2016-2017高二上学期数学期中考试试题

一年一度的期中马上就要开始了，同学们正在进行紧张的复习，根据以往的教学经验，为大家整理了2016-2017高二上学期数学试试题，供大家参考借鉴!

一、填空题

1、抛物线y=4x2的焦点坐标是________.

2.“x>0”是“x≠0”的__ ____条件.(“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不

充分也不必要条件”).

3、按如图所示的流程图运算，若输入x=20，则输出的k= __.

4、某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第

十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_ 的学

生

5、口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机

抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为_ _

6.已知函数f(x)=f′π4cos x+sin x，则fπ4的值为_ ____

7 、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线

的距离为2，则双曲线方程为___ ____ ____.

8.曲线C的方程为x2m2+y2n2=1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A=“方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)=___ __.

9、下列四个结论正确的是_ _ ____.(填序号)

① “x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件;

② 已知a、b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是ab>0;

③ “a>0，且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件;

④ “x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件.

10.已知△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使△ABD为

钝角三角形的概率为_ __.

11、已知点A(0,2)，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=

12. 已知命题:“ x∈R，ax2-ax-2 0” ，如果命题是假命题，则实数a的取值范围是_ ____.

13. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是____ ____.

14、若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则

a的值是__ __.

二、解答题：(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

15.(本题满分14分)

已知双曲线过点(3，-2)，且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.

(1) 求双曲线的标准方程;

(2) 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.

17、(本题满分15分)

已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a，b∈R).

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a，b的值;

(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.

18、(本题满分15分)

中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且

|F1F2|=213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程;

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值.

19、(本题满分16分)

设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)=12ax2+bx+1.

(1)求f(x)在区间(-∞，-1]上是减函数的概率;

(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率.

20、(本题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点

分别是A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，点P35a，m(m>0)是椭圆C上一点，

PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1，A2B2于点M，N.

(1)求椭圆的离心率;

(2)若MN=4217，求椭圆C的方程;

(3)在第(2)问条件下，求点 Q( )与椭圆C上任意一点T的距离d的最小值.

高二数学答案

一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题

卡相应位置上.

1、抛物线y=4x2的焦点坐标是__.(0，116)______

2.“x>0”是“x≠0”的____充分不必要 ____条件.(“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充要

条件”、“既不充分也不必要条件”).

3、按如图所示的流程图运算，若输入x=20，则输出的k=_3__.

十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_37__的

学生

5、口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机

抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为__1/3__

6.已知函数f(x)=f′π4cos x+sin x，则fπ4的值为__1_____

7 、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线

的距离为2，则双曲线方程为___ x2-y2=2_____________.

8.曲线C的方程为x2m2+y2n2=1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A=“方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)=___512__.

9、下列四个结论正确的是__①③______.(填序号)

① “x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件;

② 已知a、b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是ab>0;

③ “a>0，且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件;

④ “x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件.

10.已知△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使△ABD为

钝角三角形的概率为__12___.

11、已知点A(0,2)，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=___2

12. 已知命题:“ x∈R，ax2-ax-2 0” ，如果命题是假命题，则实数a的取值范围是___(-8,0]_____.

13. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是___(2-1，1)_____.

14、若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是____1或 ____.

二、解答题：(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

16.(本题满分14分)

已知命题：函数y=loga(x+1)在(0，+∞)内单调递减;命题：曲线y=x2+(2a-3)x+1与

x轴交于不同的两点. 为真，为假，求a的取值范围.

解：当p为真时：0

当q为真时：a>5/2或a<1/2---------------------------------------------8分

有题意知：p，q一真一假-----------------------------------------------10分

------------------------------------------------14分

17、(本题满分15分)

已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a，b∈R).

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a，b的值;

(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.

解f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).

(1)由题意得f0=b=0，f′0=-a a+2=-3，---------------------------------4分

解得b=0，a=-3或1.---------------------------------------------------------------------4分

(2)∵曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

∴关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根，--------10分

∴Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0，即4a2+4a+1>0，

∴a≠-12.

∴a的取值范围是-∞，-12∪-12，+∞.---------------------------------15分

18、(本题满分15分)

中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且

|F1F2|=213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程;

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值.

解(1)由已知：c=13，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别

为m，n，

则a-m=4，7?13a=3?13m.解得a=7，m=3.∴b=6，n=2.

∴椭圆方程为x249+y236=1，------------------------------------------------- --------------------4

分

双曲线方程为x29-y24=1.-------------------------------------------------------------- ----------8

分

(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|+|PF2|=14，|PF1|-|PF2|=6，

所以|PF1|=10，|PF2|=4.又|F1F2|=213，

∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|?|PF2|=102+42-21322×10×4=45.----------------------------15分

19、(本题满分16分)

设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)=12ax2+bx+1.

(1)求f(x)在区间(-∞，-1]上是减函数的概率;

(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率.

解：(1)f(x)共有四种等可能基本事件即(a，b)取(2,1)(2,3)(4,1)(4,3)

记事件A为“f(x)在区间(-∞，-1]上是减函数”

有条件知f(x)开口一定向上，对称轴为x=

所以事件A共有三种(2,1)(4,1)(4,3)等可能基本事件

则P(A)=34.

所以f(x)在区间(-∞，-1]上是减函数的概率为34.-------------------8分

(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法.

∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)=a+b，

∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，

∴概率为16.----------------------------------------------------16分

20、(本题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，点P35a，m(m>0)是椭圆C上一点，

PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1，A2B2于点M，N.

(1)求椭圆的离心率;

(2)若MN=4217，求椭圆C的方程;

(3)在第(2)问条件下，求点 Q( )与椭圆C上任意一点T的距离d的最小值.

解：(1)由题意P3a5，4b5，kA2B2?kOP=-1，

所以4b2=3a2=4(a2-c2)，所以a2=4c2，所以e=12. ①---------------5分

(2)因为MN=4217=21a2+1b2，

所以a2+b2a2b2=712 ②

由①②得a2=4，b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1.--------------------10分(3)

因为，所以当时TQ最小为 -----------------------------16分