新初中数学一次函数难题汇编及解析

新初中数学一次函数难题汇编及解析

一、选择题

1．某班同学从学校出发去太阳岛春游，大部分同学乘坐大客车先出发，余下的同学乘坐小轿车20分钟后出发，沿同一路线行驶．大客车中途停车等候5分钟，小轿车赶上来之后，

大客车以原速度的10

7

继续行驶，小轿车保持速度不变．两车距学校的路程S（单位：km）

和大客车行驶的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的个数是（）

①学校到景点的路程为40km；

②小轿车的速度是1km/min；

③a＝15；

④当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要10分钟才能到达景点入口．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】

解：由图象可知，

学校到景点的路程为40km，故①正确，

小轿车的速度是：40÷（60﹣20）＝1km/min，故②正确，

a＝1×（35﹣20）＝15，故③正确，

大客车的速度为：15÷30＝0.5km/min，

当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要：（40﹣15）÷

10

(0.5)

7

﹣（40﹣15）÷1＝10分

钟才能达到景点入口，故④正确，

故选D．

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合

的思想解答．

2．平面直角坐标系中，点(0,0)O 、(2,0)A 、(,2)B b b -+，当45ABO ∠

C ．02b <<

D ．0b <或2b >

【答案】D 【解析】 【分析】

根据点B 的坐标特征得到点B 在直线y=-x+2上，由于直线y=-x+2与y 轴的交点Q 的坐标为（0，2），连结AQ ，以AQ 为直径作⊙P ，如图，易得∠AQO=45°，⊙P 与直线y=-x+2只有一个交点，根据圆外角的性质得到点B 在直线y=-x+2上（除Q 点外），有∠ABO 小于45°，所以b ＜0或b ＞2． 【详解】

解∵B 点坐标为（b ，-b+2）， ∴点B 在直线y=-x+2上，

直线y=-x+2与y 轴的交点Q 的坐标为（0，2），连结AQ ，以AQ 为直径作⊙P ，如图， ∵A （2，0）， ∴∠AQO=45°，

∴点B 在直线y=-x+2上（除Q 点外），有∠ABO 小于45°， ∴b 的取值范围为b ＜0或b ＞2． 故选D ．

【点睛】

本题考查了一函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数）的图

象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是（b

k

-

，0）；与y 轴的交点坐标是（0，b ）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b ．

3．函数

k

y

x

=与y kx k

=-（0

k≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.

【详解】

当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y轴于负半轴，y 随着x的增大而增大，A选项错误，C选项符合；

当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y 随着x的增大而增减小，B. D均错误，

故选：C.

【点睛】

此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.

4．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A出发向点B运动时，矩形CDOE的周长（）

A．逐渐变大B．不变

C．逐渐变小D．先变小后变大

【答案】B

【解析】

【分析】

根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C的坐标为(m，-m+4)(0

【详解】

解：设点C的坐标为(m，-m+4)(0＜m＜4)，

则CE=m，CD=-m+4，

∴C矩形CDOE=2(CE+CD)=8．

故选B ． 【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C 的坐标是解题的关键．

5．下列关于一次函数()0,0y kx b k b =+<>的说法，错误的是( ) A ．图象经过第一、二、四象限 B ．y 随x 的增大而减小 C ．图象与y 轴交于点()0,b D ．当b

x k

>-时，0y > 【答案】D 【解析】 【分析】

由k 0<，0b >可知图象经过第一、二、四象限；由k 0<，可得y 随x 的增大而减小；图象与y 轴的交点为()0,b ；当b

x k

>-时，0y <； 【详解】

∵()0,0y kx b k b =+<>， ∴图象经过第一、二、四象限， A 正确； ∵k 0<，

∴y 随x 的增大而减小， B 正确；

令0x =时，y b =， ∴图象与y 轴的交点为()0,b ， ∴C 正确； 令0y =时，b x k

=-， 当b

x k

>-

时，0y <； D 不正确； 故选：D ． 【点睛】

本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y kx b =+中，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．

6．在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于21k x k x b <+的不等式的解为（ ）．

A ．1x >-

B ．2x <-

C ．1x <-

D ．无法确定

【答案】C 【解析】 【分析】

求关于x 的不等式12k x b k x +>的解集就是求：能使函数1y k x b =+的图象在函数

2y k x =的上边的自变量的取值范围．

【详解】

解：能使函数1y k x b =+的图象在函数2y k x =的上边时的自变量的取值范围是1x <-． 故关于x 的不等式12k x b k x +>的解集为：1x <-． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数

y ax b =+的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确

定直线y kx b =+在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．

7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ．设运动的路程为x ，ADP ?的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意当03x ≤≤时，3y =，当35x <<时，()1315

35222

y x x =??-=-+，由此即可判断． 【详解】

由题意当03x ≤≤时，3y =， 当35x <<时，()1315

35222

y x x =??-=-+， 故选D ． 【点睛】

本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题．

8．如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为()()()()4,0,2,1,3,0,0,3A B C D ---，当过点B 的直线l 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分时，直线l 所表示的函数表达式为（ ）

A ．116

105

y x =

+ B ．21

33

y x =+ C ．1y x =+ D ．5342

y x =

+ 【答案】D 【解析】 【分析】

由已知点可求四边形ABCD 分成面积()11

3741422

B A

C y =

??+=??=；求出CD 的直线解析式为y=-x+3，设过B 的直线l 为y=kx+b ，并求出两条直线的交点，直线l 与x 轴的交

点坐标，根据面积有1125173121k k k k --????=?-?+ ? ?+????

，即可求k 。 【详解】

解：由()()()()4,0,2,1,3,0,0,3A B C D ---， ∴7,3AC DO ==，

∴四边形ABCD 分成面积()11

3741422

B A

C y =??+=??=， 可求C

D 的直线解析式为3y x =-+，

设过B 的直线l 为y kx b =+， 将点B 代入解析式得21y kx k =+-， ∴直线CD 与该直线的交点为4251,11k k k k --??

?++??

，

直线21y kx k =+-与x 轴的交点为12,0k k -??

???

， ∴1125173121k k k k --????

=?-?+ ? ?+????

， ∴5

4k =或0k =， ∴54

k =

， ∴直线解析式为5342

y x =+； 故选：D ． 【点睛】

本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．

9．已知过点()2?3，

-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限.设s a 2b =+，则s 的取值范围是（ ） A ．352

s -≤≤- B ．362

s -<≤-

C ．362

s -≤≤-

D ．372

s -<≤-

【答案】B 【解析】

试题分析：∵过点()2?3，-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限， ∴0

{0

23

a b a b <≤+=-.∴23b a =--.

∵s a 2b =+，∴4636s a a a =--=--. 由230b a =--≤得399333662222a a a ≥-

?-≤?--≤-=-，即32s ≤-. 由0a <得3036066a a ->?-->-=-，即6s >-. ∴s 的取值范围是362

s -<≤-. 故选B.

考点：1.一次函数图象与系数的关系；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.不等式的性质.

10．已知点(k ，b)为第二象限内的点，则一次函数y kx b =-+的图象大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知条件“点（k ，b ）为第二象限内的点”推知k 、b 的符号，由它们的符号可以得到一次函数y=-kx+b 的图象所经过的象限． 【详解】

解：∵点（k ，b ）为第二象限内的点， ∴k ＜0，b ＞0， ∴-k ＞0．

∴一次函数y=-kx+b 的图象经过第一、二、三象限，观察选项，D 选项符合题意． 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．

11．一次函数y 1＝kx+1﹣2k （k≠0）的图象记作G 1，一次函数y 2＝2x+3（﹣1＜x ＜2）的图象记作G 2，对于这两个图象，有以下几种说法： ①当G 1与G 2有公共点时，y 1随x 增大而减小； ②当G 1与G 2没有公共点时，y 1随x 增大而增大； ③当k ＝2时，G 1与G 2平行，且平行线之间的距离为．

下列选项中，描述准确的是（ ） A ．①②正确，③错误

B ．①③正确，②错误

C．②③正确，①错误D．①②③都正确

【答案】D

【解析】

【分析】

画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．

【详解】

解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，

N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点，

易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1），

直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确；

当G1与G2没有公共点时，分三种情况：

一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；

二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；

三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；

当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x 轴，可知，tan∠PNM＝2，

∴PM＝2PN，

由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2

∴（2PN）2+（PN）2＝9，

∴PN＝，

∴PM＝.

故③正确．

综上，故选：D．

【点睛】

本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大．

12．已知直线3y mx =+经过点(2,0)，则关于x 的不等式 30mx +>的解集是（ ） A ．2x > B ．2x <

C ．2x ≥

D ．2x ≤

【答案】B 【解析】 【分析】

求出m 的值，可得该一次函数y 随x 增大而减小，再根据与x 轴的交点坐标可得不等式解集． 【详解】

解：把(2,0)代入3y mx =+得：023m =+，

解得：3

2

m =-

， ∴一次函数3y mx =+中y 随x 增大而减小，

∵一次函数3y mx =+与x 轴的交点为(2,0)， ∴不等式 30mx +>的解集是：2x <， 故选：B ． 【点睛】

本题考查了待定系数法的应用，一次函数与不等式的关系，判断出函数的增减性是解题的关键．

13．已知直线y=2x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）

A ．1

2

＜k ＜1 B ．

1

3

＜k ＜1 C ．k ＞

12

D ．k ＞

13

【答案】A 【解析】 【分析】

由直线y=2x-1与y=x-k 可列方程组求交点坐标，再通过交点在第四象限可求k 的取值范

围． 【详解】

解：设交点坐标为（x ，y ）

根据题意可得 21

y x y x k =-??

=-? 解得 112x k

y k =-??=-?

∴交点坐标()112k,k -- ∵交点在第四象限，

∴10120k k -??-?

＞＜ ∴112

k ＜＜ 故选：D ． 【点睛】

本题考查了两条直线相交坐标问题，掌握平面直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键．

14．超市有A ，B 两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A 型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买A 型瓶x （个），所需总费用为y （元），则下列说法不一定成立的是（ ）

A ．购买

B 型瓶的个数是253x ??

-

??

?

为正整数时的值 B ．购买A 型瓶最多为6个

C ．y 与x 之间的函数关系式为30y x =+

D ．小张买瓶子的最少费用是28元

【答案】C 【解析】 【分析】

设购买A 型瓶x 个,B(2

53

x -)个,由题意列出算式解出个选项即可判断. 【详解】

设购买A 型瓶x 个，

∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油， ∴购买B 型瓶的个数是

1522

533

x x -=-, ∵瓶子的个数为自然数, ∴x=0时, 253x -

=5; x=3时, 253x -=3; x=6时, 2

53

x -=1; ∴购买B 型瓶的个数是(2

53

x -

)为正整数时的值，故A 成立; 由上可知，购买A 型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A 型瓶的个数最多为6，故B 成立;

设购买A型瓶x个，所需总费用为y元，则购买B型瓶的个数是(

2

5

3

x

-)个，

④当0≤x<3时，y=5x+6×(

2

5

3

x

-)=x+30，

∴k=1>0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元;

②当x≥3时，y=5x+6×(

2

5

3

x

-)-5=x+25，

∵.k=1>0随x的增大而增大，

∴当x=3时，y有最小值，最小值为28元;

综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元.

故C不成立，D成立

故选:C.

【点睛】

本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式.

15．一次函数 y = mx +1

m-的图像过点（0,2），且 y 随 x 的增大而增大，则 m 的值为（）

A．-1 B．3 C．1 D．- 1 或 3

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据函数的增减性判断出m的符号，再把点（0，2）代入求出m的值即可．

【详解】

∵一次函数y=mx+|m-1|中y随x的增大而增大，

∴m＞0．

∵一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），

∴当x=0时，|m-1|=2，解得m1=3，m2=-1＜0（舍去）．

故选B．

【点睛】

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

16．某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表：

则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】

通过（0，2）和（100，4）利用待定系数法求出一次函数的解析式，再对比图象中的折点即可选出答案. 【详解】

解：由题干内容可得，一次函数过点（0，2）和（100，4）.设一次函数解析式为y=k x +b ，代入点（0,2）和点（100,4）可解得，k=0.02，b=2.则一次函数解析式为y=0.02x +2.显然当y=7.5时，x =275，故选B. 【点睛】

此题主要考查函数的图象和性质，利用待定系数法求一次函数解析式．

17．函数()312y m x =+-中，y 随x 的增大而增大，则直线()12y m x =---经过( ) A ．第一、三、四象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、二、四象限 D ．第一、二、三象限

【答案】B 【解析】 【分析】

根据一次函数的增减性，可得310m +>；从而可得10m --<，据此判断直线

()12y m x =---经过的象限．

【详解】

解：Q 函数()312y m x =+-中，y 随x 的增大而增大，

310m ∴+>，则1

3

m >-

10m ∴--<，

∴直线()12y m x =---经过第二、三、四象限．

故选：B ．

【点睛】

本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．即一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，图象经过一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，图象经过二、四象限；当b ＞0时，此函数图象交y 轴于正半轴；当b ＜0时，此函数图象交y 轴于负半轴．

18．在平面直角坐标系中，直线:1m y x =+与y 轴交于点A ，如图所示，依次正方形1M ,正方形2M ，……，正方形n M ，且正方形的一条边在直线m 上，一个顶点x 轴上，则正方形n M 的面积是（ ）

A ．22

2

n -

B ．21

2

n -

C ．22n

D ．21

2

n +

【答案】B 【解析】 【分析】

由一次函数1y x =+，得出点A 的坐标为（0，1），求出正方形M 1的边长，即可求出正方形M 1的面积，同理求出正方形M 2的面积，即可推出正方形n M 的面积. 【详解】

一次函数1y x =+，令x=0，则y=1， ∴点A 的坐标为（0，1）， ∴OA=1，

∴正方形M 122112+=

∴正方形M 1的面积222=， ∴正方形M 1()()

2

2

222?=，

∴正方形M 2222222+=， ∴正方形M 2的面积=3222282==， 同理可得正方形M 3的面积=5322=， 则正方形n M 的面积是21

2n -，

故选B. 【点睛】

本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，发现题目中面积之间的关系，运用数形结合思想解答．

19．对于一次函数24y x =-+，下列结论正确的是（ ） A ．函数值随自变量的增大而增大 B ．函数的图象不经过第一象限

C ．函数的图象向下平移4个单位长度得2y x =-的图象

D ．函数的图象与x 轴的交点坐标是()0,4 【答案】C 【解析】 【分析】

根据一次函数的系数结合一次函数的性质，即可得知A 、B 选项不正确，代入y=0求出与之对应的x 值，即可得出D 不正确，根据平移的规律求得平移后的解析式，即可判断C 正确，此题得解． 【详解】

解：A 、∵k=-2＜0，

∴一次函数中y 随x 的增大而减小，故 A 不正确； B 、∵k=-2＜0，b=4＞0，

∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故B 不正确；

C 、根据平移的规律，函数的图象向下平移4个单位长度得到的函数解析式为y=-2x+4-4，即y=-2x ， 故C 正确；

D 、令y=-2x+4中y=0，则x=2，

∴一次函数的图象与x 轴的交点坐标是（2，0）故D 不正确． 故选：C ． 【点睛】

此题考查一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．

20．甲、乙两人一起步行到火车站，途中发现忘带火车票了，于是甲立刻原速返回，乙继续以原速步行前往火车站，甲取完火车票后乘出租车赶往火车站，途中与乙相遇，带上乙一同前往，结果比预计早到3分钟，他们与公司的路程y （米）与时间t （分）的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A ．他们步行的速度为每分钟80米；

B ．出租车的速度为每分320米；

C ．公司与火车站的距离为1600米；

D ．出租车与乙相遇时距车站400米.

【答案】D 【解析】 【分析】

根据图中一条函数的折返点的纵坐标是480，我们可得知，甲走了480米后才发现了没带票的，然后根据返回公司用时12分钟，速度不变，可以得出他的速度是80米/分钟，甲乙再次相遇时是16分钟，则可以得出相遇时，距离公司的距离是1280米，再根据比预计早到3分钟，即可求出各项数据，然后判别即可． 【详解】

解：根据题意，由图可知，甲走了480米后才发现了没带票，返回公司用时12分钟，行进过程中速度不变， 即：甲步行的速度为每分钟480

806

=米，乙步行的速度也为每分钟80米， 故A 正确；

又∵甲乙再次相遇时是16分钟， ∴16分乙共走了80161280?米， 由图可知，出租车的用时为16-12=4分钟， ∴出租车的速度为每分12804320?米，

故B 正确；

又∵相遇后，坐出租车去火车站比预计早到3分钟， 设公司与火车站的距离为x 米， 依题意得：

12380320

x x =++，解之得：1600x ， ∴公司与火车站的距离为1600米，出租车与乙相遇时距车站1600-1280=320米. 故C 正确，D 不正确． 故选：D ． 【点睛】

本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．要注意题中分段函数的意义．