系统零-极图确定系统的频率响应

湖南文理学院

系统建模与设计报告

专业班级：电子信息科学与技术11102 学生姓名：

学生学号：

指导教师：曹老师

设计时间： 2013.12.23-2013.12.30

系统零-极图确定系统的频率响应

一、 课程设计目的

学会应用MATLAB 软件为电路建模并加以分析

二、基本要求

掌握电路模型、定律以及电路一般分析方法。

三、设计方法与步骤

1离散系统零极点

线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即

()()

N M

i

j

i j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （1-1）

其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。 将式（8-1）两边进行Z 变换的

00

()

()()()

()

M

j

j

j N

i

i i b z

Y z B z H z X z A z a z

-=-===

=

∑∑ （1-2）

将式（8-2）因式分解后有：

11

()

()()

M

j

j N

i

i z q H z C

z p ==-=-∏∏ （1-3）

其中C 为常数，

(1,2,,)j q j M = 为()H z 的M 个零点，(1,2,,)

i p i N =

为()H z 的N 个极点。

系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。用roots()求得()H z 的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点

图的MATLAB 实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。

function ljdt(A,B)

% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点

p=p'; %将极点列向量转置为行向量 q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1;

y=x; %确定横坐标范围 clf hold on

axis([-x x -y y]) %确定坐标轴显示范围 w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w);

plot(t) %画单位园 axis('square')

plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴 plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴 text(0.1,x,'jIm[z]') text(y,1/10,'Re[z]')

plot(real(p),imag(p),'x') %画极点 plot(real(q),imag(q),'o') %画零点

title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题 hold off

2离散系统零极点图及零极点分析 零极点图的绘制

设离散系统的系统函数为

()()()B z H z A z =

则系统的零极点可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)

其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所

有根的列向量。如多项式为

231

()48B z z z =++

，则求该多项式根的MATLAB 命令为为：

A=[1 3/4 1/8]; P=roots(A) 运行结果为： P =

-0.5000 -0.2500

需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1

z -的

升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。

（1）()H z 按z 的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如

34

322()3221z z

H z z z z z +=++++

其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。 （2）()H z 按1

z -的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相

同，不足的要用0补齐，否则0z =的零点或极点就可能被漏掉。如

1

12

12()11124z H z z z ---+=

++

其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。

3用MATLAB 实现离散系统的频率特性分析方法

（1）几何矢量法

利用几何矢量求解示意图如图1-4所示。

j

j j j j e q B e

ψω-= i

j j i i

e p Ae θω-=

有：

1212()

1()

()

1()()M N M

j j

j j j j N

j i

i B e

H e H e e Ae

ψψψωω?ωθθθ+++=+++==

=∏∏

则系统的幅频特性和相频特性分别为：

11

()M

j

j j N i

i B

H e A

ω

===

∏∏ （1-7）

1

1

()M N

j i

j i ?ωψθ===-∑∑ （1-8）

根据式（1-7）和（1-8），利用MATLAB 来求解频率响应的过程 如下： ● 根据系统函数()H z 定义分子、分母多项式系数向量B 和A ； ● 调用前述的ljdt()函数求出()H z 的零极点，并绘出零极点图；

●定义Z平面单位圆上的k个频率分点；

●求出()

H z所有的零点和极点到这些等分点的距离；

●求出()

H z所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角；

●根据式（8-7）和（8-8）求出系统的

()j

H eω

和()

?ω；

●绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；

下面是实现上述过程的实用函数dplxy()。有四个参数：k为用户定义的频率等分点数目；B和A分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r为程序绘

制的频率特性曲线的频率范围（0~rπ

?）。

function dplxy(k,r,A,B)

%The function to draw the frequency response of discrete system p=roots(A); %求极点

q=roots(B); %求零点

figure(1)

ljdt(A,B) %画零极点图

w=0:r*pi/k:r*pi;

y=exp(i*w); %定义单位圆上的k个频率等分点

N=length(p); %求极点个数

M=length(q); %求零点个数

yp=ones(N,1)*y; %定义行数为极点个数的单位圆向量

yq=ones(M,1)*y; %定义行数为零点个数的单位圆向量

vp=yp-p*ones(1,k+1); %定义极点到单位圆上各点的向量

vq=yq-q*ones(1,k+1); %定义零点到单位圆上各点的向量

Ai=abs(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的模

Bj=abs(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的模

Ci=angle(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的相角

Dj=angle(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的相角

fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1); %求系统相频响应

H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1); %求系统幅频响应

figure(2)

plot(w,H); %绘制幅频特性曲线

title('离散系统幅频特性曲线')

xlabel('角频率')

ylabel('幅度')

figure(3)

plot(w,fai)

title('离散系统的相频特性曲线')

xlabel('角频率')

ylabel('相位')

五实际运用：

例. MATLAB命令如下

（1） A=[2 -4 8 5];

B=[2 4 5 1];

ljdt(A,B)

dplxy(100,3,A,B)

绘制的零极点图如图所示：

离散系统的零极点图

离散系统的幅频特性曲线

离散系统的相频特性曲线

四、总结与体会

在做课程设计的过程中，对书本上的理论知识有了进一步的理解，对于一

些似懂非懂的部分，通过再一次看书，编写程序，调试结果，并对结果进行分析，也理解了。但是，感觉自己对与理论的实际运用还是比较欠缺。同时知道了学习知识的方法，学习理论不是一味的看书，理论应该建立在实践的基础上，通过编写程序去实现某个功能，对相应知识点有了更进一步的了解，有助于理论的学习。

通过做这次课程设计，对MATLAB有了初步了解，知道了MATLAB的一些用途，虽然选修了数学建模实验课，老师在课堂上也讲了一些简单的MATLAB的用法，但是在做设计的过程中才知道那些远远不够，所以又花了很多时间去找那些函数怎么用，怎么画图啊等等，在理论中求频率响应计算很麻烦，但是用MATLAB只需一个简单的函数就可以实现，但有许多细节如一些语句等，由于时间关系还是不太明白，需要今后加以学习。在做课程设计过程中，发现什么事不能等别人，自己需要尽自己的努力去做，有不明白的地方要及时去问，还有要学会利用身边各种资源比如图书馆，网络等,什么事情没有亲自去做，不要妄下结论，不要认为自己不行，只有做了才知道其实一些事只要自己认真做了是可以办的的。同时课程设计培养了我独自处理问题的能力以及做事的态度。俗话说：态度决定一切。只有有端正的态度，才能尽心的去做。才有可能成功。

总之，在做这次课程设计的过程中学到了很不单单是理论知识，动手能力，还用一些我们学生已经遗失的精神，如独立，合作，帮助等等。这些也正是我们缺少的。

五、参考文献

《Matlab应用》

《matlab函数用法》

《信号与系统》

《电路与系统》

《matlab简介》