初中数学人教版九年级上册：第22章《二次函数》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料
第二十二章二次函数
22．1二次函数的图象和性质
22．1.1二次函数
1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．
2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．
3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
重点
二次函数的概念和解析式．
难点
本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．
一、创设情境，导入新课
问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：
(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；
(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；
(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)．
(一)教师组织合作学习活动：
1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式．
2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．
(1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112
(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法．
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a
≠0)的形式．
板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．
三、做一做
1．下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝x2(2)y＝－1
x2(3)y＝2x
2－x－1
(4)y＝x(1－x)(5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)
2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)y＝x2＋1(2)y＝3x2＋7x－12(3)y＝2x(1－x)
3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________．
四、课堂小结
反思提高，本节课你有什么收获？
五、作业布置
教材第41页第1，2题.22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质
通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．
重点
从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象的内在关系．
难点
画二次函数y＝ax2的图象．
一、引入新课
1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1)y＝3x－1(2)y＝2x2＋7(3)y＝x－2
(4)y＝3(x－1)2＋1
2．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？
3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y＝ax2的图象和性质．
二、教学活动
活动1：画函数y＝－x2的图象．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)．
(2)提出问题：它的形状类似于什么？
(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点．
活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象．
(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程．
(2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，提出问题：它
们有什么共同点和不同点？
(3)归纳总结：
共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点(0，0)．
不同点：开口大小不同．
(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系数a越大，抛物线开口越大．
活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象．
类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质
图象(草图) 开口
方向
顶
点
对称轴
最高或
最低点
最值
a＞0当x＝
____时，
y有最____
值，
是________.
a＜0当x＝
____时，
y有最____
值，
是________.
活动4：达标检测
(1)函数y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小．
(2)二次函数y＝(2k－5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．
(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接________．
答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞2.5；(3)a＞b＞d＞c.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．二次函数的图象都是抛物线．
2．二次函数y＝ax2的图象性质：
(1)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．
(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小．
作业布置
教材第32页练习．
22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义．
2．了解y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间的关系．
3．会从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．
重点
从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．
难点
对于平移变换的理解和确定，学生较难理解．
一、复习引入
二次函数y＝ax2的图象和特征：
1．名称________；2.顶点坐标________；3.对称轴________；4.当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)；当a＜0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)．
二、合作学习
在同一坐标系中画出函数y＝1
2x
2，y＝
1
2(x＋2)
2，y＝
1
2(x－2)
2的图象．
(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？
(2)顶点和对称轴有什么关系？
(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？
(4)由此，你发现了什么？
三、探究二次函数y ＝ax 2和y ＝a(x －h)2图象之间的关系
1．结合学生所画图象，引导学生观察y ＝12(x ＋2)2与y ＝1
2x 2的图象位置关系，直观得
出y ＝12x 2的图象――→向左平移两个单位
y ＝12
(x ＋2)2的图象．
教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如： (0，0)――→向左平移两个单位
(－2，0)； (2，2)
――→
向左平移两个单位
(0，2)； (－2，2)
――→
向左平移两个单位
(－4，2)．
②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程． 2．用同样的方法得出y ＝12x 2的图象――→向右平移两个单位y ＝12(x －2)2的图象．
3．请你总结二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质．
y ＝ax 2(a ≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位
当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象． 函数y ＝a(x －h)2的图象的顶点坐标是(h ，0)，对称轴是直线x ＝h.
4．做一做 (1)
(2)填空：
①抛物线y ＝2x 2向________平移________个单位可得到y ＝2(x ＋1)2；
②函数y ＝－5(x －4)2的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而得到．
四、探究二次函数y ＝a(x －h)2＋k 和y ＝ax 2图象之间的关系
1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y ＝1
2
(x ＋2)2＋3的图象．
首先引导学生观察比较y ＝12(x ＋2)2与y ＝12(x ＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y ＝1
2(x
＋2)2的图象
――→
向上平移3个单位
y ＝1
2
(x ＋2)2＋3的图象．(结合多媒体演示) 再引导学生观察刚才得到的y ＝12x 2的图象与y ＝1
2
(x ＋2)2的图象之间的位置关系，由此
得出：只要把抛物线y ＝1
2x 2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y
＝1
2
(x ＋2)2＋3的图象． 2．做一做：请填写下表：
函数解析式 图象的对称轴
图象的顶点坐标
y ＝12x 2 y ＝1
2(x ＋2)2 y ＝1
2
(x ＋2)2＋3
3.总结y ＝a(x －h)＋k 的图象和y ＝ax 图象的关系
y ＝ax 2(a ≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位
当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象――→当k ＞0时，向上平移k 个单位
当k ＜0时，向下平移|k|个单位y ＝a(x －h)2＋k 的图象．
y ＝a(x －h)2＋k 的图象的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标是(h ，k)． 口诀：(h ，k)正负左右上下移(h 左加右减，k 上加下减)
从二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可以看出：
如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小．
4．练习：课本第37页 练习
五、课堂小结
1．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和函数y ＝ax 2图象之间的关系．
2．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质． 六、作业布置
教材第41页 第5题22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质(2课时)
第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质
1．掌握用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．
2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．
重点
通过图象和配方描述二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质． 难点
理解二次函数一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的配方过程，发现并总结y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝a(x －h)2＋k 的内在关系．
一、导入新课
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以由函数y＝ax2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．
2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．
3．二次函数y＝1
2x
2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点
坐标，并画出图象吗？
二、教学活动
活动1：通过配方，确定抛物线y＝1
2x
2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再
描点画图．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；
(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势．
活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
2．你能画出函数y＝－x2＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；
(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？
活动3：对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？
(1)组织学生分组讨论，教师巡视；
(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)和y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象．
(3)引导学生观察二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x 的增大有什么变化规律？
(4)引导学生归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．
活动4：已知抛物线y＝x2－2ax＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．
活动5：检测反馈
1．填空：
(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是________；
(2)抛物线y＝2x2－2x－1的开口________，对称轴是________；
(3)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝________.
2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝3x2＋2x；(2)y＝－2x2＋8x－8.
3．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．4．抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a，c的值分别是多少？
答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x＝1
2；(3)－1；2.(1)开口向上，x＝－
1
3，(－
1
3，－
1
3)；(2)
开口向下，x＝2，(2，0)；3.对称轴x＝－1，当m＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a＝1，c＝3.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．
作业布置
教材第41页第6题．第2课时用待定系数法求二次函数的解析式
1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．
2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．
3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．
重点
二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质．
难点
利用图象观察性质．
一、复习引入
1．抛物线y＝－2(x＋4)2－5的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．
2．抛物线y＝2(x－3)2＋6的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．
二、例题讲解
例1根据下列条件求二次函数的解析式：
(1)函数图象经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－2)；
(2)函数图象的顶点坐标是(2，4)，且经过点(0，1)；
(3)函数图象的对称轴是直线x＝3，且图象经过点(1，0)和(5，0)．
说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件．一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷．
例2已知函数y＝x2－2x－3，
(1)把它写成y＝a(x－h)2＋k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；
(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；
(4)画出函数图象的草图；
(5)设图象交x轴于A，B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；
(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①y＝0；②y<0；③y>0?
说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；
(2)利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使y<0，其对应的图象应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围．
例3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则：
a________0；b________0；c________0；b2－4ac________0.
说明：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的符号的关系：
系数的符号图象特征
a的符号
a>0 抛物线开口向____
a<0 抛物线开口向____
的符号
－b
2a
－b
2a>0 抛物线对称轴在y轴的____侧
b＝0 抛物线对称轴是____轴
－b
2a<0 抛物线对称轴在y轴的____侧
c的符号
c>0 抛物线与y轴交于____
c＝0 抛物线与y轴交于____
c<0 抛物线与y轴交于____
三、课堂小结
本节课你学到了什么？
四、作业布置
教材第40页练习1，2.22.2二次函数与一元二次方程
1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
3．会用计算方法估计一元二次方程的根．
重点
方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
难点
二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
一、复习引入
1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？
补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：
(1)顶点坐标与对称轴；
(2)位置与开口方向；
(3)增减性与最值．
当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增
大而增大；当x＝－b
2a时，函数y有最小值
4ac－b2
4a.
当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增
大而减小；当x＝－b
2a时，函数y有最大值
4ac－b2
4a.
二、新课教学
探索二次函数与一元二次方程：
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x ＋2＝0有根吗？
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac
＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
举例：求二次函数图象y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的交点A ，B 的坐标．
结论：方程x 2－3x ＋2＝0的解就是抛物线y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．
即：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1，x 2，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标分别是A(x 1，0)，B(x 2，0)．
例1 已知函数y ＝－12x 2－7x ＋15
2
，
(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y 轴的交点关于图象对称
轴的对称点，然后画出函数图象的草图；
(2)自变量x 在什么范围内时，y 随着x 的增大而增大？何时y 随着x 的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值．
三、巩固练习
请完成课本练习：第47页1，2
四、课堂小结
二次函数与一元二次方程根的情况的关系． 五、作业布置
教材第47页 第3，4，5，6题.22.3 实际问题与二次函数(2课时)
第1课时 用二次函数解决利润等代数问题
能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．
重点
把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题． 难点
1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型． 2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．
一、复习旧知，引入新课
1．二次函数常见的形式有哪几种？
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a ＞0时，图象开口向________，当a ＜0时，图象开口向________．
2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？
二、教学活动
活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？
2．如果你是老板，你会怎样定价？
3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．
(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？
根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测
某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w 最大为1 600元．
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？
作业布置
教材第51～52页习题第1～3题，第8题．
第2课时二次函数与几何综合运用
能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．
重点
应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．
难点
函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．
一、引入新课
上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用． 二、教学过程
问题1：教材第49页探究1.
用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S 最大？
分析：
提问1：矩形面积公式是什么？ 提问2：如何用l 表示另一边？
提问3：面积S 的函数关系式是什么？
问题2：如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：
提问1：问题2与问题1有什么不同？
提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？
提问3：面积S 的函数关系式是什么？
答案：设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.
提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长32 m 对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x ≤32，即14≤x ＜30.
提问5：如何求最值？
答案：x ＝－b 2a ＝－60
2×（－2）
＝15时，S max ＝450.
问题3：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多
少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？
提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？
提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为
S m 2，与墙平行的一边为
x 米，则S ＝60－x 2·x ＝－x 2
2
＋30x.
提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？
提问5：如何求自变量的取值范围？
答案：0＜x ≤18.
提问6：如何求最值？
答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．
三、回归教材
阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？
四、基础练习
1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．
2．阅读教材第52～54页．
五、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．
2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．
作业布置
教材第52页习题第4～7题，第9题．
最新初中数学九年级知识点汇总
最新初中数学九年级知识点汇总
第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表： 说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.0
代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类：
初中数学八年级上册教案有哪些
初中数学八年级上册教案有哪些 13.2.3三角形全等的条件(三) 教学目标 1.三角形全等的条件：角边角、角角边. 2.三角形全等条件小结. 3.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件. 4.能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题. 教学重点 已知两角一边的三角形全等探究. 教学难点 灵活运用三角形全等条件证明. 教学过程 Ⅰ.提出问题，创设情境 1.复习：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况? 三个角、三个边、两边一角、两角一边. (2)到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么? 三种：①定义;②SSS;③SAS. 2.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢? Ⅱ.导入新课
问题1：三角形中已知两角一边有几种可能? 1.两角和它们的夹边. 2.两角和其中一角的对边. 问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为 4cm，?你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律? 将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等. 提炼规律： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角 边角”或“ASA”). 问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三 角形ABC，?能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢? ①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长. ②画线段A′B′，使A′B′=AB. ③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、 ∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA. ④射线A′D与B′E交于一点，记为C′ 即可得到△A′B′C′. 将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等. 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定.我们是不 是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的 两三角形全等”呢?
人教版初中数学知识点总结(精华)
初中数学知识点总结（精华） 第一章 有理数 1、有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的 相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 . 4、.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意： 绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5、互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数 6、有理数的四则运算：（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并 把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；0与任何数相加都 等于任何数 （2）有理数减法法则：:减去一个数等于加上这个数的相反数 （3）有理数的乘法法则：①两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 0乘以任何一个数都等于0； ②多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个时， 积为正数，负因数有奇数个时，积为负数，再把各个因数的绝对值相乘 （4）有理数的除法法则①两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0除 以任何一个不为0的数都得0； ②除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 7、有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ； （2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 8、比较两个数的大小：（1）负数< 0 < 正数，任何一个正数都大于一切负数
人教版初中数学九年级全册教案
22.1一元二次方程(教案） 教学内容 本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 知识技能 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方 程知识。 数学思考 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。 解决问题 培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 重难点、关键 重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用． 难点：根的作用的理解． 关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、 情境引入 【问题情境】 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正 方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .根据方盒的底面积为3600cm2,得方程为 _______________ ,, 整理， 得 问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析:全部比赛共4×7=28场 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他 _____ 个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 ______________场. 得方程____________________________ 0350752 =+-x x 0350752=+-x x 56 2=-x x 56 2=-x x
(完整)北师大版初中数学八年级上册教材分析
北师大版初中数学八年级上册教材分析 摘自：《慈利县教师进修学校》 一、教材总体思路分析 1.本册书的主要内容有：实数、一次函数、二元一次方程组；勾股定理、图形的平移与旋转、四边形、位置的确定；数据的代表。 其中无理数的发现、实数系统的建立和函数概念是本学段知识的重点也是和难点，实数是进一步学习的基础；而函数以及函数思想与其他知识的广泛联系也是重心之一。 勾股定理及其逆定理是初等几何中最基本、最重要的定理之一。通过拼、摆或图形的割、补，使得这一重要几何事实得以确认。由于发现及证实它成立的方式非常多且富于变化，因此对学生有很大的吸引力。《图形的平移与旋转》是新增加的内容，通过学习，可以把静止的图形看成是基本图形经过位移而得到，提供了对复杂图形进行分析的新视角，还可以对“几何变换”有直观的感受。《位置的确定》从源头上突出了坐标法产生的思想，直角坐标系是实现坐标法的一种选择，建立坐标系把数轴拓展到平面，是数形结合与转化的桥梁。“变化的鱼”以直观生动的形式加强了几何变换与坐标表示及坐标变化联系起来，从数与形两个方面感受图形变化的数学内涵。 在统计与概率领域，本册提供了刻画数据平均水平的三种量度，力图让学生掌握一定的数据分析的方法，更好地处理数据。 2.教材设计与内容的组织有如下考虑。 （1）无理数的发现可以从理论的角度引发，出现在勾股定理之前。教科书遵循了人类认识数学的历史顺序，把勾股定理放在实数学习的前面，成为发现无理数的直观背景，自然地表明无理数存在的客观性，同时对无理数研究的必要性作出合理的解释。实数集中的实数与数轴上的点一一对应并不像想像的那样容易被学生接受，说服的办法也是借助几何解释和理性思考。这样处理须注意在学习勾股定理时，边长的数据应暂时在有理数范围内选取，在此两章学完之后，可以回过头来在实数范围内重新讨论勾股定理及其应用。在我们讨论一个平方等于2的数时，发现它是一个无限不循环小数，进一步引出无理数的定义。无理数概念的产生，同时也是对有理数概念的强调，应重视在现实背景中对实数运算意义的理解和应用，加强对估算的要求。 （2）先研究图形的平移和旋转，再进行四边形性质的探索，这样几何变换就不仅仅是一个具体的知识点，而且作为一个工具去研究几何图形（如平行四边形）的性质，增加了一个考察问题的视角。在《图形的平移与旋转》一章中，通过观察和归纳，概括出变换的概念；通过操作和思考，探索出变换的相关性质；通过作图和图案设计体察复杂图形中部分与整体之间的关系；在下一章中通过探索四边形的性质加深对变换自身的理解，逐步形成结构性认识。教学中突出其方法特性，充分发挥其数学教育价值。 （3）一次函数的学习放在二元一次方程组的前面，有两个好处：首先，可以使得学生有机会尝试借助图象研究函数特征的过程，以加深对函数意义的理解；其次，用函数的观点来认识和考察二元一次方程（方程组），给出方程的一种直观解释，而且从方法的角度更具有一般性和启发性，也体现了函数的运用。教材中介绍了二元一次方
人教版初中数学知识点汇总(全六册)
初 中 数 学 知 识 点 大 集 结2017.07
七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一．知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；
5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a 310n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正
【人教版】初中数学九年级知识点总结：概率
【人教版】初中数学九年级知识点总结 概率 概率是初中数学的常考知识点，但考题难度不大。本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。由浅入深，层层递进，解决问题以学生为主，发挥学生的集体智慧，利用所学知识解决问题，突现应用意识，进一步巩固所学知识。 一、目标与要求 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 二、知识框架 三、重点、难点 在具体情境中了解概率意义。 对频率与概率关系的初步理解。 四、知识点、概念总结 1. 随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件，简称事件。随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。 2.特殊的事件 必然事件记作Ω，样本空间Ω也是其自身的一个子集，Ω也是一个“随机”事件，每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现，必然发生。 不可能事件记作Φ，空集Φ也是样本空间的一个子集，Φ也是一个特殊的“随机”事件，不包含任何样本点，不可能发生。 3.随机事件的关系和运算 （1）交换律：A∪B=B∪A、AB=BA （2）结合律：( A∪B )∪C=A∪( B∪C ) （3）分配律：A∪( BC )=( A∪B )( A∪C ) A( B∪C )=( AB )∪( AC )
（具体图表意义请参照初中数学九年级上册人教版课本P135页） 6.频率与概率的区别与联系 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.
人教版初中数学九年级知识点总结
反比例函数 一.知识框架 二．知识概念 1.反比例函数：形如y ＝x k （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 1-=kx y x k y 1 = 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。对称中心是：原点 3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小； 当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
一元二次方程 二.知识概念 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更 为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例 说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （3）一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时， ?将a、b、c代入式子x= 24 2 b b ac a -±- 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰 好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
新人教版初中数学知识点总结(完整版)
人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式
四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点
第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ??? ?????? ????负分数负整数 负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数；
0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
九年级上数学全套试卷及答案
2005～2006学年度上期目标检测题 九年级 数学 第一章 证明（Ⅱ） 班级 姓名 学号 成绩 一、判断题（每小题2分，共10分）下列各题正确的在括号内画“√”，错误 的在括号内画“×”. 1、两个全等三角形的对应边的比值为1 . （ ） 2、两个等腰三角形一定是全等的三角形. （ ） 3、等腰三角形的两条中线一定相等. （ ） 4、两个三角形若两角相等，则两角所对的边也相等. （ ） 5、在一个直角三角形中，若一边等于另一边的一半，那么，一个锐角一定等于30°.（ ） 二、选择题（每小题3分，共30分）每小题只有一个正确答案，请将正确答 案的番号填在括号内. 1、在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A 、∠A=∠D B 、∠C=∠F C 、∠B=∠E D 、∠C=∠D 2、下列命题中是假命题的是（ ） A 、两条中线相等的三角形是等腰三角形 B 、两条高相等的三角形是等腰三角形 C 、两个内角不相等的三角形不是等腰三角形 D 、三角形的一个外角的平分线平行于这个三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形 3、如图(一)，已知AB=AC ，BE=CE ，D 是AE 上的一点， 则下列结论不一定成立的是（ ） A 、∠1=∠2 B 、AD=DE C 、BD=C D D 、∠BDE=∠CDE 4、如图（二），已知AC 和BD 相交于O 点，AD ∥BC ，AD=BC ，过O （一） 任作一条直线分别交AD 、BC 于点E 、F ，则下列结论：①OA=OC ②OE=OF ③AE=CF ④OB=OD ，其中成立的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、若等腰三角形的周长是18，一条边的长是5，则其他两边的长是（ ） （二） A 、5，8 B 、6.5，6.5 C 、5，8或6.5，6.5 D 、8，6.5 6、下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A 、543，， ； B 、6， 7， 8； C 、12， 25， 27； D 、245232，， 7、如图（三），AC=AD BC=BD ，则下列结果正确的是（ ） （三） A 、∠ABC=∠CA B B 、OA=OB C 、∠ACD=∠BDC D 、AB ⊥CD 8、如图（四），△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°AB 的垂直平分线 交AC 于D 点，交AB 于E 点，则下列结论错误的是（ ） A 、AD=D B B 、DE=DC C 、BC=AE D 、AD=BC （四）
初中数学九年级旋转知识点总结
初中数学九年级旋转知识点总结 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 如下图所示： 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 3.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 4.中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能 与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
5．中心对称和中心对称图形的区别 区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。6.中心对称图形的判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 7.中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 8.坐标系中对称点的特征 （1）关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） （2）关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） （3）关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
初中数学八年级上册教案
1 1 1 1 1 1 1 1 11/2 1/2 1/2 1/2 2 1 §2-1数怎么又不够用了(1) 教学目标：1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性； 2、会用自己的语言说明一个数不是有理数。 教学重点：借助图形判断一条线段是否是有理数线段。 教学难点：寻找有理数线段的方法。 教学过程： 一、问题引入 有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。 （1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ （2）A可能是整数吗？说说你的理由。 （3）A可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。 通过一个简单的动手活动引入新课，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后紧接着提出本节课的主要问题，引起学生的思考和讨论，让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数。 教师应鼓励学生充分进行思考、交流，并适时给予引导：“12=1，22=4，32=9，...越 来越大，所以a不可能是整数”“ 2 1 ? 2 1 = 4 1 ， 9 4 3 2 3 2 = ?，…结果都为分数，所以a不可能是分数”“两个相同的最简分数的乘积仍然是分数“等。 结论：在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。 二、做一做 （1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 数a、b确实存在，但都不是有理数。 进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在现实生活中是大量存在的。教师可以引导学生自己举一些类似的无理数的例子。 三、随堂练习 1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h 分数吗？
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初中数学目录 第一章有理数 ①框架正整数（ 1, 2, 3） 整数0 有理数负整数（ -1 ，-2 ） 正分数（ 1/2，1/3，） 分数 负分数（ -1/2,，1/3，） ②相反数：两数相加为0 ；0 的相反数为0 绝对值：0的绝对值为0 倒数：两数相乘为1； 1 的倒数为 1；0 没有倒数 ③正负数比较大小-8/21 -3/7；-（）│ -1/3│ ④计算 ab=ba abc=a(bc) a(b+c)=ab+ac
有乘方：先乘法——再乘除——后加减；如有括号，先算括号内 ⑤科学记数法a*10n (a大于或等于1&小于10） 235000 000 ⑥近似数（四舍五入） （精确到） （精确到）（精确到万分位）(精确到个位）（精确到个位） （精确到千分位） （精确到） （精确到） 巩固： 1、下列说法正确的是（） A整数就是正整数和负整数B负整数的相反数就是非负整数 C有理数中不是负数就是正数D零是自然数，但不是正整数 2、下列各对数中，数值相等的是（） A －27与(－ 2) 7B－32与( －3)2C－3× 23与－ 32×2D―( ―3) 2 与―(―2)3 3、在－ 5，－ 9，－，－，－ 2，－ 212 各数中，最大的数是（） A－12B－ 9C－D－5 4、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（） A0B－ 1C1D0 或 1 5、绝对值大于或等于1，而小于 4 的所有的正整数的和是（） A8B7C6D5 6、计算： ( － 2) 100+( － 2) 101的是（） A2 100B－ 1C－2D－2100 7、比－大，而比 1 小的整数的个数是（） A6B7C8D9 8、 2003 年 5 月 19 日，国家邮政局特别发行万众一心，抗击“非典”邮票，其邮票发行为 枚，用科学记数法表示正确的是() A．× 7874 10B．× 10C．× 10D．× 10 9、下列代数式中，值一定是正数的是() A． x2 B.| － x+1| C.(－ x) 2+2 D. － x2+1 10、已知＝，若x2＝，则 x 的值等于（） A86. 2B862C±D± 862 11．下列说法正确的是（） A．－ a 一定是负数； B ．a 定是正数； C． a 一定不是负数； D ．－ a 一定是负数 12．如果一个数的平方等于它的倒数．那么这个数一定是（）
最新人教版初中数学九年级上下册说课稿全套
最新人教版初中数学九年级上下册 名师精品说课稿 目录 第21章一元二次方程（13） (4) 21.1 一元二次方程说课稿（一） (4) 《一元二次方程》说课稿（二） (6) 21.2.1 配方法说课稿（一） (10) 配方法说课稿（二） (14) 21.2.2 公式法说课稿（一） (18) 21.2.3 因式分解法说课稿（一） (21) 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系说课稿（一） (25) 一元二次方程根与系数的关系说课稿（二） (28) 21.3 实际问题与一元二次方程说课稿（一） (31) 实际问题与一元二次方程说课稿（二） (35) 第22章二次函数（12） (38) 22.1 二次函数的图象和性质（6） (38) 22.1.1 二次函数说课稿（一） (38) 22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质说课稿（一） (41) 二次函数y＝ax2＋c的图像与性质说课稿（二） (45) 22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质说课稿（一） (49) 22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质说课稿（一） (52) 二次函数y=ax2+bx+c的图象说课稿（二） (57) 2.2 用函数观点看一元二次方程说课稿（一） (62) 22.2用函数观点看一元二次方程（二） (64) 22.3实际问题与二次函数说课稿（一） (71) 《实际问题与二次函数》说课稿（二） (73) 第23章旋转（9） (76) 23.1 图形的旋转说课稿（一） (76)
《图形的旋转》说课稿（二） (81) 《中心对称》说课材料 (85) 23.2.2 中心对称图形说课稿 (90) 23.2.3 关于原点对称的点的坐标说课稿 (93) 《23.3课题学习图案设计》说课材料 (97) 第24章圆（16） (100) 24.1.1 圆说课稿（一） (100) 《垂直于弦的直径》说课稿（一） (103) 《垂直于弦的直径》说课稿（二） (106) 24.1.3 弧、弦、圆心角说课稿（一） (110) 《弧、弦、圆心角》说课稿（二） (113) 24.1.4 圆周角说课稿（一） (118) 24.1.4 圆周角（说课稿）（二） (127) 24.2.1 点和圆的位置关系说课稿（一） (129) 24.2.2 直线和圆的位置关系说课稿（一） (132) 直线与圆的位置关系说课稿（二） (135) 24.3 正多边形和圆说课稿（一） (139) 24.4 弧长和扇形面积说课稿（一） (141) 《弧长和扇形的面积》说课稿（二） (144) 第25章概率初步（12） (147) 25.1.1 随机事件说课稿（一） (147) 《随机事件》说课稿（二） (149) 25.1.2 概率说课稿（一） (156) 《25.1.2概率》说课稿（二） (160) 《用列举法求概率》说课稿r (162) 3.3应用新知，深化拓展 (169) 25.3用频率估计概率（1）说课稿 (172) 九年级下册 (176) 第26章反比例函数（8） (176) 《26.1.1反比例函数》说课稿 (176)
初中数学九年级上下册知识点总结
[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘”） A C B O 图1 图2 O A C B D E F
初中数学九年级知识点大全
初三数学各章节重要知识点梳理 第21章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）???<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ； 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?= 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=， 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1） )0b ,0a (b a b a >≥= ；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被 开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次 根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内 的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有 时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关 问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根； 4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2 . （2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 第23章 旋转 1、概念： 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角 2、旋转的性质： （1） 旋转前后的两个图形是全等形； （2） 两个对应点到旋转中心的距离相等 （3） 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 4、中心对称的性质： （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． （2）关于中心对称的两个图形是全等图形． 5、中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 6、坐标系中的中心对称 第24章 圆 1、（要求深刻理解、熟练运用）
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七年级数学（上）知识点第一章有理数 一．知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1) 凡能写成q 0) 形式的数，都是有理数.正整数、 0、负整数统称整数；正分数、负分数统 (p,q为整数且 p p 称分数；整数和分数统称有理数.注意： 0 即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数， +a 也不一定是正数；pai 不是有理数； 正有理数正整数正整数正分数整数零 (2) 有理数的分类 : ① 有理数零②有理数负整数 负有理数负整数 分数 正分数负分数负分数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1) 只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是0； (2) 相反数的和为 0 a+b=0 a、 b 互为相反数 . 4.绝对值： (1) 正数的绝对值是其本身， 0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某 数的点离开原点的距离； a (a 0) (a 0) a (2) 绝对值可表示为：a0 (a 0) 或 a a (a 0) ；绝对值的问题经常分类讨论； a (a 0) 5.有理数比大小：（ 1）正数的绝对值越大，这个数越大；（ 2）正数永远比 0 大，负数永远比0 小；（ 3）正数大于一切负数；（ 4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（ 5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的 数大；（ 6）大数 -小数＞ 0，小数 -大数＜ 0. 6.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a≠0，那么a的倒数是1 ；若 ab=1 a、a b 互为倒数；若 ab=-1 a、 b 互为负倒数 . 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 1