北师大版数学八年级上册1.解题技巧专题：勾股定理与面积问题

解题技巧专题：勾股定理与面积问题

——全方位求面积，一网搜罗

◆类型一直角三角形中，利用面积求斜边上的高

1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 的长为( ) A.10

13 B.15

13 C.6013 D.7513

2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 的长为________．

◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝7cm ，c ＝5cm ，则Rt△ABC 的面积是( ) A ．6cm 2 B ．9cm 2 C ．12cm 2 D ．15cm 2

4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，P 是BC 边上除B ，C 点外的任意一点，则代数式AP 2＋PB ·PC 等于(提示：过点A 作AD ⊥BC )( )

A ．25

B ．15

C ．20

D ．30

◆类型三巧妙割补求面积

5．如图所示是一块地，已知AD ＝8米，CD ＝6米，∠D ＝90°，AB ＝26米，BC ＝24米，求这块地的面积．【方法5②】

6．(2016－2017·西华县期末)如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB ⊥BC ，求四边形ABCD 的面积．

◆类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积

7．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1＝4，S 2＝9，S 3＝8，S 4＝10，则S ＝( )

A ．25

B ．31

C ．32

D ．40

8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )

A．9 B．36 C．27 D．34

9．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________．

10．★五个正方形按如图放置在直线l 上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S5＝________．

参考答案与解析

1．C 2.2.4

3．A 解析：∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2

＝c 2.∵a ＋b ＝7cm ，∴(a ＋b )2＝49，∴2ab ＝49－(a 2＋b 2)＝49－c 2＝24，∴1

2ab ＝6，故面

积为6cm 2.

4．A 解析：首先过点A 作AD ⊥BC 于D ，可得∠ADP ＝∠ADB ＝90°.由AB ＝AC ，根据三线合一的性质，可得BD ＝CD .由勾股定理可得AP 2＝PD 2＋AD 2，AD 2＋BD 2＝AB 2.则AP 2＋PB ·PC ＝AP 2＋(BD ＋PD )(BD －PD )＝AP 2＋BD 2－PD 2＝AP 2－PD 2＋BD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝25.

5．解：连接AC .∵AD ＝8米，CD ＝6米，∠D ＝90°，∴AC 2＝CD 2＋AD 2，即AC ＝10米．在△ABC 中，∵AC 2＋BC 2＝102＋242＝262＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∴S ＝S △ABC －S △ACD ＝

AC ·BC －12

AD ·CD ＝12

×10×24－12

×8×6

＝96(平方米)．

6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC 2＝169，∴AC ＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD ，即△ACD 是等腰三角形．∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝1

2×10＝5.在Rt△ACE 中，由

勾股定理得CE 2＝AC 2－AE 2，解得CE ＝

12.∴S

四边形

ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝1

AB ·BC ＋12AD ·CE ＝1

2×(12×5＋10×12)＝90. 7．B 解析：由题意得AB 2＝S 1＋S 2＝13，AC 2＝S 3＋S 4＝18，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝31，∴S ＝BC 2＝31.

8．B 解析：大正方形的面积为32＋62

＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.

9．12 解析：∵图中的八个直角三角形全等，∴设每个三角形的面积为S ，则S 1－S 2＝4S ，S 2－S 3＝4S ，∴S 1－S 2＝S 2－S 3，∴S 1＋S 3＝2S 2.由题意得S 2＝22＝4，∴S 1＋S 3＝8，∴S 1＋S 2＋S 3＝4＋8＝12.

10．1 解析：如图所示：

由正方形的性质得AC ＝CE ，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABC 和△CDE 中，∠1＝∠3，∠ABC ＝∠CDE ，AC ＝CE ，∴△ABC ≌△CDE (AAS)．∴AB ＝CD .同理可得△FGH ≌△HMN .∴FG 2＝HM 2＝NH 2－MN 2＝5－2＝3.∴DE 2＝FG 2＝3.∴CD 2＝CE 2－DE 2＝4－3＝1.∴AB 2＝1.∴S 5＝AB 2＝1.

北师大版八年级数学上册知识点总结

北师大版八年级上册数学整理总结第一章勾股定理 1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。第二章实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算三、平方根、算数平方根和立方根

【人教版】八年级下数学《勾股定理》单元训练(含答案)

勾股定理专项训练专训1．巧用勾股定理求最短路径的长名师点金: 求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题;第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中,然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形,将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题 1.如图,学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______＿_步路(假设２步为1 m),却踩伤了花草. (第1题） 2.小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题:如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石Ａ坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设ＡＢ＝80 kｍ，BC=20 km,∠ＡBＣ=1２０°.请你帮助小明解决以下问题： (１)求A，C之间的距离.（参考数据21≈4.６) （２)若客车的平均速度是60 km／h,市内的公共汽车的平均速度为４０km/h,“武黄城际列车”的平均速度为180 kｍ／h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由.(不计候车时间) (第2题) 用平移法求平面中最短问题 3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是５0 cm，3０c ｍ,10 cm,A和Ｂ是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想，这只壁虎从Ａ点出发,沿着台阶面爬到Ｂ点，至少需爬( ) A．13 cm B．40 ｃｍＣ．130 cm D．169 ｃm

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

第一章勾股定理 1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2. A B C a b c 弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边 2.勾股定理定义的应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例. 在Rt △ABC 中，∠C=90° （1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。 3.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 4.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 5.勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

初二数学上册北师大版知识点总结

北师大版八年级上册数学知识点总结第一章勾股定理 1、勾股定理（1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状（4）构建直角三角形解题例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。中考突破（1）中考典题例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。点拨：要考虑梯子的长度不变。例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不解：连结AC ，在Rt △ADC 中，在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。第二章实数基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-

北师大版数学八年级上册知识点总结

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理 1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。第二章实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

八年级数学下册知识点总结-勾股定理

第十八章勾股定理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

八年级数学勾股定理练习题

勾股定理练习一．填空题： 1. 已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______. 2．在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=___________. 3．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE=4， AC=10，则AB=_____________. 4．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。 5．已知两条线段的长为9cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条 6．如图，在△ABC 中，则DE 的长为_______. 7的正方形的边和长为7cm 。 (第3题) 8．在一棵树的10的A 处。另一只爬到树顶9．有两棵树，一棵高6的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.则四边形ABCD 的面积 20dm 、3dm 、2dm ，A 和 A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则 _____________. （第9题）（第10题）（第11题）二．选择题： 1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A 、a=1.5，b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4,c=5 C A B C D 20 32A B

八年级数学上册勾股定理教案

课题：17.1 勾股定理教学设计（第1课时）（九年制义务教育课程标准实验教科书人教版八年级第十七章第一节）一、内容和内容解析 1、教材地位作用这节课内容为九年制义务教育课程标准实验教科书，人教版八年级第十七章第一节勾股定理第一课时。勾股定理是学生在学习了直角三角形有关性质的基础上进行本课学习，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，在实际生活中用途很大。通过课题的学习，学生可以经历从实际问题观察、发现、抽象出数学问题，猜想并验证直角三角形三条边之间满足的数量关系，到综合应用已学知识联想、证明的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。本节课学习过程中渗透了数形结合、从特殊到一般和方程思想等重要数学思想，同时为勾股定理逆定理和后续解直角三角形的学习奠定了基础，也为高中学习的一般三角形中余弦定理和平面解析几何的部分公式做铺垫。 2、教学重点勾股定理的学习是建立在掌握一般三角形的性质、直角三角形以及三角形全等的基础上, 是直角三角形性质的拓展。本节课主要是对勾股定理的探索和勾股定理的证明。勾股定理的证明方法很多，本节课介绍的是等积法。通过本节课的教学，引领学生从不同的角度发现问题、用多样化策略解决问题，从而提高学生分析、解决问题的能力。基于以上考虑，本节课的教学重点为：探索、验证、证明勾股定理过程八年级学生已初步具备几何的观察能力和说理能力，也有了一定的空间想象和动手操作能力，但是他们的推理能力较弱、抽象思维能力不足。而本节课先采用的是等积法证明。对于其他的证明方法，由于需要合理的发散思维和联想，没有教师的启发引领，学生不容易独立想到。二、目标和目标解析八年级学生对新事物充满好奇，他们喜欢动手，勤于思考，乐于探究，已经具备了一定的探索新知的能力。因此，结合学生的实际水平，我制定如下教学目标：本节活动课应当恰当发展学生的几何直观、推理能力和模型思想的数学核心观念与数学能力，还要注重发展学生的创新意识。 A．知识技能目标：①经历勾股定理的探索过程，理解并掌握勾股定理；

北师大八年级数学上册知识点总结

八年级上册第一章勾股定理一、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。三、勾股数满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12， 13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数?????????????????--???---) ()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ? ?? ????? ??实数第二章实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算

人教版数学八年级下册《勾股定理》基础练习题

勾股定理一、选择题(每小题4分,共12分) 1.(2013·黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为 ( ) A.5 B. C. D.5或 2.如图,有一块直角三角形纸板ABC,两直角边 AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且点C落到点E处,则CD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 3.(2013·资阳中考)如图,点E在正方形ABCD内,满足 ∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( ) A.48 B.60 C.76 D.80 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.(2013·莆田中考)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形 E的面积是. 5.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD= cm.

6.(2013·桂林中考)如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE= . 三、解答题(共26分)[ 7.(8分)已知,如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求AC的长. 8.(8分)在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长. 【拓展延伸】 9.(10分)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.(图2,图3备用)

苏科版八年级数学上册勾股定理教案

勾股定理（2）教案1 一、教学目的 1．使学生掌握勾股定理及其证明。 2．通过讲解我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，对学生进行受国主义教育、学习目的教育。二、教学重点、难点重点；勾股定理的证明和应用。难点：勾股定理的证明。三、教学过程引言:直角三角形三边之间有一种特别重要的关系，早在我国古代就引起人们的兴趣。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。介绍商高答周公的勾三股四弦必五的故事。人们还发现，在直角三角形中勾为6，股为8，弦必为10；勾为5，股为12，弦必为13，……。而32+42=52 ，62+82=102，52+122=132，……即勾2+股2=弦2。是否所有直角三角形都有这种性质呢？事实上，可以证明，对于所有的直角三角形的三边都有这种关系，此关系我国把它称为“勾股定理”，现在我们就来学习这个定理。新课勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。即a 2+b 2=c 2。对于这个定理的证明可按教科书中所给的方法。根据教科书中的方法事先用硬纸片拼好图形1-104。 a b b a a a c a a b a c c b b c b b b c c a a b a b 图 1-104 （1）先让学生观察，拼成的两个正方形边长都是a+b ，则面积相等。再看这两个正方形又由哪些三角形和正方形拼成的。（2）分别写出左、右两个正方形的面积：在边正方形是四个全等直角三角形与两个正方形组成，其面积为222 14b a ab ++? 。右边的正方形是四个全等直角三角形与一个正方形组成，其面积为2214c ab +?。（3）左、右两个正方形面积相等，即 ab c ab b a 2 14214222?+=? ++， ∴ 222c b a =+。（4）勾股定理的变形。今后在运用勾股定理时，根据需要可将其变形为： 222b c a -=或222a c b -=，从而可知，在Rt △中已知两边可求出第三边。向学生说明，这种证法是采用割补拼接（称拼图）的方法。在拼补过程中只要没有重叠、没有空隙，

(完整)北师大版数学八年级上册数学试题和答案

数学试题一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（，） D ）

11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示，则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标为 (2,43),(2,43)--- 第12题图第16题图第11题图

八年级上册数学试题北师大版)

2011-2012八年级上册数学试题一、选择题:(本题共10小题,每小题2分,共20分。) 试试自己的能力，可别猜哦！（下列各小题都给出了四个选项，其中只有唯一的一项是符合题目要求的，请把符合要求选项前面的字母填写在Ⅱ卷上指定的位置．） 1、下列各式中计算正确的是（） A 、9)9(2-=- B 、525±= C 、1)1(33-=- D 、2)2(2 -=- 2、根据下列表述，能确定位置的是（） A 、某电影院2排 B 、大桥南路 C 、北偏东30° D 、东经118°，北纬40° 3、给出下列5种图形：①平行四边形、②菱形、③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形．其中既是轴对称又是中心对称的图形有（）． A 、2种 B 、3种 C 、4种 D 、5种 4、下列四点中，在函数y=3x+2的图象上的点是（） A 、（－1，1） B 、（－1，－1） C 、（2，0） D 、（0，－1.5） 5、把△ABC 各点的横坐标都乘以－1，纵坐标都乘以－1，符合上述要求的图是（） 6、某中学科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（） A 、正方形 B 、正六边形 C 、正八边形 D 、正十二边形 7、下列命题正确的是（） A 、正方形既是矩形，又是菱形 B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C 、一个多边形的内角相等，则它的边一定都相等 D 、矩形的对角线一定互相垂直 8、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（） x y x y x y x y O O O O D y x C B A O C y x C B A O B y x C B A O A y x C B A O

八年级下册勾股定理知识点归纳

八年级下册勾股定理知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 2 22() 2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠ =?，则c =，b ，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

八年级数学上册知识点：勾股定理

八年级数学上册知识点：勾股定理八年级数学上册知识点：勾股定理一、勾股定理： 1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。２.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。二、勾股定理的逆定理 1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是

否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足 a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数. 四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠

八年级数学下勾股定理-单元测试题(带答案)

(第6题) A B D C （第12题） 30 7米5米八年级下勾股定理测试题姓名：分数：一、耐心填一填(每小题3分，共36分) 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=___________； 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________； 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是度. 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶b ＝3∶4，则ab ＝． 6、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=________； 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2 ，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为________． 8、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝________． 9、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为； 10、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米． 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是________． 12、如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则这棵大树折断前有__________米（保留到0.1米）。二、精心选一选（每小题4分，共24分） 13、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（） A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、 5 14、正方形ABCD 中，AC=4，则正方形ABCD 面积为（） A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c ，若∠B=90○ ，则（） A 、b 2= a 2+ c 2 ； B 、c 2= a 2+ b 2； C 、a 2+b 2=c 2； D 、a +b =c 16、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结

勾股定理典型例题归类总结题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长跟踪练习: 1.在ABC ?中,90C ∠=?. （1）若ａ=5,b=1２,则c= ; （2)若ａ：b=3：4,c ＝15，则a ＝ ,b ＝ . （3）若∠Ａ=30°,ＢC=2,则A Ｂ= ,AC= . 2. 在Ｒt △A ＢＣ中,∠C ＝90°,∠Ａ,∠Ｂ，∠C 分别对的边为a ，b ，c,则下列结论正确的是( ) Ａ、 B 、 C 、 D 、３.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为（ ) A 、2、4、6 B 、4、6、８ C 、6、8、10 D 、3、4、5 ４.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（） A 、 B 、 C 、１ D 、2 ５.已知等边三角形的边长为2cm ，则等边三角形的面积为( ） A 、 B 、 C 、１ D 、６.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为_______＿___． 7．如图，∠AC Ｂ＝∠ABD=90°，AC=2，BC=1,,则ＢＤ=________＿_＿.? 8.已知△ＡＢC 中，AB=ＡC=1０,BD 是A Ｃ边上的高线，ＣD=２，那么BD 等于( ） A 、4 Ｂ、6 Ｃ、8 Ｄ、９.已知R ｔ△ＡBC 的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积。 1０. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广．（1)如图,以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。 (2)如图，以Ｒｔ△A ＢC 的三边长为直径作三个半圆,则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系? (３）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）