苏教版数学高一必修4试题 向量的加法

2．2.1 向量的加法

情景：请看如下问题：

(1)如图(1)，某人从A 到B ，再从B 按原来的方向到C ，则两次位移的和AB →＋BC →应该

是________．

(2)如图(2)，飞机从A 到B ，再改变方向从B 到C ，则两次位移的和AB →＋BC →应该是

________．

(3)如图(3)，船的速度是AB →，水流速度是BC →，则两个速度的和AB →＋BC →应该是________．

思考：从(1)(2)(3)的解答，你发现了一个什么规律？

基础巩固

1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( )

A ．ABCD 一定为矩形

B ．ABCD 一定为菱形

C ．ABC

D 一定为正方形

D ．ABCD 一定为平行四边形

答案：D

2．下列结论中，不正确的是( )

A ．0＋a ＝a

B.AB →＋BA →＝2AB →

C ．对于任意向量a ，b ，|a ＋b|≥0

D ．对于任意向量a ，b ，||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|

答案：B

3．在矩形ABCD 中，AC →等于_____________________________．

答案：AD →＋DC → 或AB →＋BC →或AB →＋AD →

4.如右图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、

CD 的中点，则EF →等于________．

答案：AG →＋DH →

5．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于________．

答案：AC →

6.AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________.

答案：0

能力升级

7．已知△ABC 是正三角形．则在下列各等式中不成立的是( )

A ．|A

B →＋B

C →|＝|BC →＋CA →|

B ．|A

C →＋CB →|＝|BA →＋BC →|

C ．|AB →＋AC →|＝|CA →＋CB →|

D ．|AB →＋BC →＋AC →|＝|CB →＋BA →＋CA →|

解析：作出正三角形ABC ，AD 、CE 分别是三角形的中线，利用平行四边形法则：|AB

→＋AC →|＝2|AD →|，|CA →＋CB →|＝2|CE →|.

又∵△ABC 为正三角形，∴|AD →|＝|CE →|，故C 项正确．A 、D 两项直接利用三角形法则

判断也是正确的，只有B 项不正确．

答案：B

8．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°.则在下列各结论

中，正确的结论个数为________．

①|AB →＋AC →|＝|BC →|

②|AB →＋BC →|＝|CA →|

③|AB →＋CA →|＝|BC →|

④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2

解析：以AB →、AC →为邻边作平行四边形ABDC ，则ABDC 为矩形，而矩形的对角线相

等，故①③均正确，另外两个可直接求解也是正确的．

答案：4个

9．向量a 、b 满足|a|＝6，|b|＝10，则|a ＋b|的最大值是________，最小值是________．

解析：当a 、b 不共线时，如图(1)，作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b.由向量加法的几何

意义知|a ＋b|＜|a|＋|b|＝16.

当a 、b 共线同向时，如图(2)，作AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝a ＋b ，由向量加法的几何意义

可知|AC →|＝|a ＋b|＝|a|＋|b|＝16.

当a 、b 共线反向时：如图(3)所示，作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，由向量加法的几

何意义可知|a ＋b|＝|b|－|a|＝10－6＝4，

∴|a ＋b|的最大值为16，最小值为4.

本题也可以直接利用||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|求解．

答案：16 4

10．如图所示，用两根绳子把重为10 N 的物体W 吊在水平杆AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．

解析：设CE →，CF →分别表示A ，B 处所受的力，10 N 的重力用CG →表示，

则CE →＋CF →＝CG →.

因为∠ECG ＝180°－150°＝30°，

∠FCG ＝180°－120°＝60°，

所以|CE →|＝|CG →|cos 30°＝10×32

＝53(N)， |CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12

＝5(N)． 故A 和B 处所受力的大小分别为5 3 N,5 N.

11．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，求证：

|BC →|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2.

解析：如图，由于∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，因此，若以DB ，DA 为邻边作矩形ADBE ，则

|AB →|＝|DE →|，且DB →＋DA →＝DE →.

所以|DB →＋DA →|2＝|DE →|2＝|AB →|2，

同理|DC →＋DA →|2＝|AC →|2，

所以|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＝

|BC →|2，

即|BC →|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2.

12．如下图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一

点，求证：PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.

证明：PO →＝PA →＋AO →，①

PO →＝PD →＋DO →，②

PO →＝PB →＋BO →，③

PO →＝PC →＋CO →，④

∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，

∴AO →＝OC →＝－CO →，BO →＝OD →＝－DO →，

①＋②＋③＋④，得4PO →＝PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋(AO →＋CO →)＋(BO →＋DO →)＝PA →＋PB →＋PC

→＋PD →＋0＋0，

∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.