(完整版)第一章行列式试题及答案
第一章 行列式试题及答案
一 选择题 (每小题3分，共30分)
⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )
(A) n (B) n /2 (C) 2n
(D) n (n -1)/2
⑵ 在函数()x
x x x x x f 21421
12---=中，x 3的系数是( )
(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4
⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )
(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2
⑷ 设
n
n λλλλλλN
O
21
2
1
=
，则n 不可取下面的值是( )
(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17
⑸ 下列行列式等于零的是( )
(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226
13-
⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例
(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1
11
22
2c bc
ac
bc b ab ac ab a ( )
(A) 1
000100
01222
+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222
+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a
(C) 101011122
22
2
+++++c bc bc b ac ab
c bc ac bc b ab ac ab
a
(D) 1
1122
2
bc ac bc ab ac
ab c bc ac bc b ab ac
ab a
+
⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02
22=+++c b a c b a b
a a c c
b 的充要条件是( )
(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0
⑼ 四阶行列式
=4
4
3
322
1
1
a b a b b a b a ( )
(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)
⑽ 齐次线性方程组???
??=-+=+-=-+03020
223
21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条
件是( )
(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1
二 填空 (每小题3分，共15分)
⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
⑵ 五阶行列式=6
200357020381002
300031000___________。
⑶ 设7
3
4
369
02
111
1875
1----=
D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。
⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100
a b b a 0。
⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1
32213
3
21
x x x x x x x x x __。
三 计算行列式 (每小题6分，共30分)
⑴ 0
1
1
2
2
1032101132
221
13
132
11----- ⑵
()()()()()()()()()()()()2
22
2
222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
⑶
y
y x x
-+-+11
1
1
111111111111 ⑷
a
c b
a c b
a c b
a c
b a ⑸ x
b
b b a x b b a a x b a a a x D n Λ
ΛM M O
M M Λ
Λ
=(a ≠b ) 四 证明题 (每小题10分，共20分)
⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n
⑵ 设平面上三条不同的直线为 000
=++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ，
证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a
五 解答题 (5分)
λ 和μ 取何值时，???
??=++=++=++0
200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？
参考答案
一、选择题
⑴ (D) ⑵ (A) ⑶ (C) ⑷ (A) ⑸ (D) ⑹ (D) ⑺ (C) ⑻ (B) ⑼ (B)； ⑽ (D) 二、填空题 ⑴ “-”
调换乘积中元素的位置，使行标成标准排列5341352412a a a a a ，此时列标排列的逆序数为t (24513)=5，故该项带负号。 ⑵ 42 4232
1
2
331)
1(6
2003570203810023000310003
2=??
-=?
⑶ -150
用5, 1, 0, 1替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有
5A 14+A 24+A 44=
1501
343090211
1
1575
1-=---
⑷ a =0, b =0
0)(10100
22=+-=--=---b a a
b b
a a
b b a a =0, b =0
⑸ 0
由题意知()()()0321=---x x x x x x k ，其中x 3的系数为k ，x 2的系数为)(321x x x k ++-，与原方程比较，得k =1，x 1+x 2+x 3=0。 将行列式的第2,3行加至第1行，并对第1行提取公因子，得
01
1
1)(1
32213321132213321=++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、计算题
⑴ 0
1
1
2
2
1032101132
2
7
51
031
1020
1
1
2
2
1032101132
22
1
13
132
114
24
1--------------r r r r
05
11322
7
513110112
2
113227513110
)1(53
45
4-------
+--------+r r 列展开
按第
51302713
1052112271310542
3---?------?-r r 行展开
按第
1705
133
151-=--?
列展开
按第
⑵ ()()()()()()()()()()()()2
2
222222
2222
2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a 5
232125232125
232125232122
2
2
2122334++++++++++++---d d d d
c c c c b b b b a a a a c c c c c c 02
21222122
212221222
22
2334=++++--d d c c b b a a c c c c ⑶
y y x x
-+-+11
1
1
1
11111111111y
y y x x x
r r r r ----111100
1
1
11004321
y
x xy
--1111
11001
11100
11
3,1行提取公因子
第
221
4110
1
1001
1
1100
11
y x y
x xy r r =---
⑷ 对n 阶行列式a
c
b a c
b a
c b a O O
O 按第一行展开，得递推公式 11---=n n n bcD aD D
于是有 abc a abc bc a a bcD aD D 2)(32123-=--=-= 2224232343)()2(c b bc a a bc a bc abc a a bcD aD D +-=---=-= 223534534c ab bc a a bcD aD D +-=-=
⑸ x
b
b b a x b b a
a x b
a a a x D n Λ
ΛM M O
M M Λ
Λ=)
(0
00a x a b b b a x
b b a a x b
a a a x -++++=Λ
ΛM M O M M Λ
Λ
)
(0
00a x b b b x
b b a x b
a a x a
b b b a x b b a
a x b
a a a x -+=Λ
ΛM M O
M M Λ
ΛΛ
ΛM M O M M ΛΛ
1)(1
11
1--+=n D a x b b b x b b a x b
a a x a Λ
Λ
M M O
M M Λ
Λ 1)(1
1
1
1)
1,,2,1(--+-------=-n n i D a x b x b a b x b a b a b x a
n i bc c M
M O
Λ
Λ
Λ 得递推公式11)()(---+-=n n n D a x b x a D ① D n 的转置行列式相当于将a ,b 互换，于是有
11)()(---+-=n n n D b x a x b D ②
因为a ≠b ，①?(x -b )-②?(x -a )，得
()()b
a a x
b b x a D n
n n ----=
四、证明题
⑴ 设n 元排列为i 1i 2…i n 。
当n =2时，最多只需1次对换即可得标准排列12，结论成立。 假设结论对n -1元排列成立，下面证明对n 元排列也成立 ① 若元素i n =n 。
根据归纳法假设，i 1i 2…i n -1可经过不超过n -1次对换变成12… (n -1)，亦即i 1i 2…i n -1i n 可经过不超过n -1次对换( 不妨设i k =n ，只需对换元素i k 和i n ，即得第①种情形，故i 1i 2…i n 可经过不超过n 次对换变成12…n ⑵ 必要性 设三条直线交于一点(x 0,y 0)，则x =x 0，y =y 0，z ＝1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解， ?? ? ??=++=++=++000 bz ay cx az cy bx cz by ax 故系数行列式0==b a c a c b c b a D 即 ))((222ca bc ab c b a c b a D ---++++-= ])()()[()(2 1 222a c c b b a c b a -+-+-?++-= 0= 由于三条直线不同，因此，a ,b ,c 不能全部相等，故0=++c b a 。 充分性 已知0=++c b a ，要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。 ?? ? ??-=+-=+-=+b ay cx a cy bx c by ax ① 将前两个方程相加，有 )()()(a c y c b x b a +-=+++ 由于0=++c b a ，得b ay cx -=--，即第三个方程。 因此，满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程)，去掉第三个方程，方程组①变为 ? ? ?-=+-=+a cy bx c by ax ② 其系数行列式22)(c a ac b ac c b b a D +-=-== ])([2 1 )(22222c a c a ac c a -++-=-+-= 显然D ≠0 [否则，a =c =0，并由此得b =- (a +c )=0，这与0=++c by ax 是直线方程矛盾] 因此，方程组②亦即方程组①有唯一解，三条直线交于一点。 五、解答题 齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即 0)1(1 11 0111 11211111 23=--=-=-=λμλμμμλμμλ r r D 故1=λ或0=μ时，方程组有非零解。 《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式 第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 = -0 10000200 0010 n n . 3．行列式 =--0 01) 1(2211)1(111 n n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221131211 ，则=---=32 323331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λλλ 111 1 11111 . 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 . 内容提要： 一、行列式的定义 1、2阶和3阶行列式 2112221122 21 1211a a a a a a a a D -== 31231232211333221133 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a --- 2、排列与逆序 定义 由n ,,3,2,1 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列． 3、n 阶行列式定义 定义 称∑ -== n n n p p p np p p p p p nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (2 1 22221 11211 )1(τ )det(ij a = 为n 阶行列式，记作D 或n D ．也记作)det(ij a ． 4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。 二、行列式的性质 性质1 D D ='． 性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零． 性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k ，等于用数k 乘以行列式． 推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零． 性质4 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21 21 1121121 21112112 1 2211112 11βββαααβαβαβα+=+++ 性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k 加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变． 三、行列式的展开定理 定义 在n D 中划掉ij a 所在的行和列（即第i 行和第j 列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1-n ）阶行列式，称为ij a 的余子式，记作ij M ． ij j i ij M A +-=)1( ——ij a 的代数余子式 定理1 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 行展开 或 ni ni i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 列展开 推论 02211=+++jn in j i j i A a A a A a （j i ≠） 或 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （j i ≠） 四、Cramer 规则 ?????? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* （1） 定理 当0≠D 时，方程组（1）有唯一解 D D x 11= ，D D x 22=，……，D D x n n =． 行列式及矩阵的计算（课堂练习） 、填空 1 ?已知三阶方阵A 的行列式为3,贝U 2A = -24 1 2 ,g(x) 0 1 3 .设， ,为3维列向量， 记矩阵 A ( , , ),B ( A 3, 则B 3 = ,,丨 6 1 1 1 4?行列式 1 1 x 的展开式中，X 的系数是 2 . 1 1 1 1 0 1 0 5.设A 则A k 。（k 为正整数）. 2 1 2k 1 7.已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1 , 3 , 别为3, 2, 1 , 1，则行列式D =二3 24 4 (1) 1 , 2, 3, 2 16m n 2.设A 则 g(A )= n ，则 1 , 2, 3,2 1 2 16m n 2, 2，它们对应的余子式分 (X ) 解：D = 1 X 3+ 3X(— 2) + (— 2)X 1 + 2X 1 = — 3 二、判断题 1. 设A 、B 均为n 阶方阵, |AB | [AB AB A|B. (V ) 二、行列式计算 3 3 3 3 4 3 3 4 (1) D n 3 3 4 3 3 3 3 4 3n 1 3 Cl C 2 3n 1 4 解: Ci C 3 D n 3n 1 3 G C n 3n 1 3 1 1 1 1 1 2 3 1 (2 D 1 4 9 1 1 8 27 1 2. 设A 、B 均为n 阶方阵, 解：（范得蒙行列式）=（— 3 3 3 1 =3n 1 1 0 0 0 1 3 3 3n 1 3 3 D n 0 「3 A 4 3 ——0 3 4 r n r 1 ax 1 X 2 X 3 2 五、 a 为何值时， 线性方程组： X 1 ax 2 X 3 2 有唯一解？ X 1 X 2 ax 3 3 a a 1 1 解: det A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 a 2且a 1时，有唯一解 1 1 a 1)=— 240 1 — 3) (— 1 + 2) (— 1— 1) (3+ 2) ( 3— 1) ( — 2— 第一部分 行列式作业 （一）选择题(15分) １．在5阶行列式展开式中，12335544i j a a a a a 是其中带有正号的一项，则,i j 之值为（ ） (A) 1,2i j == (B) 2,3i j == (C) 1,3i j == (D) 2,1i j == ２．在5阶行列式展开式中，包含1325,a a 并带有负号的项是（ ） (A) 1325344251a a a a a - (B) 1325314254a a a a a - (C) 1325324154a a a a a - (D) 1325314452a a a a a - ３．已知行列式11 121321 222331 3233a a a a a a m a a a =，则行列式2122 1331113212331 311211222 1323 222222a a a a a a a a a a a a a a a ---=+++（ ） (A)－４m (B)－２m (C)２m (D)４m ４．已知4101 1111 11111111 x D ---=----，则4D 中x 的系数是（ ） (A)4 (B)-4 (C)-1 (D)1 ５． 设方程组12312312 3112 x x x x x x x x x λλλ--=?? ++=??-++=? ，若方程组有惟一解，则λ的值应为（ ） (A)0 (B)1 (C)-1 (D)异于0与1±的数 （二）填空题(15分) １．排列(1)(2)321n n n -?-??? 的逆序数为 。 ２．排列12n a a a 与排列121n n a a a a - 的逆序数之和等于 。 ３．行列式D 中第2行元素的代数余子式之和21222324A A A A +++= ，其中 1111 1111 11111111 D -= --。 行列式习题答案 2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13， 5 -） （D ）（5,13--） 3 ． 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s 第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得 如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn 第一章 行列式试题及答案 一 选择题 (每小题3分，共30分) ⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( ) (A) n (B) n /2 (C) 2n (D) n (n -1)/2 ⑵ 在函数()x x x x x x f 21421 12---=中，x 3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 ⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1) n(n -1)/2 ⑷ 设 n n λλλλλλ 21 2 1 = ，则n 不可取下面的值是( ) (A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17 ⑸ 下列行列式等于零的是( ) (A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226 13- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1 11 222c bc ac bc b ab ac ab a ( ) (A) 1 000100 01222 +c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222 +++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (C) 101011122 22 2 +++++c bc bc b ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (D) 1 1122 2 bc ac bc ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a + ⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02 22=+++c b a c b a b a a c c b 的充要条件是( ) (A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2 =b 2 , c =0 ⑼ 四阶行列式 =4 4 3 322 1 1 a b a b b a b a ( ) (A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2) ⑽ 齐次线性方程组??? ??=-+=+-=-+03020 223 21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条 件是( ) (A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1 二 填空 (每小题3分，共15分) ⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。 ⑵ 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 ⑶ 设7 3 4 369 02 111 1875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 ⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 ⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1 32213 3 21 x x x x x x x x x __。 三 计算行列式 (每小题6分，共30分) ⑴ 0 112 2 1 032101132 2 2 1 13 1 3211----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2 22 2 2222 2222 2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ⑶ y y x x -+-+11 1 1 111111111111 ⑷ a c b a c b a c b a c b a ⑸ x b b b a x b b a a x b a a a x D n =(a ≠ b ) 四 证明题 (每小题10分，共20分) ⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n ⑵ 设平面上三条不同的直线为 000 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ， 证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a 行列式及矩阵的计算（课堂练习） 一、填空 1．已知三阶方阵A 的行列式为3，则 2A -= -24 2. 设12,01A -?? = ???1()32x g x x -= -+，则()g A =0800-?? ??? 3．设,,αβγ为3维列向量，记矩阵(,,),(,,)A B αβγαββγγα==+++，若 3,A B =则=,,,,6αβγ βγα+= 4.行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中,x 的系数是 2 . 5．设???? ??=1201A 则=k A 1021k ?? ??? 。（k 为正整数）. 6．设321,,ααα,21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式1123,,,m αααβ=， 1232,,,n αααβ=,则12312,,,2αααββ-=16m n + 解：11231232,,,2,,,D αααβαααβ=+- 14412312322,,,(1),,,16m n αααβαααβ=+-=+ 7. 已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分 别为3，-2，1，1，则行列式D =－3 . 解：D ＝1×3＋3×（－2）＋（－2）×1＋2×1＝－3 二、判断题 1．设A 、B 均为n 阶方阵，则A B A B =. （ × ） 2．设A 、B 均为n 阶方阵，则AB A B =. （√ ） 三、行列式计算 （1）4 3 3 3 34333 343 3334 Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛ=n D 解： n D n c c c c c c +++13121M 4 3 3 1 334313334133331 3Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++n n n n 1 1312r r r r r r n ---M 1 01000 0103 3313Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ+n =13+n （2）11111231 149118271 D --=-- 解：（范得蒙行列式）＝（－1－3）（－1＋2）（－1－1）（3＋2）（3－1）（－2－ 1）＝－240 五、a 为何值时，线性方程组：??? ??-=++=++=++a ax x x x ax x x x x a 322321 321321有唯一解？ 解：2 )1)(2(11111 1det -+==a a a a a A ，2-≠a 且1≠a 时，有唯一解. 第一章 行列式 （√）1．若11 12 13 2122 23313233a a a a a a d a a a =，则13 1211 23222133 32 31 a a a a a a d a a a =. 2.互换行列式的任意两行，行列式值不变. （ ） 3.排列631254的逆序数是6. （ ） 4.对角行列式的值等于其所有对角元素的乘积． （ ） 5.分块对角阵的行列式等于对角线上各方块行列式之积．（ ） 6.设A 为3阶方阵，2A =，则 12 T A A =__________. 7.逆序数()21n τ= _____________. 8.排列32514的逆序数是： ． 9.排列631254的逆序(631254)t = 8 . 10.设四阶行列式1 11 222 43334 4 4 p a b c p a b c D p a b c p a b c = ,则第四列的代数余子式之和 = 0 . 11.设3312243,0311A t B ?-?? ? =≠ ? ?-?? 且AB=0,则t = 3 . 12.设a 、b 为实数，则当a =＿_＿且b =＿_＿时，01 0000 =--a b b a 13.== 3 4 3 3 3 2 3 1 242322214 3211 111 x x x x x x x x x x x x D __________________________. 14.设D 为一个三阶行列式，第三行元素分别为-1，2,3，其余子式分别为1,2,1，则D ____________=. 15.设 211 111 401 D - = - ， ij A为D中元素 ij a的代数余子式，则 313233 A A A ++=_ ______. 16.sin cos cos sin αα αα - =_____________. 17.001 020 00 n = _____________. 18.设 211 111 401 D - = - ， ij A为D中元素 ij a的代数余子式，则 313233 A A A ++=_ ______. 19．若D是n阶行列式，下列说法中错误的是（）． .A D与T D相等； .B若D中有两行元素成比例，则D等于零； .C若D中第i行除()j i,元外都为零，则D等于()j i,元与它的代数余子式的乘积；.D D的某一行元素与另一行的对应元素的余子式乘积之和为零． 20.行列式349 571 214 -的元素 23 a的代数余子式 23 A为（） A. 3 B.3- C.5 D.5- 21．方程 1 110 12 λλ λ λ - =的实根个数为（） A. 0 B. 1 .C 2 .D 3 22． 23.计算行列式 2111 1211 1121 1112 D=； 1 311 131 113 D=； 2 111 135 1925 D=； 1 411 141 114 D=； 第一章 行列式习题 1. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。 （1(1)n c --） 2. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。 （(1)n c -） 3. 2 (1) (2,1,21,2,,1,)(21)0(23)012 2 k k N k k k k k k k k --+=-++-+++=+ ?。 4. 由行列式的定义计算行列式 41333123362 6 x x x x x x 展开式中4x 和3 x 的系数。 （3412, 12x x -） （分析：4 x 的系数：四个元素中必须全都包含x 。第一行只能取11a ，第三行只能取33a ，这样第二、四 行只能取22a 和44a ，则此项为(1234) 4 11223344(1) 4312N a a a a x x x x x -=???=。 3 x 的系数：(2134) (4231) 333 1221334441223314(1) (1)3912N N a a a a a a a a x x x -+-=--=-。） 5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式 17033159097510 959 的值，证明他是13的倍数。 证明： 1234 1701703170170341000131531593153159410021309709750979754103 10 9 5 10 9 5 9 10 9 5 10959 l c c l c c l c c l +?+?=? +?，能被13整除。 注意，以下两个行列式： 1703170370331593159159097597597510 9 5 910959 9 5 9 ≠ ，所以一定要加到最后一列上。 6. 设行列式3112523420111 3 3--= --D ，求11213141243A A A A +--及2123242-++M M M 。 （0和-5） 解：112131412 1124234243010113 3 3 A A A A -+--= =----。 第一章行列式目标测试题参考答案 一、填空题 1.设31 0112 1a b c =，则333524_______11 1 a b c ---=.（A: 1 ） 2. 如果,033 32 31 232221 131211 ≠==M a a a a a a a a a D 33 32 3131 23222121 13 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ------=，则=1D _______. （A: 3M ） 3. 已知D 为四阶行列式，且第3列元素分别为2,2,3,1-，它们的余子式分别为 1 ,1 , 2 ,3-，则D =_______.（A: 5 ） 4. =11 1 110110110111___________.（A: -3 ） 5. n 阶行列式=a b b a b a b a 0 0000 000 _____________.（A: n n n b a 1 ) 1(+-+ ） 6. 设行列式3040222207005 3 2 2 D = --，则D 的第4行元素余子式之和等于_____.（A: --28 ） 二、选择题 1.四阶行列式中含有因子32a 的项，共有（ C ）个. （A ）4； (B)2； (C)6； (D)8. 2．设nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 2222111211 1=，11 ,11 1,11 ,11,1,12a a a a a a a a a D n n n n n n n n n n n nn ------= ，则有( A ). (A) 21D D =， (B) 21D D -= ， 第一章行列式测试题 一、填空题 1.设31 01121a b c =，则333 524_______11 1 a b c ---=. 2. 设,03332 31 2322 21 13 1211 ≠==M a a a a a a a a a D 33 32 3131 2322212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ------=，则=1D . 3. 排列n n ??????-123)1(的逆序数为 . 4. 线性方程组 12120 40 x x x x λλ+=?? +=?有唯一解，则λ . 5.行列式0 154 2 3 f d a D ---=，则=T D . 二、选择题 1. 排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为 () A ． a - B ． 10a - C ． 10a - D ．2a -或a +2 2.已知 11 121311111212132122232121222223313233 31 313232334142434141 42 42 43 , ,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式 1112 1311122122232122313233313241 42 43 4142 a a a b b a a a b b a a a b b a a a b b ++=++ () A ． m n + B ． n m - C ． m n - D ． ()m n -+ 3. 四阶行列式 4 4 33221 1 00 000a b a b b a b a 的值为（ ） A.43214321b b b b a a a a - B.43214321b b b b a a a a + C.))((43432121b b a a b b a a -- D.))((41413232b b a a b b a a -- 第一章行列式作业 一、填空题 1、设行列式D=3332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 31312322212113 12 1111 252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） 2、 045 000002001 00-=（ ） 3、行列式600 300301398200199 204 100 103=__________. 4已知4阶行列式D 中第1行的元素分别为1，2，0，-1，第3行的元素的余子式依 次为5，x ，17，1，则x=__________. 5.已知,1 21112 3111211 )(x x x x x f -= 则3x 的系数=____________. 6.排列36715284的逆序数为（ ） 7.行列式=--2 22 2510 211 （ ） 8. 2009 2008 2007 200620052004 2003 20022001 =（ ） 二、选择题 1、若方程组???=-=+0x kx 0 x x 21 21有非零解，则k=（ ） A. -1 B. 0 C.1 D.2 2、设D= 3 465 312186427 931-， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ,则4443424132A A A A +++= （ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 3、设D = 3 4 653021864212 963， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ,则44424132A A A ++=（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 4.设D= 3 465 312186427 931-， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ,则44434241793A A A A +++-= （ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 三、计算题 1.计算下列行列式 （1） 6 741 212060311512 -----（2） 2111121111211112 （3）12341012311 01 2 5 D = ---（4） .0 1 1 2 12120112 110-----= D 2. 设D= 2 211765144334 321， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ，试求44434241A A A A ++与. 3. 设,3 142 3 1 3 150111253 ------= D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A , 求（1）14131211A A A A +++； （2）41312111M M M M +++. 《线性代数》第一章行列式测试卷 班级 学号 姓名 一、单项选择题（本大题共10 题，每小题2分，共20分） 1、下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2、如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3、 n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4、=0 0010 010********( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5、=0 0011 00000100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6、在函数10003232 111 12)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7、若21 3332 31232221 13 1211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 22212321 12 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8、若 a a a a a =22211211，则=21 1122 12ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9、已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10、若573411111 3263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题（本大题共4 题，每小题3分，共12分） 1、n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是 2、若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于 . 3、如果M a a a a a a a a a D ==3332 31232221 13 1211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311 133333 3a a a a a a a a a a a a D 4、已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的 新行列式的值为 三、计算题（本大题共9题，1-7题每小题6 分，8-9题 每小题8 分，共58 分） 1、解方程00 110 11101110=x x x x(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
第一章行列式练习题目及答案
第1章行列式自测题(答案)
第一章行列式与矩阵的计算的练习(含答案)
第一章行列式作业及答案
行列式习题答案
线性代数第1章行列式试卷及答案
线性代数第一章行列式试题及答案
第一章 行列式试题及答案
第一章行列式与矩阵计算练习(含答案)
线性代数第一章自测题
第一章 行列式 习题及答案
第一章行列式目标测试题(参考答案)
第一章行列式测试题
第一章行列式作业
《线性代数》第一章行列式测试卷