中考数学专题复习必备教案15.docx

第三单元第15课时

反比例函数

知识点回顾：

知识点一：反比例函数

一般地，如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成_______________ 的形式 ,那么称 y 是x 的反比例函数。反比例函数的自变量x 的范围是 _____________.

例 1.A、B两地相距120千米，一辆汽车从A地去B地，则其速度v(千米/时)与行驶时间t(小时 )之间的函数关系可表示为 ______.

解析 :根据路程 ,速度 ,时间三者之间的关系可知:120=vt, 因此v 120

. t

答案 :

120

v

t

同步检测：

1.有一个面积为40 的三角形 ,设它的底是x,高为 y,则y 与 x 的函数关系式是_____.

2.已知 y 与 x 成反比例，又知当 x=2 时， y=3，则 y 与 x 的函数关系式是 :______ .

3.若函数y(k 2) x k25是反比例函数，则k=_____ ．

1.解析 :由三角形的面积公式:S=xy ÷2,即y 80

.

80x

y

x

k

2.y 与 x 成反比例则可设y,所以把 x=2 时， y=3，代入

,求得 k 值即可得出其函数关系式

x

6

反比例函数式求得k=6, 则表达式为 :y.

x

3.由题意可知k2－ 5= －1 且 k－ 2≠ 0.所以 k= － 2.

k

y

知识点二：反比例函数x 的图象

k

y

_________,当 k>0反比例函数x 的图象是由两支曲线组成的这两支曲线通常称为

时，两支曲线分别位于第______象限内 ,在每一象限内 ,y 随 x 的增大而 ______,当 k<0 时，两支曲线分别位于第______象限内 ,在每一象限内 ,y 随 x 的增大而 ______,

例 2.已知函数 y (m 2 2)x m 2 m 7 是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，那么，

m

=_____. 解析 :

根据反比例函数的定义及性质可知 ,图象在第一、三象限则

k>0,即 m 2－ 2>0,解得 m 2>2.而且

此函数是反比例函数则应该满足 m 2＋ m － 7=－ 1,m=2 或 m= － 3,综上得 :m= －3.

答案 : － 3

同步检测：

1.已知一个三角形的面积为

5，一边长为 x ，这边上的高为 y ，则 y 关于 x 的函数关系式为

10

(x ＞ 0)该函数图象在第 ________象限．

y

x

2. 如果点 A (7 ，y 1)，B (5，y 2)在反比例函数 y

a 2 (a ≠ 0)的图象上，那么， y 1 与 y 2 的大

x

小关系是 _______.

2.由 y

k

中 k=a 2>0 ，故 y 的值在每个象限内随

x 的增大而 减小．而 7＞5，故 y 1 < y 2.

x

1.一

2. y 1

知识点三：反比例函数的应用

数学与实际生活是紧密结合在一起的 ,现实生活中的一些问题都可以用反比例函数来解

决 ,在应用反比例函数时

,特别注意

______的取值范围

.

例 3.为了预防“非典” ，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每

立方米空气中的含药量

y(毫克 )与时间

x(分钟 )成正比例，药物燃烧后

y 与

x

成反比例

(如图

所示 )．现测得药物

8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6 毫克 ,因些当药物燃

烧时， y 关于 x 的函数关系式为

_______，自变量 x 的取值范围是 _________；药物燃烧后 y

关于 x 的函数关系式为 ___________．

解析 :这是一道正比例与反比例函数的综合应用题，由题意设药物燃烧时，燃烧后y 与 x 的

关系分别为

k2

y=k 1x，y

x

．因为 x=8 时，y=6．所以将其代入y=k 1x，y k2中，可得 k13，

x4 348

k2 =48．故应填y

4x;0x 8; y x ( x 8);

同步检测：

1.有一批救灾物资要从 A 市运往相距500 千米的 B 县城，设车速为每小时v 千米，从 A 市到 B 县城所需时间为t 小时，则 t 与 v 的函数关系式为 ______,若要将救灾物资在 8 小时内

运到目的地，车速至少应为________.

2.有 x 个小朋友平均分20 个苹果，每人分得的苹果 y(个 / 人)与 x(个 )之间的函数是 __________函数，其函数关系式是__________.当人数增多时，每人分得的苹果就会减少，这正符合函

数 y k

(k＞0)，当 x＞ 0 时， y 随 x 的增大而 __________ 的性质 . x

1. t 500

， 62.5 千米 /时v

20

2.反比例 , y, 减小

x

随堂检测

1.电源的电压 U(V) 一定时，电流 I(A) 与可变电阻 R(Ω )之间的函数关系式是 ______.

2.近视眼镜的度数y(度 )与镜片焦距x(m) 成反比例，已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则 y 与 x 的函数关系式为________.

3.已知函数y= －1

，当 x＜ 0 时， y____0，此时，其图象的相应部分在第_____象限 . 4x

4.已知四个函数中，y 随 x 的增大而增大的有________..(填入序号即可 )

① y x ,② y x 1,

③y 1

( x 0),④ y x2 (x0) ，x

5.反比例函数的图象经过点(－ 2， 3)，则这个反比例函数的表达式是_______.

6.已知函数y ax和y4a

的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为

x 数图象的交点坐标是 _______.

7.若 ab＜ 0,则函数 y=ax 与y

b

在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的x

8.已知正比例函数y kx与反比例函数y 3

的图象都过 A( m， 1)点．求 : x

⑴正比例函数的解析式；1，则两个函

().

⑵正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标．

9. 如图，点Ａ是双曲线y k

AB ⊥ x 轴于 B，与直线 y= － x－(k＋ 1)在第二象限内的交点，

x

3

且S ABO.

2

⑴求这两个函数的解析式；

⑵求直线与双曲线的两个交点Ａ、Ｃ的坐标和△AOC 的面积 .

答案：

随堂检测

U 1.I

R

100 2.y

x

3.＞ , 二

4.②③

5.

6 y

x

6.解析 :把交点的横坐标为 1 代入函数式即： y=a,y=4 － a,解得 a=2,此时函数式可表示为 y=2x,

y

2

(1， 2)； (－1，－ 2).

，解方程组可得交点分别为：

x

7. B

33

8.(1) 把 x=m,y=1 代入y，得=1.

x m

∴m=3, ∴ A(3,1), 把 x=3,y=1 代入 y=kx, 得 3k=1. k=1.∴y 1 k

33

1

y x

3 (2)解方程组

3

y

x x13或x 23 y 11y 21

所以另一个交点的坐标为(－３，－１ ).

9. 解析 :求表达式关健求 k 值，结合图形可以设A( x，y)，根据已知S ABO 3

，运用三角形2

的面积公式可得出x， y 与 k 三者的关系，从而求得k，结合两函数式解方程组可得交点坐标，由三角形面积公式可求得△AOC 的面积 .

解： (1)设 A 点坐标为 (x， y)，且 x＜ 0， y＞0，

则S ABO 1

BO AB1( x) y3解得： xy3 222

k

即 xy k ，∴k3

∵ y

x

3

∴所求的两个函数解析式分别为y x 2 .

， y

x

(2) 在y x 2 中，令 y0 ，得x 2 .

∴直线 y x 2 与x轴的交点D的坐标为(2，0).

y

x 2 x 1

1 x

2 3

3

由

解得

3 ，

y 2

1

y

x

y 1

∴交点 A 为 (－ 1，3)， C(3，－ 1)

∴S AOC

S ODA S

ODC

1 OD

y 1

1 OD y

2 4

2

2

专题体例：

类型一：求反比例函数的解析式

例 1.在反比例函数中 ,如果 x= －3 时 ,y=5，则它的解析式为

_________.

解析 :

先设出反比例函数的一般式即设

y

k

x

把 x= － 3 时 ,y=5 代入一般式求得 k 值即可得出其函

数关系式 .解得 k= －15,所以表达式是 : y

15

.

x

同步检测：

1. 已知 y 与 x 成反比例，并且当 x = 2 时， y = － 1，则当 x = － 4 时， y = ______.

2. 计划修建铁路

1200km ，那么铺轨天数 y(d)是每日铺轨量 x 的 _____比例函数 ,其表达式

为 :_______ .

答案 :

1 1.

2

2. 反 , y

1200

x

类型二：大小比较

例 2.若M(

1

, y 1 ) ， N ( 1 , y 2 ) ， M ( 1 , y 3 ) 三点都在函数 y k

(k ＜ 0)中的图象上，则

2 4 2

x

y 1， y 2， y 3，的大小关系为 ________. 解析 :

由 y

k

x 的增大而增大．而－ 1

1

E A ，故 y 2 中 k ＜ 0，故 y 的值在每个象限内随

A E A ＞－A

x

4 2

＞ y 1＞ 0．由于 P 点在第四象限，故 y 3 <0

答案 :

y 2＞ y 1＞ y 3

同步检测：

1

1. 点 A (a ，b) ，B (a － 1，c) 均在反比例函数

y

x

的图象上， 若 a < 0, 则 b

c (填“ >”、

“ <”或“ =” )；

2. 已知点 A ( x1，y1 ) 、 B ( x2，y2 ) 是反比例函数y k

( k 0 ) 图象上的两点，x

若 x10 x2，则有()

A ．y10 y2B．y20 y1C．y1y20 D． y2 y1 0

y

B A

C O x

1.＜

2.A

类型三：面积问题

例 3: 如图，过双曲线y＝2

上两点 A ，B 分别作 x 轴， y 轴的垂线，若矩形ADOC 与矩形x

BFOE 的面积分别为S1， S2，则 S1与 S2的关系是 ________．

解析 :根据反比例函数与矩形的性质:若点 A 是反比例函数y k

图象上的任意一点，(k≠ 0)

x

且 AB 垂直于 x 轴，垂足为B， AC 垂直于 y 轴，垂足为C，则矩形面积＝ |k|,所以 S1＝ S2＝ |k|＝ 2．

同步检测：

1.如图， A、 B 是函数y 2

的图象上关于原点对称的任意两点，x

BC∥x轴， AC∥y轴，△ ABC 的面积记为S ，则() A．S2B．S4C．2S 4D．S4

y

A

O

x B C

2. 如图 4，函数y x 与 y 4

的图象交于 A、 B 两点，x

过点 A 作 AC 垂直于y轴，垂足为C，则△ABC的面积为．

y

C

A

O x

B

答案 :

1.B

2.4

随堂检测

1.反比例函数 y k

的图象经过点2，3 ，那么 k 的值是()

3x

2

B ．C．6 D ． 6

A ．

3

2

2.已知点 A 是反比例函数y 3

图象上的一点．若 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B ，则△AOB x

的面积．

3.如图，已知双曲线

k

( k＞0 ) 经过直角三角形OAB 斜边 OB 的中点 D ，与直角边 AB 相y

x

交于点 C．若△ OBC 的面积为3，则 k＝ ____________．

4. 若A(x 1， y1 )， B(x 2， y2) 是双曲线y 3

上的两点，且x1>x 2>0，则y1y2(填“ >”“ =”x

“<”)．

5. 如图，已知一次函数y x 1的图象与反比例函数 y k

A ，的图象在第一象限相交于点

x

与 x 轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为(保留根号 )．

y

A

C O B x

2m1

A( 1， b1) ， B(2， b2 ) 是该图象上的两点．6. 反比例函数y的图象如图所示，

x

y

O x

(1)比较 b1与 b2的大小；

(2)求 m 的取值范围．

答案：

1. C

2.3

2

3. 2

4. <

5.【解析】本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k 与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即

1

k ，由k y x 1

S 2 ，且图象在第一象限内，所以 k 2 ，由

y 2

2

x

得点 A 坐标为 (1,2)，而 y x 1 与x 轴的交点坐标为 ( － 1,0) ，所以 AB=2 ， BC=2 。由勾股定理得AC222222 。

【答案】 2 2

6.(1) 由图知，y随x增大而减小．

又 1 2 ，

b1b2．

(2) 由2m 10 ，得m 1．2