(完整版)高一数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法

一、公式法

高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式

例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。

解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得

11

0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-?

故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式

例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。

解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得， 即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式

若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式

???≥-==-2

11n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ 求解。一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1

适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n S n ，求}{n a 的通项公式。

解：011==s a ，当2≥n 时

由于1a 不适合于此等式 。 ∴??

?≥-==)

2(1

2)1(0

n n n a n

二、当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和1+n a 的关系时，我们可以根据具体情况采用下列方法： 1、累加法

一般地，对于形如)(1n f a a n n +=+类型的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。 即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥。

例4、数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若

则32b =-，1012b =，则8a =

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11 解：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由累加法 例5、 已知数列{}n a 满足1121

1

,2n n a a a n n

+==++，求数列{}n a 的通项公式。

解：由题知：121111

(1)1

n n a a n n n n n n +-===-+++ 2、累乘法

一般地对于形如“已知a 1，且

)(1

n f a a n

n =+（)(n f 为可求积的数列）”的形式可通过累乘法求数列的通项公式。即：121121

n n n n n a a a a a a a a ---=

????L (2)n ≥； 例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得

1

1+=

+n n

a a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34

a a …1-n n a a =n n n 114

33221=-??Λ 所以n a n 1=

3、构造法

当数列前一项和后一项即n a 和1-n a 的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。 （1）待定系数法：形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型

（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,

得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得

d c =-λ)1(,所以

)0(,1≠-=

c c

d λ所以有：

)1(11-+=-+-c d

a c c d a n n 因此数列??????-+1c d a n 构成以11-+

c d

a 为首项，以c 为公比的等比数

列，

所以

11)1(1-?-+=-+

n n c c d a c d a 即：

1)1(11--?-+=-c d c c d a a n n . 例7、已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公

式。

解：121(2),n n a a n -=+≥Q 112(1)n n a a -∴+=+ 又{}112,1n a a +=∴+Q 是首项为2，公比为2的等比数列 12n n a ∴+=，即21n n a =-.

练习、已知数列}{n a 中，

,2121,211+=

=+n n a a a 求通项n a 。答案：

1

)21

(1+=-n n a

（2）倒数法

一般地形如1

1n n n a a ka b

--=

+、n n n n a a a a -=?--11等形式的递推数列可以

用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。

例8、已知数列{}n a 满足：1

111,31

n n n a a a a --==

+，求{}n a 的通项公式。

解：原式两边取倒数得：111

1311

3n n n n a a a a ---+==+

1(1)332bn n n ∴=+-?=-，即1

32n a n =-

例9、在数列{n a }中，3

1

1=a ，并且对任意2,≥∈*n N n 都有

n n n n a a a a -=?--11成立，令)(1

*∈=

N n a b n

n ,求数列{n b }的通项公式 . 解：当n=1时，31

1

1==

a b , 当2≥n 时，由n n n n a a a a -=?--11 ，等式两边取倒数得：

,1111

=--n n a a 所以11=--n n b b ，所以数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列}{n b 的通项公式为2+=n b n （3）对数法

当数列n a 和a n-1的递推关系涉及到高次时，形如：a n p

= ma n-1

q

（其中m 、p 、q 为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。

例10、若数列{n a }中，1a =3且21n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁。

解：由题意知n a ＞0，将21n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即

2lg lg 1

=+n

n a a ，

所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，12113lg 2lg lg -=?=-n n n a a ，即1

23-=n n a 。

三 、阶差法（逐项相减法）

1、递推公式中既有n S ，又有n a （当题中给出的是n S 和n a 的关系时，我们一般通过作差法结合1--=n n n S S a 这个通用公式对原等式进行变形，消掉n S 得到n a 和1+n a 的递推关系，或消掉n a 得到n S 和1+n S 的递推关系，然后重新构造数列求通项公式）。 分析：把已知关系通过11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?

-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推

关系，然后采用相应的方法求解。

例11、已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且

*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=，求{n a }的通项公式；

解：由)2)(1(6

11111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1

＞1，因此a 1＝2。

又由a n +1＝S n +1- S n ＝)2)(1(6

1)2)(1(6

111++=++++n n n n a a a a ，

得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n

因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。

因此a n +1- a n -3＝0。从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数

列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -2。

例12、设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+， 设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 解

：

由

11,

a =及

142

n n S a +=+，有

12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=

由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-

又12n n n b a a +=-Q ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列． 练习、已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(2

1

+=n n a S ,求数列}{n a 的通项公式.

答案： 12-=n a n

2、对无穷递推数列——逐项相减法（阶差法）：

有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减,进而求得通项公式.

例13、已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求

{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+L ② 用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ ，故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥

所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???=L L ③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452

n n a n =?????=L 。 所以，{}n a 的通项公式为!

.2

n n a =