由递推关系求数列通项问题—“不动点”法

由递推关系求数列通项问题—“不动点”法

由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．

1 不动点的定义

一般的，设的定义域为,若存在，使成立，则称为的

不动点，或称为图像的不动点。

2 求线性递推数列的通项

定理1 设，且为的不动点，满足递推关系，，证明是公比为a的等比数列。

证：∵是的不动点，所以，所以，所以，∴数列是公比为的等比数列。

例1 已知数列的前项和为，且，

(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.

证：(1) 当n 1时，a1 14；当时，a n S n S n 1 5a n 5a n 1 1，即

即，记，令，求出不动点，

由定理1知：，又a1 1 15≠0，所以数列{a n 1}是等比数列。

(2)解略。

3 求非线性递推数列的通项

定理2 设，且是的不动点，数列满足递推关系，，（ⅰ）若，则数列是公比为的等比数列；（ⅱ），则数列是

公差为的等差数列。

证：（ⅰ）由题设知；

同理

∴，

所以数列是公比为的等比数列。

（ⅱ）由题设知＝的解为，∴且＝。所以

，所以数列是公差为的等差数列。

例2设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。

解：依题，且，将代入上式，得

，记，令，求出不动点，由定理2（ⅱ）知：

，所以数列是公差为的等差数列，所以，因此数列的通项公式为。

例3已知数列中，

（Ⅰ）设，求数列的通项公式. （Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.

解：（Ⅰ）依题，记，令，求出不动点

；由定理2（ⅰ）知：，

；

两式相除得到，所以是以为公比，为首项

的等比数列，所以，从而（Ⅱ）解略。

定理3 设，且是的不动点，数列满足递推关系，

，则有；若，则是公比为的等

比数列。

证：∵是的不动点，∴，。

，又，则，∴，故是公比为的等比数列。

例4已知数列满足，．⑴求证：；⑵求证：；⑶求数列的通项公式．

证：⑴、⑵证略；⑶依题，记，令，求出不动

点；由定理3知：，

，

所以，又，所以．

又，令，则数列是首项为，公比为的等比数列．所

以．由，得．所以．

利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。

定理4 设且是的最小不动点，数列满足递推关系，，则有

定理5 设且是的不动点，数列满足递推关系，，则有