，b x →)(?，则b x x x a x f =→)()(lim 0?。
常用的等价无穷小(必须熟记)
若0→x 时，x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e ～
)11(2-+x ， x cos 1-～22
1x . §4 函数的连续性
基本概念
1． 函数f (x )在某点0x 连续: )()(lim 00x f x f x x =→(或0lim 0
=?→?y x )，它包含三个方面（1）函数在此点有定义，（2）函数在此点的极限存在，（3）极限值等于这点的函数值。三个条件缺一不可。
函数在某点右连续，在某点左连续；
f (x )在某点0x 连续?)()0()0(000x f x f x f =+=-。
2. 函数f (x )在开区间),(b a 连续，在闭区间],[b a 连续。
3. 间断点（不连续点）：三个条件不能都满足。
间断点分类：
第一类间断点：左右极限)0(),0(00+-x f x f 都存在，（1）若相等但不等于此点函数值，称为可去间断点；（2）左右极限不等，称为跳跃间断点； 第二类间断点：非第一类间断点（或左右极限)0(),0(00+-x f x f 至少有一个不存在）。
4. 连续函数的运算性质
结论: 初等函数在其定义区间上都是连续的。
这个结论为极限的计算带来很大的方便，即要求一连续函数的极限转化为求函数在此点的函数值。
5. 闭区间上连续函数的性质
要注意分段函数在分段点处的连续性（由定义去求解） 。
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第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)
第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682, ,,357 极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴=
222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 221 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x ,k Z ∈
持久状况承载能力极限状态计算
持久状况承载能力极限状态计算 在承载能力极限状态下，预应力混凝土梁沿正截面和斜截面都有可能破坏，下面验算这两类截面的承载力。 ① 2.4.1 正截面抗弯承载力计算 荷载基本组合表达式按《桥规》式（4.1.6-1） )(1111 00k Q Q k G n i Gi sd M M M γγγγ+=∑= 现以边梁弯矩最大的跨中截面为例进行正截面承载力计算。 1）求受压区高度x 先按第一类T 形截面梁，略去构造钢筋的影响，由式x b f A f A f f cd p pd S sd ' =+计算受压区高度x ： mm h mm b f A f A f x f f cd S sd p pd 1803.802100 4.221900 33025021260''=<=??+?= += 受压区全部位于翼缘板内，说明确实是第一类T 形截面梁。 2）正截面承载力计算 跨中截面的预应力钢筋和非预应力钢筋的布置见图2-12和图2-17，预应力钢筋和非预应力钢筋的合力作用点到截面底边的距离（a ）为 mm A f A f a A f a A f a s sd p pd s s sd p p pd 1601900 3302502126060 190033018025021260=?+???+??= ++= 所以mm a h h 184016020000=-=-= 按《公预规》式（5.2.2-3），钢筋采用钢绞线，混凝土标准强度为C50，查《公预规》表5.2.1得相对界限受压区高度4.0=b ξ。 mm h x b 73618404.00=?=≤ξ 从表2-10序号⑦知，边梁跨中截面弯矩组合设计值m kN M d ?=01.6612，由式子： )2/(0'0x h x b f M f cd d +≤γ )2/3.801840(3.8021004.22)2/(0'-???=+=x h x b f M f cd u )01.66120.1(595.67980m kN M m kN d ??=≥?=γ 可见边梁弯矩最大的跨中截面正截面承载力满足要求。以下为各个截面的验算，见表
极限配合与技术测量总复习(沈学勤版含习题答案).
第三部分车、钳工工艺与技能训练共同知识 极限配合与技术测量 本章重点内容： 1、(光滑圆柱体)尺寸公差、偏差、配合的基本概念及有关计算。 2、标准公差、基本偏差、公差带代号及基准制。 3、尺寸公差带、配合公差带作图。 4、配合性质的判别方法。 5、游标卡尺、千分尺、百分表的刻线原理及读数方法。 6、技术测量基础知识。 7、形位公差概念、种类、符号、标注及形位公差四要素。 8、表面粗糙度的概念、标注及识读。 本章内容提要： 一、尺寸公差、偏差、配合的基本概念及有关计算 1、尺寸：以特定单位表示线性尺寸的数值称为尺寸。（机械工程中以毫米作为特定单位） 基本尺寸：指设计时给定的尺寸。孔基本尺寸用“L”表示，轴用“l”表示。 实际尺寸：指通过测量获得的某一孔、轴的尺寸。 极限尺寸：指一个孔或轴允许的尺寸的两个界值，较大的一个叫最大极限尺寸，较小的一个叫最小极限尺寸。 2、尺寸公差：指尺寸允许的变动量。尺寸公差是一个正值，公差的大小反映了工件的加工难易程度，公差大加工容易，反之加
工困难。孔用“”表示，轴用“”表示。 尺寸公差=最大极限尺寸—最小极限尺寸=上偏差—下偏差>0即：–>0 >0 3、尺寸偏差：某一尺寸（实际尺寸、极限尺寸等）减去基本尺寸所得的代数差。 实际偏差=实际尺寸-基本尺寸 极限偏差=极限尺寸-基本尺寸 （1）、上偏差： （2）、下偏差： 注意：公差和极限偏差是两种不同的概念。公差大小决定允许尺寸的变动范围，公差值是绝对值。极限偏差决定极限尺寸相对其基本尺寸的位置（在公差带图中），极限偏差可以是正值、负值或零。 4、配合 （1）配合：是指基本尺寸相同、相互结合的孔轴公差带之间的位置关系。 （2）配合这一概念来反映零件组装后的松紧程度。 （3）分类：间隙配合过盈配合过渡配合 （4）配合相关计算公式。
【精品】高等数学习题详解第2章 极限与连续
习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散；
（4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以
配合物的基本概念
配合物的基本概念 一、 配位化合物及其组成 配位化合物 １． 中心离子：中心（中央）离子（或原子）也称为络合物形成体，是配合物的核心部分，位于络离子（或分子）的中心。 ２． 配位体：是在中心离子周围的阴离子或分子，简称配体，其中直接与中心离子结合的原子叫配位原子。 单基配位体 配位体按所含配位原子的数目 多基配位体 ３． 配位数：与中心离子直接结合的配位原子数目。 影响配位数大小的因素： ４． 配离子的电荷：等于中心离子和配位体总电荷的代数和。 配离子 电荷 ５． 配位化合物的定义：凡含有配位离子（或配位分子）的化合物叫配位化合物。 二、 配位化合物的命名 配位化合物的命名遵循一般无机物命名原则，命名配位化合物时，不论配离子是阴离子还是阳离子，都是阴离子名称在前，阳离子名称在后。其中配位个体的命名顺序为： 配位体数（汉字）――配位体名称（如有不同配位体时，阴离子在先，分子在后）――“合”字――中心离子名称及其氧化数（在括号内以罗马字说明） 四氯合铂（II ）酸六氨合铂（II ） 有的配体在与不同的中心离子结合时，所用配位原子不同，命名时应加以区别。 如： 六异硫氰酸根合铁(III)酸钾 硝酸一氯一硫氰根二乙二胺合钴（III ） + ])([23NH Ag 1021+=?+++243])([NH Zn 2042+=?++-36][AlF 3)1(63-=-?++463])([63CS N Fe K ? 3 2]))(([NO en CN S CoCl ?
三硝基三氨合钴（III ） 硫酸一亚硝酸根五氨合钴(III) ] )()([332NH NO Co ?4 53]))(([SO NH ONO Co ?
承载能力极限状态计算
一，为什么进行承载能力极限状态计算？？ 答：承载能力极限状态是已经破坏不能使用的状态。正常使用极限状态是还可以勉强使用，承载能力极限状态是根据应力达到破坏强度，为了使建筑避免出现这种状态从而进行计算，使建筑数值高于极限承载能力状态的数值。 二，承载能力极限状态计算要计算那些方面？？ 答：1作用效应组合计算；2正截面承载力的计算；3斜截面承载力计算；4扭曲截面承载力计算；5受冲击切承载力计算；6局部受压承载力计算。 三，1作用效应组合计算所用到的公式及其作用： 其效应组合表达式为： ) (2 111 00∑∑==++=n j QjK Qj C K Q Q m i GiK Gi ud S S S S γψγγγγ 跨中截面设计弯矩 M d =γG M 恒+γq M 汽+γq M 人 支点截面设计剪力 V d =γG V 恒+γG1V 汽+γG2V 人 2正截面承载力的计算所用到的公式及其作用：
（1）T形截面受弯构件位于受压区的翼缘计算宽度，应按下列三者中最小值取用。 翼缘板的平均厚度h′f =(100+130)/2=115mm ①对于简支梁为计算跨径的1/3。 b′f=L/3=19500/3=6500mm ②相邻两梁轴线间的距离。 b′f = S=1600mm ③b+2b h+12h′f，此处b为梁的腹板宽，b h为承托长度，h′f为不计承托的翼缘厚度。 b′f=b+12h′f=180+12×115=1560mm （2）判断T形截面的类型 设a s=120mm，h0=h－a s=1300－120=1180mm；
mm N M mm N h h h b f d f f f cd -?=>-?=- ??='- ''60601022501000.2779) 2 115 1180(11515608.13)2(γ 故属于第一类T 形截面。 （3）求受拉钢筋的面积A s mm h mm x x x x h x b f M f f cd d 11517.92:) 2 1180(15608.13102250) 2(:600='<=-?=?-'=解得根据方程γ 2 708728017 .9215608.13mm f x b f A sd f cd s =??= '= 满足多层钢筋骨架的叠高一般不宜超过0.15h~0.20h 的要求。 梁底混凝土净保护层取32mm ，侧混凝土净保护层取32mm ，两片焊接平面骨架间距为： ?? ?=>>=?-?-mm d mm mm 4025.1404.448.352322180 §2.2正截面抗弯承载力复核 ⑴跨中截面含筋率验算 mm a s 60.1137238) 4.188.35432(804)8.35232(6434=+?++?+= h 0=h －a s =1300－113.60=1186.40mm ???=>>=>=?== %19.0/45.0%2.0%39.340.11861807238 min 0sd td s f f bh A ρρ ⑵判断T 形截面的类型 N A f N h b f s sd f f cd 331064.202628072381072.247511515608.13?=?=>?=??=''
极限配合试题
第一章极限与配合练习题 一．选择题 1.关于孔和轴的概念，下列说法中错误的是（） A、圆柱形的内表面为孔，外表面为轴 B、由截面呈矩形的四个内表面或外表面形成一个孔或一个轴 C、从装配关系看，包容面为孔，被包容面为轴 D、从加工过程看，切削过程中尺寸由小变大的为孔，由大变小的为轴 答案：B 2.公称尺寸是（） A.测量时得到的 B.加工时得到的 C.装配后得到的 D.设计时给定的答案：D 3. 实际偏差是（）。 A、设计时给定的； B、直接测量得到的； C、通过测量，计算得到的； D、最大极限尺寸与最小极限尺寸之代数差。答案：C 4. 关于偏差与公差之间的关系，下列说法正确的是（）。 A、实际偏差愈大，公差愈大； B、上偏差愈大，公差愈大； C、下偏差愈大，公差愈大； D、上下偏差之差的绝对值愈大，公差愈大。答案：D 5.下极限尺寸减其公称尺寸所得的代数差为（） A.上极限偏差 B.下极限偏差 C. 基本偏差 D. 实际偏差 答案：B 6. 尺寸公差带图的零线表示（）。 A、最大极限尺寸； B、最小极限尺寸； C、公称尺寸； D、实际尺寸 答案：C 7. 基本偏差确定公差带的位置，一般情况下，基本偏差是（）。 A、上偏差； B、下偏差、 C、实际偏差； D、上偏差或下偏差靠近零下的那个。 答案：D 8.当孔的下极限尺寸与轴的上极限尺寸之差为正值时，此代数差称为（） A.最大间隙 B. 最小间隙 C.最大过盈 D.最小过盈 答案：B 9.当孔的下极限尺寸与轴的上极限尺寸之差为负值时，此代数差称为（） A.最大间隙 B. 最小间隙 C.最大过盈 D.最小过盈 答案：C 10.当孔的上极限偏差大于相配合的轴的下极限偏差时，此配合的性质是（） A. 间隙配合 B.过度配合 C. 过盈配合 D.无法确定 答案： D 11.确定不在同一尺寸段的两尺寸的精确程度，是根据（） A.两个尺寸的公差数值的大小 B. 两个尺寸的基本偏差
第二章极限习题及答案：函数的连续性
函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．
高等数学习题详解-第2章-极限与连续
习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以
课题：配位化合物的基本概念
课题：配位化合物的基本概念 课型：课时：上课时间： 学习目标： 1、了解配合物的形成原理 2、知道配位键、配合物、配离子等基本概念 3、掌握配合物的组成和命名 重、难点： 1、配合物的组成 2、配合物的命名 学习过程： 课前检测： （一）完成下面方程式： 1、硫酸铜与氨水反应 2、硫酸铜与氯化钡反应 3、硝酸银与氨水反应 （二）溶度积规则Qi与Ksp的关系 学习新课 一、配合物的定义 [实验探究] 1、取一支试管加入5mL 0.1mol/L CuSO4溶液，然后逐滴加入2mol/L NH3·H2O 溶液至过量，观察并记录现象 。 2、将上述溶液分成两份，一份滴加数滴0.1mol/L BaCl2溶液，另一份滴加数滴1mol/L NaOH溶液，观察并记录现象 。 3、分析实验现象，你能得出什么结论： 。 （沉淀－溶解平衡考虑） [自学反馈]预习P130配合物的定义，理解下列几个基本概念 1、配位键 2、配离子 3、配合物 二、配合物的组成 [自学反馈]预习P131配合物的组成，掌握配合物的组成 以[Cu(NH3)4]SO4为例，分析其组成 [Cu(NH3)4]SO4
1、中心原子：通常是， 例如：。 2、配位体：提供的分子和离子叫配位体 例如：。 配位原子：配位体中原子叫配位原子 例如：。 3、配位数：作为直接与结合的的数目，即形成配位键的数目称为配位数。 4、配离子的电荷数：配离子的电荷数等于和电荷数的代数和。 5、内界和外界：配合物分为内界和外界，其中称为内界，与内界发生电性匹配的称为外界。 三、配合物的命名 [自学反馈]预习P132配合物的命名，熟悉配合物的命名规则 1、配离子的命名： 2、配位酸： 3、配位碱： 4、配位盐： 自学检测：命名下列配合物 （1）K2[PtCl6] （2）K4[Fe(CN)6] （3）[Co(NH3)6]Cl3； （4）[CrCl2(H2O)4]Cl （5）[Co(NO3)3(NH3)3] （6）[Fe(CO)5]
建筑结构应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计
第一章概述 建筑结构应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。前者指结构或构件达到最大承载力或达到不适于继续承载的变形时的极限状态；后者为结构或构件达到正常使用的某项规定限值时的极限状态[1]。钢结构可能出现的承载能力极限状态有：①结构构件或连接因材料强度被超过而破坏；②结构转变为机动体系；③整个结构或其中一部分作为刚体失去平衡而倾覆；④结构或构件丧失稳定；⑤结构出现过度塑性变形，不适于继续承载；⑥在重复荷载下构件疲劳断裂。其中稳定问题是钢结构的突出问题，在各种类型的钢结构中，都可能遇到稳定问题，因稳定问题处理不利造成的事故也时有发生。 1.1钢结构的失稳破坏 钢结构因其优良的性能被广泛地应用于大跨度结构、重型厂房、高层建筑、高耸构筑物、轻型钢结构和桥梁结构等。如果钢结构发生事故则会造成很大损失。 1907年，加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥，在用悬臂法架设桥的中跨桥架时，由于悬臂的受压下弦失稳，导致桥架倒塌，9000t钢结构变成一堆废铁，桥上施工人员75人罹难。大跨度箱形截面钢桥在1970年前后曾出现多次事故[2]。 美国哈特福德市（Hartford City）的一座体育馆网架屋盖，平面尺寸92m×110m，该体育馆交付使用后，于1987年1月18日夜突然坍塌[3]。由于网架杆件采用了4个等肢角钢组成的十字形截面，其抗扭刚度较差；加之为压杆设置的支撑杆有偏心，不能起到预期的减少计算长度的作用，导致网架破坏[4]。20世纪80年代，在我国也发生了数起因钢构件失稳而导致的事故[5]。 科纳科夫和马霍夫曾分析前苏联1951—1977年期间所发生的59起重大钢结构事故，其中17起事故是由于结构的整体或局部失稳造成的。如原古比雪夫列宁冶金厂锻压车间在1957年末，7榀钢屋架因压杆提前屈曲，连同1200 m2屋盖突然塌落。 高层建筑钢结构在地震中因失稳而破坏也不乏其例。1985年9月19日，墨西哥城湖泊沉淀区发生8.1级强震，持时长达180s，只隔36h又发生一次7.5级强余震。震后调查表明，位于墨西哥城中心区的Pino Suarez综合楼第4层有3根钢柱严重屈曲（失稳），横向X形支撑交叉点的连接板屈曲，纵向桁架梁腹杆屈曲破坏[6]。1994年发生在美国加利福尼亚州Northridge的地震震害表明,该地区有超过100座钢框架发生了梁柱节点破坏[7],对位于Woodland Hills地区的一座17层钢框架观察后发现节点破坏很严重[8],竖向支撑的整体失稳和局部失稳现象明显。1995年发生在日本Hyogoken-Nanbu的强烈地震中，钢结构发生的典型破坏主要有局部屈曲、脆性断裂和低周疲劳破坏[9]。 对结构构件，强度计算是基本要求，但是对钢结构构件，稳定计算比强度计算更为重要。强度问题与稳定问题虽然均属第一极限状态问题，但两者之间概念不同。强度问题关注在结构构件截面上产生的最大内力或最大应力是否达到该截面的承载力或材料的强度，因此，强度问题是应力问题；而稳定问题是要找出作用与结构内部抵抗力之间的不稳定平衡状态，即变形开始急剧增长的状态，属于变形问题。稳定问题有如下几个特点： （1）稳定问题采用二阶分析。以未变形的结构来分析它的平衡，不考虑变形对作用效应的影响称为一阶分析（FOA—First Order Analysis）；针对已变形的结构来分析它的平衡，则是二阶分析(SOA—Second Order Analysis)。应力问题通常采用一阶分析，也称线性分析；稳定问题原则上均采用二阶分析，也称几何非线性分析。 （2）不能应用叠加原理。应用叠加原理应满足两个条件：①材料符合虎克定律，即应力与应变成正比；②结构处于小变形状态，可用一阶分析进行计算。弹性稳定问题不满足第二个条件，即对二阶分析不能用叠加原理；非弹性稳定计算则两个条件均不满足。因此，叠加原理不适用于稳定问题。 （3）稳定问题不必区分静定和超静定结构。对应力问题，静定和超静定结构内力分析方法
第二章 极限与连续习题答案
第二章 极限与连续习题答案 练习题2.1 1. （1）1 （2）0 （3）不存在 （4）不存在 2. （1）0 （2）不存在 3. （1）不存在 （2）0 4. 5123 lim ()14,lim ()2,lim ()2,lim ()4x x x x f x f x f x f x →-→→→==== 练习题2.2 1. （1）0sin 7lim 7x x x →= （2）0tan 2lim 2x x x →= （3）0sin 55lim sin 33 x x x →= （4）3lim sin 3x x x →∞= 2. （1）55511lim(1)lim (1)x x x x e x x →∞→∞??+=+=??? ? （2）22211lim(1)lim (1)x x x x e x x ---→∞→∞??-=+=??-? ? （3）21 12200lim(12)lim (12)x x x x x x e ---→→??-=-=???? （4）2232 33 003lim()lim (1)33x x x x x x e ---→→??--=+=???? 练习题2.3 1. （1）无穷小 （2）无穷大 （3）无穷小 （4）无穷大 2. x →∞时函数为无穷小；2x →时函数为无穷大 3. （1）202lim sin 0x x x →=
（2）11lim(1)cos 01 x x x →-=- 练习题2.4 未定式及极限运算 1. （1）4233lim 01 x x x x →-=++ （2）223lim 2 x x x →-=∞- （3）322042lim 032x x x x x x →-+=+ （4）252lim 727 x x x →∞-=+ （5）2423lim 01 x x x x →∞-=++ （6）211113132lim()lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x →→→+---===∞---+-+ 2. 22222 2lim ()lim(2)6,lim ()lim()2,lim (),4x x x x x f x x f x x m m f x m ++--→→→→→=+==+=+∴= 存在 练习题2.5函数的连续 1. 1y ?=- 2. （1）(1,)-+∞ （2）(,0)(0,)-∞+∞ 3. 12 x =连续 1x =不连续 2x =连续 4. （1）1x =-第二类间断点 （2）4x =第一类间断点 5. 证明：设5()31,f x x x =--则()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以()f x 在[]1,2内也连续，而 (1)30,(2)250f f =-<=>，所以，根据零点定理可知，至少有一个12ξ∈（，） ，使得()0f ξ=，即方程531x x -=至少有一个实根介于1和2之间。 复习题二 1. 判断题 （1） X （2） √ （3） X （4） X （5） √ （6） √ （7） X （8） X （9） X （10）X （11）X （12）√ （13）X （14）X （15）√ （16）X （17）√ （18）√ （19）√（20）X （21）√ （22）X 2. 填空题
6容许应力法和承载能力极限状态法在钢结构设计中的区别
容许应力法和概率（极限状态）设计法 在钢结构设计中的应用 中铁五局集团公司经营开发部肖炳忠 内容提要 本文简要介绍了容许应力法、破坏阶段法、极限状态法、概率（极限状态）设计法四个结构设计理论，并且列出了我们经常用的容许应力法和概率（极限状态）设计法的实用表达式和参数选用，通过对上述两种方法参数的比较，总结出我们在工程施工中临时结构设计的实用办法和注意事项，以期望提高广大现场施工技术人员的设计水平的目的。 1、前言 我们在钢结构设计中经常用到容许应力法和概率（极限状态）设计法，有些没有经验的技术人员在设计计算中经常将二者混淆，因此有必要将两种设计计算方法进行介绍和比较，供广大技术人员参考。 2、四种结构设计理论简述 、容许应力法 容许应力法将材料视为理想弹性体，用线弹性理论方法，算出结构在标准荷载下的应力，要求任一点的应力，不超过材料的容许应力。材料的容许应力，是由材料的屈服强度，或极限强度除以安全系数而得。 容许应力法的特点是： 简洁实用，K值逐步减小； 对具有塑性性质的材料，无法考虑其塑性阶段继续承载的能力，设计偏于保守； 用K使构件强度有一定的安全储备，但K的取值是经验性的，且对不同材料，K值大并不一定说明安全度就高； 单一K可能还包含了对其它因素（如荷载）的考虑，但其形式不便于对不同的情况分别处理（如恒载、活载）。 、破坏阶段法 设计原则是：结构构件达到破坏阶段时的设计承载力不低于标准荷载产生的构件内力乘以安全系数K。 破坏阶段法的特点是： 以截面内力（而不是应力）为考察对象，考虑了材料的塑性性质及其极限强度； 内力计算多数仍采用线弹性方法，少数采用弹性方法； 仍采用单一的、经验的安全系数。 、极限状态法 极限状态法中将单一的安全系数转化成多个（一般为3个）系数，分别用于考虑荷载、荷载组合和材料等的不定性影响，还在设计参数的取值上引入概率和统计数学的方法（半概率方法）。 极限状态法的特点是： 在可靠度问题的处理上有质的变化。这表现在用多系数取代单一系数，从而避免了单一系数笼统含混的缺点。 继承了容许应力法和破坏阶段法的优点； 在结构分析方面，承载能力状态以塑性理论为基础；正常使用状态以弹性理论为基础； 对于结构可靠度的定义和计算方法还没法给予明确回答。 、概率（极限状态）设计法
极限配合与技术测量基础练习册知识分享
极限配合与技术测量基础练习册
绪论 一、填空题 1、互换性是指制成的的一批零件或部件，不做任 何、、，就能进行装配，并能保证满足机械产品的的一种特性。 2、零件的几何量误差主要包含、、 和等。 3、制定和贯彻是实现互换性的基础，对零件的是保 证互换性生产的重要手段。 二、判断题 1、互换性要求零件具有一定的加工精度。（） 2、零件在加工过程中的误差是不可避免的。（） 3、具有互换性的零件应该是形状和尺寸完全相同的零件。 （） 4、测量的目的只是为了判定加工后的零件是否合格。（） 三、简答题 1、互换性原则对机械制造有何意义？ 2、具有互换性的零件的几何参数是否必须加工成完全一样？ 为什么？
第一章光滑圆柱形结合的极限与配合 1-1基本术语及其定义 一、填空题 1、零件装配后，其结合处形成包容与被包容的关系，凡统称为 孔，统称伟轴。 2、以加工形成的结果区分孔和轴：在切削过程中尺寸由大变小的为 ，尺寸由小变大的为。 3、尺寸由和两部分组成，如30mm，60um等。 4、零件上实际存在的，通过获得的某一孔、轴的尺寸称 为。 5、允许尺寸变化的两个界限分别是和。 它们是以为基数来确定的。 6、零件的尺寸合格时，其实际尺寸应在和 之间。 7、尺寸偏差可分为和两种，而 又有偏差和偏差之分。 8、孔的上偏差用表示，孔的下偏差用表示；轴的上偏差用 表示，轴的下偏差用表示； 9、当最大极限尺寸等于公称尺寸时，其偏差等于0，当零件的 实际尺寸等于其公称尺寸时，其偏差等于0。
10、零件的减其公称尺寸所得的代数差伟实际偏差，当实际 偏差在和之间时，尺寸合格。 11、尺寸公差是允许尺寸的，因此公差值前不能有 。 12、在公差带图中，表示公称尺寸的一条直线称为。在此线以 上的偏差为，在此线以下的偏差为。 13、尺寸公差带的两个要素分别是和 。 14、相同的，相互结合的孔和轴之间的关系称为配 合。 15、孔的尺寸减去相配合的轴的尺寸之差为时是间隙，为 时是过盈。 16、根据形成间隙或过盈的情况，配合分为、和 三类。 17、最大间隙和最小间隙统称为间隙，他们表示间隙配合中允 许间隙变动的两个。最大间隙是间隙配合中处于最 状态时间隙，最小间隙是间隙配合中处于最状态时的间隙。 18、最大过盈和最小过盈统称为过盈，他们表示过盈配合中允 许过盈变动的两个。最大过盈是间隙配合中处于最 状态时过盈，最小过盈是过盈配合中处于最状态时的过盈。 19、代表过渡配合松紧程度的特征值是和 。
极限状态承载力计算
极限状态承载力计算 1）和载效应组合计算 承载能力极限状态组合（基本组合）： 00(1.2 1.4) 1.0(1.210.35 1.413.20)30.90()d Gk Qk M M M kN m γγ=+=-??+?=-? 00(1.2 1.4) 1.0(1.215.20 1.438.83)72.60()d Gk Qk V M M kN γγ=+=??+?= 作用短期效应组合（不计冲击力）： 0.710.350.713.2019.59()sd Gk Qk M M M kN m =+=+?=? 作用长期效应组合（不计冲击力）： 0.710.350.513.2016.95()ld Gk Qk M M M kN m =+=+?=? 承载能力极限状态组合（偶然组合，不同时组合汽车竖向力）： 10.3588.5898.93()d Gk ck M M M kN m =+=+=? 2）正截面抗弯承载力 ①基本组合 对于矩形截面其正截面抗弯承载能力应符合《公预规》式（5.2.1-1）规定： 00()2 ud cd x M f bx h γ≤- sd s cd f A f bx = 受压区高度应符合0b x h ξ≤，查看《公预规》表5.2.1得0.56b ξ=。设0223h mm =可得到： 020*******.90 =0.2230.22322.41000 6.27()121.5ud cd b M x h h f b mm h mm γξ=-- ?-- ?=<= 2s 1000 6.2722.4 502()280 A mm ??= = 其中1000b mm =，0217h mm =，33s a mm =，22.4cd f MPa =，280cd f MPa =。 实际每延米板配10束2根12φ，则222262502s A mm mm =>，满足要求。 ②偶然组合 对于矩形截面其正截面抗弯承载能力应符合《公预规》式（5.2.1-1）规定：
高等数学 第二章 极限与连续
第二章 极限与连续 教学要求 1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系。 2.熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用。 3.理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。 4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。 教学重点 极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 数列的极限 一、数列 1.数列的概念； 2.有界数列； 3.单调数列； 4.子列。 二、数列的极限 三、数列极限的性质与运算 1.数列极限的性质； 2.数列极限的运算法则。 第二节 函数的极限 一、函数极限的概念 1.自变量趋于有限值时函数的极限； 2.自变量趋于无穷大时函数的极限。 二、函数极限的性质 第三节 函数极限的运算法则 一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限 1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ； 2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 。
第四节无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 第五节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性概念 1.函数的增量； 2.函数的连续性 二、函数的间断点 第六节连续函数的性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间商连续函数的性质
承载能力极限状态包括结构构件或连接因强度超过而破坏结构
一级建造师建筑实务学习资料 承载能力极限状态：包括①结构构件或连接因强度超过而破坏。②结构或其一部分作为刚体而失去平衡(如倾覆、滑移)③在反复荷载下构件或连接发生疲劳破坏。 正常使用的极限状态：包括①构件在正常使用条件下产生过度变形，导致影响正常使用或建筑外观。②构件过早产生裂缝或裂缝发展过宽。③动力荷载下结构或构件产生过大振幅等。 预应力混凝土构件的混凝土最低强度等级不应低于C40。 细长压杆的临界力公式柱的一端固定一端自由时，L0=2L，L为杆件的实际长度;两端固定时，L0=0.5L;一端固定一端铰支时，L0=0.7L;两端铰支时，L0=L.均布荷载作用下悬臂梁的最大变形公式(),矩形截面梁的惯性矩 要求设计使用年限为50年的钢筋混凝土及预应力混凝土结构，其纵向受力钢筋的混凝土保护层厚度不应小于钢筋的公称直径，一般为15~40mm(保护层最小厚度：一类环境，板墙壳≤C20的20mm，≥C25的15mm;梁≤C20的30mm，≥C25的25mm;柱均为30mm) 一类环境设计年限50年的结构混凝土：最小保护层厚度，最大水灰比0.65，最小水泥用量225kg/m3，最低混凝土强度等级C20，最大氯离子含量点水泥用量1.0%，最大碱含量(kb/m3)(不限制) M抗≥(1.2～1.5)M倾 现行抗震设计规范适用于抗震设防烈火度为6、7、8、9度地区。三个水准“小震不坏，中震可修，大震不倒”。抗震设计根据功能重要性分为甲，乙，丙，丁四类。大量的建筑物属于丙类。 多层砌体房屋的抗震构造措施：①设置钢筋混凝土构造柱;②设置钢筋混凝土圈梁与构造柱连接起来，增强房屋的整体性;③墙体有可靠的连接，楼板和梁应有足够的搭接长度和可靠连接④加强楼梯间的整体性 框架结构的抗震构造措施：框架结构震害的严重部位多发生在框架梁柱节点和填充墙处;一般柱震害重于梁，柱顶震害重于柱底，角柱震害重于内柱，短柱震害重于一般柱。框架设计成延性框架，遵守强柱、强节点、强锚固，避免短柱、加强角柱，框架沿高度不宜突变，避免出现薄弱层，控制最小配筋率，限制配筋最小直径等原则。构造上采取受力筋锚固适当加长，节点处箍筋适当加密等措施。 导热系数小于0.25W/(m.K)的材料称为绝热材料 防水隔离层：楼板四周除门洞外，混凝土翻边高度不应小于120mm。防水隔离层不得做在与墙交接处，应翻边高度不宜小于150mm。孔洞四周和平台临空边缘，翻边高度不宜小于100mm。 楼梯平台上部及下部过道处的净高不应小于2米，梯段净高不应小于2.2米.楼梯踏步
极限配合与技术测量基础教案
极限配合和技术测量基础 授课教案 教学计划说明： 本课程主要介绍光滑圆柱形结合的极限与配合、技术测量的基本知识及常用计量器具、形状和位置公差、表面粗糙度、螺纹结合的公差和检测等。考虑到学生学过机械制图有一定的基础，况且本课程学时较少，内容较多故主要讲授了前三章内容。
课题：绪论 教学时数：2 学时 授课时间： 教学方法： 讲授法 教学目的与要求： 理解互换性的概念 明确本课程的任务 教学重点与难点： 强调本课程的地位与作用,激发学生的学习兴趣新授内容： 绪论 一、互换性概述 1．互换性的概念
互换性——指机械工业中，制成的同一规格的一批零件或部件，不需作任何挑选、调整或辅助加工，就能进行装配，并能满足机械产品的使用性能要求的一种特性。 互换性的优势：使用和维修方面 加工和装配方面 设计方面 互换性包括：几何参数（如尺寸、形状等）的互换 机械性能（如硬度、强度等）的互换 2．几何量的误差、公差和测量 零件的几何量误差——零件在加工过程中，由于机床精度、计量器具精度、操作工人技术水平及生产环境等诸多因素的影响，其加工后得到的几何参数会不可避免地偏离设计时的理想要求，而产生误差。 几何量误差主要包含：尺寸误差 形状误差 位置误差 表面微观形状误差——表面粗糙度 几何参数的公差——零件几何参数允许的变动量，它包括尺寸公差、形状公差、位置公差等。 只有将零件的误差控制在相应的公差内，才能保证互换性的实现。二、本课程的任务
了解 ?国家标准中有关极限与配合等方面的基本术语及其定义?有关测量的基本知识 ?形位公差的基本内容 ?表面粗糙度的评定标准及基本的检测方法 ?普通螺纹公差的特点 熟悉或理解 ?极限与配合标准的基本规定 ?常用计量器具的读数原理 ?形位公差代号的含义 ?螺纹标记的组成及其含义 掌握 ?极限与配合方面的基本计算方法及代号的标注和识读?常用计量器具的使用方法 ?形位公差代号的标注方法 ?表面粗糙度符号、代号的标注方法 作业布置： P1 一 教后感：