《信号与系统》期末测验试题及答案

《信号与系统》测验

一、单项选择题 ................................................. 1 二、简答题 ..................................................... 4 三、计算题 .. (8)

一、单项选择题

1．设系统的初始状态为()0t x ，输入为()t f ，完全响应为()t y ，以下系统为线性系统的是 D 。

(A) ()()()[]t f t x t y lg 02?= (B) ()()()t f t x t y 2

0+=

(C) ()()()ττd f t x t y t

t ?+=00 (D) ()()()()ττd f dt

t df t x e t y t

t t ?++

=-0

0 2．一个矩形脉冲信号，当脉冲幅度提高一倍，脉冲宽度扩大一倍，则其频带宽度较原来频带宽度 A 。

（A ）缩小一倍 （B ） 扩大一倍 （C ） 不变 （D ）不能确定 3. 某系统的系统函数为)

2)(5.0()(--=z z z

z H ，若该系统是因果系统，则其收敛区为

B 。

（A ）|z|<0.5 （B ）|z|>2 （C ）0.5<|z|<2 （D ）以上答案都不对 4. 下面关于离散信号的描述正确的是 B 。 (A) 有限个点上有非零值，其他点为零值的信号。 (B) 仅在离散时刻上有定义的信号。 (C) 在时间t 为整数的点上有非零值的信号。 (D) 信号的取值为规定的若干离散值的信号。 5．下列信号中为周期信号的是 D 。

t t t f 5s i n 3s i n

)(1+= t t t f πc o s 2c o s )(2+=

k k k f 2sin 6sin )(3π

π+= )(21)(4

k k f k

ε???

??=

()

A )(1t f 和)(2t f ())(),(21t f t f c 和)(3k f

())(2t f B 和)(3k f ())(1t f D 和)(3k f

6. 连续周期信号的频谱具有 D 。 (A) 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 (C) 离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性

7. 设系统的初始状态为()01x 和()02x ，输入为()?f ，完全响应为()?y ，下列系统为线性系统的是 A 。

(A) ()()()()t f x x t y 302021++= (B) ()()()()ττd f x x t y t

?+=02100

(C) ()()()[]()2sin 01-++=t f t f x t y (D) ()()()()()202021-++=k f k f x x t y 8．下列描述正确的是 A 。

()A 信号()t f 反折，则其相应的频谱()ωj F 也反折。

()B 信号()t f 在时间轴上扩展2倍，则其相应的频谱在ω轴上也扩展2倍。 ()C 信号()t f 在时间轴上平移2，则其相应的频谱在ω轴上也平移2。 ()D 信号()t f 为时限信号，则其相应的频谱也是频带有限的。

9.一个含有3个电容、2个电感和3个电阻的系统，以下叙述正确的是 D 。 （A ）一定是3阶系统 （B ）一定是5阶系统 （C ）至多是3阶系统 （D ）至多是5阶系统

10．f(t)的频宽是200Hz,那么f(-2t-6)的奈奎斯特频率为 C 。 （A ）400Hz （B ）200Hz （C ）800Hz （D ）100Hz

11．若()t f 的频谱为()ωj F ，则下列性质正确的是 B 。

()A ()()ω-?f jt F ()B ()()()ωωj F j dt

t f d n n n ? ()C ()()ωωj j F dx x f t

??∞

- ()D ()()()n

n n

d j F d t f jt ω

ω? 12．方程)()()()1()(2

2t e dt t de dt

t r d t dt t r d +=++描述的系统是： A 。 （A ）线性时变系统； （B ）线性时不变系统； （C ）非线性时变系统；（D ）非线性时不变系统

13．如图所示周期为8的信号)(t f 中，下列对其含有的谐波分量的描述中最准确的是 D 。 A 只有直流、正弦项 B 只有直流、余弦项

C 只有奇次余弦项

D 只有偶次正弦项

14．信号()t Sa π100的奈奎斯特速率为 C 。

()A 1/50 Hz ()B 1/(100π) Hz ()C 1/100 Hz ()D 1/200 Hz

15．若信号()t f 不满足绝对可积条件，则其傅里叶变换 C 。 (A) 一定存在 (B) 一定不存在 (C) 可能存在，也可能不存在

二、简答题

1．设)(t f 的波形如图所示，试画出下列各信号的波形。

(1))42()(1-=t f t f ; (2) )41

21()(2-=t f t f ;

解：

2．求下图信号的傅里叶变换

解：)()]('[ωωSa e t f F j -=

)(2)

()]([ωπδω

ωω+-=j Sa e t f F j

3、求序列)1,0,1}(3,1,2{)(1-==k k f 和)3,2,1}(3,2,1{)(2=-=k k f 的卷积和 解： f1(k)={ 1, -2, 3}, f2(k)={2, 1, 3} 1，－2，3 2，1，3 2， －4，6 1 ，－2，3 3， －6，9

2，－3， 7， －3，9

(){2,3,7,3,9}k f k ==--

4．为了使信号无失真传输，那么对系统频率响应函数的幅频与相频特性提出什么样的要求？

答：无失真传输要求系统传输函数1）幅度与频率无关的常数K ，系统的通频带为无限宽；2）相位特性与|ω|成正比，是一条过原点的负斜率直线。

()?

??-==0)j (:t K H ωω?ω即

5．已知单边拉氏变换()()

2

221++=

-s e s F t

，求()s F 的原函数()t f ；

解： ()()()()()22222--+=---t e t t te t f t t εε 6．已知某序列的z 变换：5.0||2.0)

2.0)(5.0()(<<--=z z z z

z F ，求原序列f(k)

解：)2

.05.0(310)(---=

z z z z z F （＋2分） 极点0.5处于收敛区间外部，对应于左边序列：10

()[0.5(1)]3

k a f k k ε=--- （＋2分） 极点0.2处于收敛区间外部，对应于右边序列：10

()[0.2()]3

k b f k k ε=- （＋2分） 所以：

)](2.0)1(5.0[3

10

)(k k k f k k εε----=

（＋2分）

7．已知1()f t 和2()f t 的波形如下图所示，画出)()()(21t f t f t f *=的的波形图

t

解：

8f(-2t+1)的图形

9．求下述象函数()s F 的原函数的初值()+0f 和终值()∞f

()()2

13

2++=

s s s F

答案：()+0f =2，()∞f =0

t

10．求如图所示锯齿脉冲的傅立叶变换。

答案： ??

?

?????? ??-22c o s 2T Sa F A j

ωωω 11．已知差分方程为)()2(2)1()(k f k y k y k y =----，求单位序列响应)(k h 解：(1)求初始植

单位根据序列响应的定义，它应该满足方程

)()2(2)1()(k k h k h k h δ=---- ① 且初始状态0)2()1(=-=-h h 。将上式移项有

)()2(2)1()(k k h k h k h δ+-+-=

令1,0=k ，并考虑到0)1(,1)0(==δδ，可求得单位序列响应)(k h 的初始值

?

??

=+-+==+-+-=1)1()1(2)0()1(1)0()2(2)1()0(δδh h h h h h ②

（2）求)(k h

对于0>k ,由式 ①知，)(k h 满足齐次方程

0)2(2)1()(=----k h k h k h

其特征方程为：0)2)(1(22=-+=--λλλλ 特征根2,121=-=λλ，得方程的齐次解

12. 已知2

2

)2()(-=z z z F ，2||>z ，求)(z F 的原函数)(k f 。

解：因为)(z F 的收敛域为2||>z ，所以)(k f 为因果序列。对z

z F )

(进行部分分式展开，得

2

)2()2()(112122-+-=-=z K z K z z

z z F 求系数1112,K K 得：

2)()2(2

2

12=-==z z

z F z K 1])

([

)2(2

211='-==z z z F z K 于是得：

2

1

)2(2)(2-+-=z z z z F 2

)2(2)(2-+-=

z z

z z z F |z|>2

因此得 2

1)2()(2-?

-z z

k k k ε |z|>2

2

)(2-?

z z

k k ε |z|>2 所以 )(2)1()(2)(2)(k k k k k k f k k k εεε+=+=

三、计算题

1、系统的微分方程为)()(2)(t f t y t y =+'，求输入)()(t e t f t ε-=时的系统的响应。（用傅氏变换求解） 解：)()(2)(t f t y t y =+'

两边求傅氏变换，)()(2)(jw F jw Y jw jwY =+

H （jw ）=

2

1

)()(+=jw jw F jw Y )

1(1

)1()()()(++

+==-w j w jw F t e t f t πδε )

1(1

)1(21)()()(+++?+=

?=w j w jw jw H jw F jw Y f πδ 2、已知某离散系统的差分方程为

)1()()1(3)2(2+=++-+k e k y k y k y 其初始状态为5.1)1(,

0)0(==y y ，激励)()(k k e ε=；

(1) 画出该系统的模拟框图。 (2) 求该系统的单位函数响应)(k h 。

(3) 求系统的全响应)(k y ，并标出受迫响应分量、自然响应分量、瞬态响应分量和

稳态响应分量。

解：(1)(2) 1.5(1)0.5()0.5(1)y k y k y k e k +-++=+

（＋4分）

(2)132)(2+-=z z z z H ，5

.05.15.0)(2

+-=z z z z H 特征根为

1=0.5，

2=1

5

.01)(---=

z z z z z H （＋2分） h(k)= (1

0.5k )(k) （＋2分）

（3）求零状态响应：

Y zs (z)=H(z)E(z)=

2

2)

1(15.01132-+---=-?+-z z

z z z z z z z z z 零状态响应：y zs (k)= (0.5k +k

1)(k) （＋2分）

(0)0zs y =，(1)0.5zs y =

(0)(0)(0)z i z s y y y =-=

(1)(1)(1)1zi zs y y y =-=

（＋2分）

根据特征根，可以得到零输入响应的形式解： y zi (k)=(C 10.5k +C 2)(k)； 代入初始条件得C 1= 2，C 2=2 零输入响应：y zi (k)= (2

2 0.5k )(k)

（＋2分）

全响应：()()()(10.5)()k zi zs y t y k y k k k ε=+=+-（＋2分） 自由响应：(1 0.5k )(k)

受迫响应：k (k)，严格地说是混合响应。 （＋2分）

瞬态响应分量

0.5k

(k) 稳态响应分量(1+k)(k)

（对于()k ε，可以划归于自由响应，也可以划归于受迫响应。 ()k k ε可以归于稳态响应，或者明确指定为不稳定的分量但是不可以指定为暂态分量）

3、某LTI 系统的初始状态一定。已知当输入)()()(1t t f t f δ==时，系统的全响应

)(3)(1t u e t y t -=；当)()()(2t u t f t f ==时，系统的全响应)()1()(2t u e t y t -+=，当输入

)()(t tu t f =时，求系统的全响应。）

解：（用S 域分析方法求解）

由)()()()()()(s F s H s Y S Y s Y s Y x f x +=+= 由于初始状态一定，故零输入响应象函数不变

???

???

?

++=?+=+=+=1111)()()(1

3)()()(21s s s s H s Yx s Y s s H s Yx s Y 求解得：???

?

??

?

+=+=1

2)(1

1

)(s s Yx s s H 当输入)()(t tu t f =时，全响应

2

22

231113111112111121)()()(s s s s s s s s s s s s H s Y s Y x +++=+++++=?+++=?

+=

)()13()(3t t e t y t ε++=∴-

4、已知信号)(t f 的频谱)(ωj F 如图（a ），周期信号)(t p 如图（b ）,

试画出信号)()()(t p t f t y =的频谱图。

图a

ω

图b 解：3

()36G t Sa ππ

πω???

???

(+3分)

23

2()()*()()()36p t G t t P Sa ππππωδωδω??=?=

???

(+6分)

1

()()()*()2p t f t P F j ωωπ

?

(+6分)

5、已知离散系统的单位序列响应h(k)=2k ε(k)，系统输入f (k )=ε(k -1)。求系统的零状态响

应响应y f (k)。

解：系统输入f(k)的单边Z 变换为

1

11)]1([)(1-=-?

=-=-z z z z k Z z F ε 1||>z

系统函数为2

)](2[)]([)(-=

==z z

k Z k h Z z H k ε 2||>z 根据式(7.5-7),系统零状态响应的单边Z 变换为 2

21)2)(1()()()]([)(-+--=--===z z

z z z z z z F z H k y Z z Y f f 2||>z

于是得系统的零状态响应为

)()12()]([)(11k z Y Z k y k f f ε-==+-

6、已知线性连续系统的冲激响应)()(2t e t h t ε-=，输入)1()()(--=t t t f εε。求系统的零状态响应)(t y f 。 解：系统函数)(s H 为

=)(s H L 2

1

)]([+=

s t h 输入)(t f 的单边拉氏变换为

=)(s F L s

e t

f s

--=1)]([

)(t y f 的单边拉氏变换为 )

2(1)()()(+-==-s s e s F s H s Y s

f

=s e s s s s -+--+-)2

1

1(21)211(21

由线性性质和时移性质得

=)(t y f L )1(]1[2

1

)()1(21)]([)1(221----=----t e t e s Y t t f εε