数学二次根式练习题含答案
一、选择题
1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ）
A ．为任意实数
B ．0≤x≤5
C ．x≥5
D ．x≤5
2．下列各式中，运算正确的是（ ）
A 2=-
B 4=
C =
D ．2=3．下列各式计算正确的是（ ）
A =
B ．2=
C =
D =
4． ）
A B C D 5．下列式子中，是二次根式的是( )
A B C D ．x
6． ）
A ．－3
B ．3或－3
C ．9
D ．3 7．下列运算正确的是（ ）
A ．32-=﹣6
B 12-
C =±2
D ．=
8．1在3和4中x 的取值范围是1x ≥-；
③3；④5=-；⑤
1528->．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数 B ．1≤x ≤4 C ．x ≥1
D ． x ≤4 10．下列计算正确的是（ ）
A ．=
B C 3=
D 3=-
二、填空题
11．使函数212y x x =+有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 12．若m
m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．
13．已知()2117932x x x y ---+-=-，则2x ﹣18y 2＝_____． 14．把3
1a a -根号外的因式移入根号内，得________ 15．计算：11882--=_____________． 16．已知1＜x ＜2，171
x x +=-，则11x x ---的值是_____． 17．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：
若2的位置记为（2，3），7的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．
18．观察分析下列数据：0，36，-3，231532的规律得到第10个数据应是__________．
19．28n n 为________．
20．4x -x 的取值范围是_____
三、解答题
21．观察下列各式子，并回答下面问题．
211-222-233-244-
（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【答案】（12n n -，该式子一定是二次根式，理由见解析；（224015和16之间．理由见解析．
【分析】
（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断； （2）将16n =代入，得出第16240，再判断即可．
【详解】
解：（12n n -
该式子一定是二次根式，
因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式
（2
15=16=，
∴1516<<.
15和16之间．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．
22．先阅读下列解答过程，然后再解答：
,a b ，使a b m +=，ab n =，使得
22m +==
)a b ==>
7,12m n ==，由于437,4312+=?=，
即：227+=，=
2===+。
问题：
① __________=___________=；
② （请写出计算过程）
【答案】（112；（22.
【分析】
a 的形式化简后就可以得出结论
了．
【详解】
解：（1
=
1=
2；
（2
2
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
23．先化简，再求值：24211326x x x x -+??-÷ ?++??
，其中1x =.
.
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】 原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+????÷=?= ? ?+++--????
.
将1x =
= 【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
24．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：
当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有
22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有m
n 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；
（2
）填空：13-( - 2；
（3
）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.
【答案】（1）223a m n =+，2b mn =
；（2
）213--；（3）14a =或46.
【解析】
试题分析：
（1
）把等式)2
a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案； （2）由（1）中结论可得：2231324
a m n
b mn ?=+=?==? ，结合a b m n 、、、都为正整数可得：m=2
，n=1
，这样就可得到：213(1-=-；
（3
）将()2
a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.
试题解析：
（1
）∵2a n =+)
，
∴223a m n +=++，
∴2232a m n b mn =+=，；
（2）由（1）中结论可得：2231324a m n b mn ?=+=?==?
， ∵a b m n 、、、都为正整数，
∴12m n =??=?
或21m n =??=? ， ∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1
，
∴(2
131--；
（3
）∵222()52a m m n +=+=++
∴225a m n =+，62mn = ，
又∵a m n 、、为正整数，
∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，
∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =，
即a 的值为：46或14.
25．先化简，再求值：222
2212??----÷ ?-+??
x y x y x x x
xy y
，其中x y ==．
【答案】原式x y x
-=-
，把x y ==
代入得，原式1=-. 【详解】 试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析：
222
2212??----÷ ?-+??
x y x y x x x xy y ()()()2
22=x y x y x x x x x x y x y -??---? ?+-?? =y x x y x x y
---?+ x y x
-=-
把x y =
=代入得：
原式1==-+考点：分式的化简求值．
26．在一个边长为（
cm 的正方形的内部挖去一个长为（
）cm ，
cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．
【答案】
【解析】
试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．
试题解析：剩余部分的面积为：（
2﹣（
） =（
）﹣（
﹣
）
=（
cm 2）．
考点：二次根式的应用
27．已知
x2+2xy+y2的值.
【答案】16
【解析】
分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到
x2+2xy+y2=（x+y ）2，然后利用整体代入的方法计算．
本题解析：
∵x2 +2xy+y2 =(x+y)2，
∴当x=
∴
x2+2xy+y2=(x+y)2=(2?
=16.
28．（1
）计算
)(2201113-??--?- ??? （2）已知,,a b c
为实数且
2c =
2c ab -的值 【答案】（1）13
；（2）12-【分析】
（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可；
（2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可．
【详解】
（
1
）
)(2201113-??--?- ?
??
31=+?
=4+9
=13；
（2）根据二次根式有意义的条件可得：
∵()2303010a a b ?-≥??-≥??-+≥??
，
∴3a =，1b =-
，
∴2c =
∴(
()2223112c ab -=-?-=-
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可．
【详解】
x x
==-=-，
|5|5
∴5-x≥0，
解得：x≤5，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．B
解析：B
【分析】
=（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
【详解】
=，故原题计算错误；
A2
B=，故原题计算正确；
C=
D、2不能合并，故原题计算错误；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．
3．C
解析：C
【分析】
计算出各个选项中的正确结果，即可得到哪个选项是正确
【详解】
A错误；
∵2+B错误；
=，故选项C正确；
=
，故选项D错误.
2
故选C.
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．4．A
解析：A
【分析】
根据二次根式的性质把每一项都化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】
解：A＝
B
3
C不是同类二次根式，不合题意；
D
3
故选：A．
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
5．A
解析：A
【分析】
a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．
【详解】
解：A是二次根式，符合题意；
B
是三次根式，不合题意；
C、当x＜0
D、x属于整式，不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．
6．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
．
|3|3
故选：D．
【点睛】
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
＞
＜
?
?
===
?
?-
?
．
7．B
解析：B
【分析】
分别根据负整数指数幂的运算、立方根和算术平方根的定义及二次根式的乘法法则逐一计算可得．
【详解】
A、3
3
11
2
28
-==，此选项计算错误；
B
1
2
=-，此选项计算正确；
C
2
=，此选项计算错误；
D、
，此选项计算错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂、立方根和算术平方根及二次根式的乘法，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
答．
【详解】
解：①3104
<<，
415
∴<<，
故①错误；
x的取值范围是1
x≥-，故②正确；
9
=，9的平方根是3
±，故③错误；
④5
=，故④错误；
5
8
=
，(229<，
5
8
-<
5
8
<，故⑤错误；
综上所述：正确的有②，共1个，
故选：A．
本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．9．B
解析：B
【分析】
根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【详解】
原式可化简为|1-x|-|x-4|，
当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；
当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；
当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，
据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，
故选B．
【点睛】
本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
10．C
解析：C
【分析】
根据合并二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定．
【详解】
A、A错误；
B=B错误；
C3
=，故选项C正确；
=，故选项D错误；
D3
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
二、填空题
11．【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
根据题意，
解得：
①当时，
解得：
即：
①当时，
解得：
即：
故自变量x 的取值范围为
【点睛】 解析：11,022
x x -≤≤≠ 【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意，220x x +≠
解得：0,2x x ≠≠-
12||0x -≥
①当0x >时，120x -≥ 解得：12
x ≤ 即：102
x <≤ ①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-
即：102
x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -
≤≤≠
本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 12．4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】
m== m==+1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
解析：4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m，
m
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
= ）22017）+2015
=（2017+2015
﹣2
=4030.
故答案为4030.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
13．【分析】
直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】
解：∵一定有意义，
∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，
∴x﹣
解析：22
【分析】
直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】
一定有意义，
∴x ≥11，
|7﹣x ＝3y ﹣2，
﹣x +7+x ﹣9＝3y ﹣2，
＝3y ，
∴x ﹣11＝9y 2，
则2x ﹣18y 2＝2x ﹣2（x ﹣11）＝22．
故答案为：22．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
14．【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质
【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】 解：∵3
10a -
≥， ∴0a <，
∴a ===．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．
15．【解析】
【详解】
根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.
故答案为.
【点睛】
此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.
解析：
2
【解析】
【详解】
22
.
故答案为
2
.
【点睛】
此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.
16．-2
【详解】
∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，
即 =4，
又∵1＜x＜2,
∴=-2，
故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是
解析：-2
【详解】
∵x+1
1
x-=7，∴x-1+
1
1
x-
=6，∴（x-1）-2+
1
1
x-
=4，
即2
=4，
又∵1＜x＜2,
∴
，
故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.
17．（17,6）
【解析】
观察、分析这组数据可发现：第一个数是的积；第二个数是的积；第三个数是的积，的积.
∵这组数据中最大的数：，
∴是这组数据中的第102个数.
∵每一行排列了6个数，而
∴是第1
解析：（17,6）
【解析】
的积，.
∵
这组数据中最大的数： ∴
102个数.
∵每一行排列了6个数，而1026=17÷ ∴
17行第6个数，
∴这组数据中最大的一个数应记为（17，6）.
点睛：（1）这组数据组中的第n 2）该组数据是按从左到右，从小到
大，每行6个数进行排列的；（3）6n ÷6n ÷的余数是
所在的列数.
18．6
【分析】
通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．
【详解】
解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，
∴第13个答案为：．
故答案为6．
解析：6
【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．
【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，
31(1)32…1(1)3(1)n n ，
(1)3(131)6．
∴第13个答案为：131
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
19．7
【分析】
把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】
解:∵28=4×7，4是平方数，
∴若是整数，则n的最小正整数值为7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查了二次根式
解析：7
【分析】
把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】
解:∵28=4×7，4是平方数，
n的最小正整数值为7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．20．x≥4
【解析】
试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-
4≥0，解得x≥4.
故答案为x≥4.
点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然
解析：x≥4
【解析】
试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.
点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.
三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无