用二分法求方程的近似解经典例题及答案

例1：利用计算器，求方程 x 2 2x 1 0的一个近似解(精确到 0.1).

2 与 2.5 的平均数 2.25，因为 f(2.25) 0.4375

2.5.

x-i 2.4. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解 点评：①第一步确定零点所在的大致区间

(a, b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器,

但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为 1的区间；

②建议列表样式如下： 零点所在 区

间

区间中点函数值 区间长度

1

0.5

0.25

0.125

如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步. 例2：利用计算器，求方程Igx 3 x 的近似解(精确到0.1). 数图象的交点处，函数值相等?因此，这个 程lg x 3 x 的解.由函数y lg x 与 以发现，方程Igx 3 x 有惟一解，记为为,

【解】设f (x) x 2

2x

1,卜 I 先画出函数图象的简图 V

(如右图所示)

因为

f(2)

1 0, f (3)

2 °

入 所以在区间(2,3)内， 方程 X 2叫 f(2.5)

0.25

所以

2 x 1 2.5.

0 ,

x ,.取2与3的平均数

2.5，因为

再取 所以 如此继续下去，得

f(2) 0, f(3)

f(2.25) f (2.375)

近似值都为 0, f (2.5) 0

0, f (2.4375)

2.4，所以此方程的近似解为

(2,3)

f(2)

0, f(2.5)

x 1 (2.25, 2.5) f (2.375) 0, f (2.5) 0 0

x .

(2,2.5)

(2.375, 2.5) 人(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到 0.1 的

X i

2.25 x ,

分析：分别画函数y 的图象，在两个函 点的横坐标就是方

y 3 x 的图象可

lg x 和 y 3 x

丁 1 0有一解，记为 3斗

并且这个解在区间(2,3)内.

【解】设f(x) Igx x 3，利用计算器计算得

因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为

x-i 2.6.

思考：发现计算的结果约稳定在 2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法一一迭代法.

除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等.

例3:利用计算器，求方程2x x 4的近似解(精确到0.1).

【解】方程2x x

可以化为2x 4 x

分别画函数y 2x

与y 4 x的图象，由图象可以知道，方程2x x 4的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为x 1.4.

追踪训练一

1.设X o是方程In x x 4的解，贝U X o所在的区间为(B )

A. (3,4)

B. (2,3)

C. (1,2)

D. (0,1)

2.估算方程5x27x 1 0的正根所在的区间是

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,4)

3. 计算器求得方程5x27x 1 0的负根所在的区间是

A. (1, 0)

B. 2, 1

C. 2.5, 2

D. 3, 2.5

4.利用计算器，求下列方程的近似解(精确到0.1)

(1) lg2x x 1 (2) 3x x 4

答案：(1) 0.8(2) x1 3.9 , x2 1.6

一、含字母系数的二次函数问题

例4：二次函数f(x) px2 qx r中实数p、q、r满足一P q— 0，其中

m 2 m 1 m

m 0,求证：

(1) pf (旦)0)；

m 1

(2)方程f(x) 0在(0,1)内恒有解.

分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：

m是区间(0,1)内的数，且m 1

pf( m ) 0，这就启发我们把区间(0,1)戈怆为(0 ,m)和(m, 1)来处理. m 1 m 1 m 1

【解】(1)

2

p m

2 ，

(m 1)2(m 2)

由于f (x)是二次函数，故p 0,又m 0，所以，pf(^^) 0 .

m 1

⑵由题意，得f (0) r , f (1) p q r .

①当p 0时，由(1 )知f(^^) 0

m 1

若r 0，则f(0) 0，又f (旦)0,

m

m 1

所以f(x)在(0 , )内有解.

m 1

若r 0，贝U f (1) p q r p (m 1)

(L) r —- 0，又f (旦)0，所以f(x) 0 在(, 1 )内

m 2 m m 2 m m 1 m 1

有解.

②当p 0时同理可证.

，这就暗示着二次项系数p 0 ?若将题中的“二次” 两个字去掉，所证结论相应更改.

(2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好.

追踪训练二

1?若方程2ax2 x 1 0在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是(B ) 1

A. [ )

B. (1,)

8

1

C. ( ,1)

D. [ ；,1)

8

2.方程x2 2x 2k 1 0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，贝U k的取值范围是

3?已知函数f(x) 2mx 4，在[2,1]上存在X。，使f(x。) 0 ,则实数m的取值范围是

___ m 1或m 2 ______________ .

点评：(1)题目点明是“二次函数”

3

4.已知函数f X XX

⑴试求函数y f x的零点；

⑵是否存在自然数n，使f n 1000若存在，求出n，若不存在，请说明理由. 答案：(1)函数y f (x)的零点为x 0 ;

(2)计算得f (9) 738 , f (10) 1010 ,

由函数的单调性，可知不存在自然数n，使f n 1000成立.