2018年数学高考全国卷3答案

参考答案：

13.

14. 15. 16.2 17.(12分)

解：（1）设的公比为，由题设得.

由已知得，解得（舍去），或.

故或.

（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.

若，则.由得，解得.

综上，. 18.（12分）

解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：

（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二

3-3{}n a q 1

n n a q -=42

4q q =0q =2q =-2q =1(2)n n a -=-1

2n n a -=1

(2)

n n a -=-1(2)3

n n S --=63m S =(2)188m

-=-12n n a -=21n n S =-63m S =264m

=6m =6m =

种生产方式的效率更高.学科*网

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下：

（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.（12分）

解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .

因为M 为上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BC

CM =C ,所以DM ⊥平面BMC .

而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .

（2）以D 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D ?xyz .

当三棱锥M ?ABC

体积最大时，M 为的中点.

由题设得，

设是平面MAB 的法向量,则

7981

802

m +==2

40(151555)10 6.63520202020

K ?-?=

=>????CD ?DA CD (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M (2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==(,,)x y z =n

即可取.

是平面MCD 的法向量,因此

，

，所以面MAB 与面MCD

. 20.（12分）

解：（1）设，则. 两式相减，并由

得

. 由题设知

，于是 .① 由题设得，故. （2）由题意得，设，则

由（1）及题设得. 又点P 在C 上，所以，从而，. 0,0.

AM AB ??=??

?=??n n 20,

20.x y z y -++=??=?(1,0,2)=n DA 5

cos ,5

||||DA DA DA ?=

=n n n 2sin ,DA =

n 1221(,),(,)A y x y x B 2222

12121,14343

y x y x +=+=12

1y x y k x -=-1122

043

y x y k x +++?=12121,22

x y x y

m ++==3

4k m

302m <<

k <-(1,0)F 33(,)P x y 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<34m =

3(1,)2P -3||2

FP =

于是

同理. 所以. 故，即成等差数列. 设该数列的公差为d ，则

.② 将代入①得. 所以l 的方程为，代入C 的方程，并整理得. 故，代入②解得.

所以该数列的公差为或. 21.(12分)

解：（1）当时，，. 设函数，则. 当时，；当时，.故当时，，且仅当

时，，从而，且仅当时，.

所以在单调递增.学#科网

又，故当时，；当时，

1||(22

FA x ===-2

||22

x FB =-

121

||||4()32

FA FB x x +=-

=2||||||FP FA FB =+||,||,||FA FP FB 1212||||||||||2FB FA x x d =-=

-=3

m =

1k =-74y x =-+

71404

x x -+=121

2,28

x x x x

+==

||d =2828

-0a =()(2)ln(1)2f x x x x =++-()ln(1)1x

f x x x

'=+-

+()()ln(1)1x g x f x x x '==+-

()(1)x g x x '=+10x -<<()0g x '<0x >()0g x '>1x >-()(0)0g x g ≥=0x =()0g x =()0f x '≥0x =()0f x '=()f x (1,)-+∞(0)0f =10x -<<()0f x <0x >()0f x >

（2）（i ）若，由（1）知，当时，，这与

是的极大值点矛盾.

（ii ）若，设函数.

由于当时，，故与符号相同. 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.

. 如果，则当，且时，，故不是的极大值点.

如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.

如果，则.则当

时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点

综上，. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或． 0a ≥0x >()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=0x =()f x 0a <22

()2()ln(1)22f x x

h x x x ax x ax =

=+-+++

+||min{x <220x ax ++>()h x ()f x (0)(0)0h f ==0x =()f x 0x =()h x 222222

12(2)2(12)(461)

()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++610a +>6104a x a +<<

-||min{x <()0h x '>0x =()h x 610a +<22

4610a x ax a +++=10x <1(,0)x x

∈||min{x <()0h x '<0x =()h x 610a +=322(24)

()(1)(612)x x h x x x x -'=+--(1,0)x ∈-()0h x '>(0,1)x ∈()0h x '<0x =()h x 0x =()f x 16

a =-

O 221x y +=2

απ

l O 2απ≠

tan k α=

l y kx =-l

O 1<1k <-1k >(,)42

αππ

∈(,

)24

απ3π

∈

综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，

α(,

)44

π3π

l cos ,

(sin x t t y t αα

=???

=??44απ3π<<)A B P A t B t P t 2

A B

P t t t +=

A t B

t 2sin 10t α-+

=A B t t α+

=P t α=P (,)x

y cos ,

sin .P P

x t y t αα=???

=??

P 2,2x y αα

?=?

?=??(α44απ3π<<)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ?-<-??

=+-≤

≥???

()y f x

=()y f x =y 23

故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

3a ≥2b ≥()f x ax b ≤+[0,)+∞a b +5