高考数学专题--概率及期望与方差

高考数学专题--概率及期望与方差

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[高考点拨]本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在浙江新高考中的考查方式十分灵活，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“古典概型”“随机变量及其分布”两个方面分类进行引导，强化突破．

突破点1、古典概型

[核心知识提炼]

提炼1古典概型问题的求解技巧

(1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一

列举出来，然后进行求解．

(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，

列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．

(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思

维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．

(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数

结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决. 提炼2求概率的两种常用方法

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概

率．

(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，

即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．

[高考真题回访]

回访古典概型

1．(浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )

A.

1

10

B.

3

10

C.3

5

D.

9

10

D[“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白

球”，因而所求的概率P＝1－C3

3

C3

5

＝1－

1

10

＝

9

10

.]

2．(浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．

1

3

[记“两人都中奖”为事件A，

设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．

其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，2种，所以P(A)＝2

6

＝

1

3

.]

3．(浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________．

1

5

[用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab，ac，bc，故

所求概率为

3

15

＝

1

5

.]

热点题型1 古典概型

题型分析：古典概型是高考考查概率的核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解的关键是准确列举基本事件，难度较小.

【例1】(1)袋子里有大小、形状相同的红球m个，黑球n个(m＞n＞2)．从中任取1个球是红球的概率记为p1.若将红球、黑球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p2；若将红球、黑球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p3，则( )

A．p1＞p2＞p3B．p1＞p3＞p2

C．p3＞p2＞p1D．p3＞p1＞p2

(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为

增函数的概率是( )

A.

9

16

B.

7

16

C.

4

16

D.

3

16

(1)B(2)A[(1)由题意得p1＝

m

m＋n

，p2＝

m＋1

m＋n＋2

，p3＝

m－1

m＋n－2

，则

1

p

1

＝

m＋n

m

＝

1＋n

m

，

1

p

2

＝

m＋n＋2

m＋1

＝1＋

n＋1

m＋1

，

1

p

3

＝

m＋n－2

m－1

＝1＋

n－1

m－1

，则

1

p

1

－

1

p

2

＝

n

m

－

n＋1

m＋1

＝

n－m m m ＋1＜0，

1

p

1

－

1

p

3

＝

n

m

－

n－1

m－1

＝

m－n

m m－1

＞0，所以

1

p

2

＞

1

p

1

＞

1

p

3

，所以p3＞p1＞

p

2

，故选D.

(2)记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.

因为函数f(x)在R上为增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．

又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥b2 3

.

所以当b＝1时，有a≥1

3

，故a可取1,2,3,4，共4个数；

当b＝2时，有a≥4

3

，故a可取2,3,4，共3个数；

当b＝3时，有a≥3，故a可取3,4，共2个数；

当b＝4时，有a≥16

3

，故a无可取值．

综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(种)．

又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有4×4＝16(种)．

故所求事件A的概率为P(A)＝

9

16

.故选A.]

[方法指津]

利用古典概型求事件概率的关键及注意点

1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数．

2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．

[变式训练1]若将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率是________．

2

9

[将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则有3×3＝9种不同放法，其中在1,2号盒子中各有一个球的结果有2种，

故所求概率是2

9

.]

热点题型2 互斥事件与对立事件的概率

题型分析：互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题，主要考查学生的分析转化能力，难度中等.

【例2】现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．

(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；

(2)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率．

[解]甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：