数列的递推关系

1. 数列递推公式的概念(

2. 会根据给出的递推公式写出数列的前n项(

, 教学重点:

数列的任意连续若干项能满足的关系式称为该数列的一个递推公式，由递推公式和相应有尽有前若干项可以确定一个数列(这种表示方法叫做递推公式法或递推法(

, 教学难点:

1(根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，关归纳出通项公式(

,SS,(n,2)nn,1,a2(的关系 ( aS,nnnS(n,1),1

, 教学过程:

一、复习

数列的定义，数列的通项公式的意义(从函数观点出发去刻划)(

二、递推公式

钢管的例子 a,n，3 n

a,4(n,1)1

？从另一个角度，可以:

a,a，1(n,2)nn,1

,,“递推公式”定义:已知数列a的第一项，且任一项a与它的前一项a(或前n项)nnn,1间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式(

a,a,4a例1(已知，求( a,2n，1nn1

a,,6 解一:可以写出:，，，，?? a,2a,,2a,,103124

a,2，(n,1)(n,4),2,4(n,1) 观察可得: n

a,a,,4 解二:由题设: n，1n

4a,a,,nn,1

4a,a,,n,1n,2 ? 4a,a,,n,2n,3

？？

，)a,a,,421

a,a,,4(n,1)n1

? a,2,4(n,1)n

S,S(n,2),nn,1a,例2(若记数列的前n项之和为S试证

明: ,,an,nnS(n,1)1,

n,1 证:显然时， a,S11

n,1n,2当即时，

S,a，a，？，aS,a，a，？，an12nn,112n,1

,SS,(n,2)nn,1a, ? ? S,S,a,nnn,1nS(n,1),1

注意:1: 此法可作为常用公式;

2: 当时满足时，则( a,S,SS,Sa(,S)nn,1nnn,111

22例3(已知数列,,的前n项和为? ? ，求数列,,的aS,2n,naS,n，n，

1nnnn

通项公式(

n,1 解:1(当时， a,S,111

22n,2 当a,2n,n,2(n,1)，(n,1),4n,3时， n

n,1 经检验时也适合 a,4n,3 a,1n1

n,1 2(当时， a,S,311

22n,2a,n，n，1,(n,1),(n,1),1,2n 当时， n

3,(n,1)a, ? ,n(n,2)n2,

a,2aa例4(已知，求( a,2n，1nn1

232 解一: a,2，2,2a,2a,2，2,2132

n 观察可得: a,2n

an,2 解二:由 ? 即 a,2aa,2an，1nnn,1an,1

aaaan,1nn,1n,22，，，，,2？？ ? aaaan,1n,2n,31

n,1n ? a,a,2,2n1

三、本课小结

1(递推公式(简单阶差、阶商法)(

2(由数列和求通项(

四、练习

1( 根据下面数列{a}的首项和递推公式写出它的前4项，并归纳出通项公式( n

1) a=1,a=1+a (n?1); (11n+1n2

*(2) a=0, a= a+(2n-1)(n?N)( 1n+1n

2. 已知数列{a}满足a=2，a=5,a=23,且a=αa，β，求实数α、β的值( n124n+1n

2f(n)，1*n,N3(已知，()，求的值( f(1),2f(101)f(n，1),2

n，14(已知数列{a}的前n 项和，试求其通项a( S,(,1)nnn

225(已知数列{a}的前n 项和为n+Pn数列{b}的前n项和为3n-2n( nn

(1) 若a=b,求P的值; 1010

(2) 取数列{b}的第1项，第3项，第5项，?，构成一个新数列{c},求数列{c}nnn

的通项(

6(设a=2，a=2a+3，则通项a可能是 ( ) 1n+1nn

n-12n-1 A 5-3n B 3?2-1 C5-3n D 5?2-3

27(设a=-n+10n+11,则数列{a}从首项到第( )项的和最大( nn

A 10

B 11

C 10或11

D 12

*8(在数列{a}中，a=a=2,且a=3a-a，(n?N),则a= ( n12n+2n+1n5

2a2*n9. 在数列{a}中，,a=1,a=( n?N)则是这个数列的第项( n1n+1a，27n

310(已知数列{a}的前n项和S=n+1,试求其通项a( nn

11(数列{a}，{b}的首项都是1，且符合规律

a+b=a,b+a=b,a+b=a,b+a=b, ?,nn112122223233

试求a,b的表达式，并求a与b( n+1n+144。

112(在数列{a}中，a=，且S=9，求n( nnn，n，1

*2213(设{a}是首项为1的正项数列，且(n?N),则它的(n，1)a,na，aa,0nn，1nn，1n通项公式a= ( n

14(已知数列{a}中，a=1，数列{b}中，b=0, n1n1

11当n?2 时，，， a,(2a，b)b,(a，2b)nn,1n,1nn,1n,133

求a， b( nn