四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试数学(理)试题

石室中学高2021届2020-2021学年度上期入学考试

理科数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 2．i 为虚数单位， 512i

z i

=

+， 则z 的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+

3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生

B ．200号学生

C ．616号学生

D ．815号学生

4．函数2

()ln 1f x x x

=-+的零点所在的大致区间是（ ）

A ．(1,2)

B ．(2,)e

C ．(,3)e

D ．(3,)+∞

5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（ ）

A ．充要条件

B ．既不充分也不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．充分不必要条件

6 ．已知ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a =2b =，60A =?，则B 为（ ） A ．60°

B ．60°或120°

C ．30°

D ．30°或150°

7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（ ）

A ．22x x y -=-

B ．tan y x x =

C ．sin y x x =-

D ．1

2y x x

=

- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，

当

2MA MF

=AMF ?的面积为（ ）

A ．1

B 2

C ．2

D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ） A ．1000N P =

B ．41000N P =

C ．1000M P =

D ．41000

M

P = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（ ） A ．235x y z <<

B ．325y x z <<

C ．523z x y <<

D ．532z y x <<

11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A ．11π

B ．

143

π

C ．

283

π

D ．16π

12.已知a 为常数，函数()21

2e 1+2

x f x ax ax a =--+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下

列结论正确的是（ ）

A ．0a < B. 01a << C ．()15f x > D ．()23f x > 二、填空题（共4小题；共20分）

13.已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为

_______________

14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.

15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．

16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点E ，交棱

于点F ，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平

行四边形；

③平面与平面不可能垂直； ④四边形

.

其中所有正确结论的序号为_______

三、解答题（共6小题；共70分）

17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计

1111ABCD A B C D -1BD α1AA 1CC α1BFD E α1DBB 1BFD

E

的值：42

42

42

1

1

1

4620,3108,350350,i i i i i i i x y x y ======∑∑∑()422

116940,i i x x =∑-=()42

2

1

5250,

i i y y =∑-=其中,i i x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42i =，y 与x 的相关

系数0.82r =．

（Ⅰ）若不剔除,A B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ．试判断0r 与r 的大小关系（不必说理由）；

（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并估计如果B 考生参加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？

附：回归方程y a bx =+中, 1

12

2

2

1

1

()()=

()

n n

i

i

i i

i i n

n

i

i

i i x x y y x y nx y

a y bx x x x

n b x

====---=

=---∑∑∑∑，

18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数). （1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.

19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=?． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；

（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．

20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

，短轴长为

2，直线l 与椭圆有且只有一个公共点．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在以原点O 为圆心的圆满足：此圆与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），且OP ，OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．

21．已知函数()1

ln 1f x a x x

=+

-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数1

3

a =时，求()f x 在区间2,e e ????上的最值； （Ⅱ）设函数()()1x

g x e f x x

=+-在区间()0,a e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.

22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ?

??=??=-+?

为参数）．

（Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；

（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3

xOA π

αα∠=<<，B 为2C 上的一点，且3

AOB π

∠=，求AOB ?面积的最大值．

石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（理科）

13. y = 14.

3

15． (-∞，1)(0-?，1) 16.①②④

17.（Ⅰ）0r r <．......................4分

（Ⅱ）由题中数据可得：4242

11

11110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分

又因为，所以， ，所以，................10分 将代入，得81.5y =，

所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分

18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++

2()324f x x x '=++

(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =

∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分

（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03

a

x =-

>..................5分 ()()4242

1

1

4235035042110748470i i i i i i x x y y x y x y ==--=-?=-??=∑∑()

42

2

1

16940i i x x =-=∑()()

()

1

2

1

1698470

?00

.54n

i

i

i n

i i x x y y b

x x ==--==

=-∑∑740.511019a y bx =-=-?=0.519y x =+125x =

○1当24480a ?=-≤时，即0a -<，()0f x '>

()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分

○2当24480a ?=->时，即a <-，又 (0)40f '=>

令2

()3240f x x ax '=++=，则126a x -=，226

a x -=

当0x <<或x >()0f x '>；

x <<

()0f x '<；

()f x 在，)+∞上单调递增；

()f x 在22(66

a --上单调递减. .................12分

19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，

∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,

又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分

（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=?，∴DBF ?为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .

∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，………7分 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=?，∴∵DBF ?为等边三角形，∴

,DB EF

DB EF =

∴(()

(,3,0,3,0,2,0AF AD EF =-=-=设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则320AF n x EF n y ??=-+???==??

取1x =，得()1,0,1n =.设直线AD 与平面AEF 所成角为θ，………10分

6

,4

AD n AD n AD

n

?==

?分

20．解：（1，可得c e a

==， 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c =

则椭圆的方程为2

214

x y +=； …………4分

（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为225x y +=． 证明如下：假设存在符合条件的圆， 设此圆的方程为222(0)x y r r +=>，

当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，

由2244y kx m

x y =+??+=?可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，

所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分

由方程组222y kx m

x y r =+??+=?

可得2222(1)20k x kmx m r +++-=，

则△22222(2)4(14)()0km k m r =-+->，

设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-

+，22

122

1m r x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ， 所

以

222

22222222121212121222221212122

2()()()111m r km

k km m y y kx m kx m k x x km x x m m r k k k k k m r x x x x x x m r k --+++++++-++=====

--+ (9)

分

将2

2

14m k =+代入上式，可得2222122222(4)1(4)1

4(1)

r k r k k k m r k r -+-+==-+-，…………10分

要使12k k 为定值，则224141r r

-=-，即2

5r =，验证符合题意． 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值1

4

-，…………11分

当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为

1P ，2P 也满足1214

k k =-

， 综上可得当圆的方程为225x y +=时，直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值

1

4

-

．……12分

21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'23

3x f x x

-=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ????单增，…………2分

()123f e e =-，()22113

f e e =-，()()2f e f e <所以ln32

()(3)3min f x f -==，

2max 211

()()3

f x f e e ==

-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． ()11ln 1ln 1x

x g x e a x e a x x x ??

=+

-+-=-+ ???

0a x e -<<

则，令，，，

所以在上是单调增函数．

要使得在上存在极值，

则须满足即 所以，，即．…………8分

所以1

11

1ln 1ln 1a e a a a a a a a a

--+-->++

--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+

-，()'21

a g a a

-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，

所以．…………12分

22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φ

?φ=??

=-+?

为参数）．

可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．

所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分 （Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3

π

ρα-，

则12sin ρα=，24sin()3

π

ρα=--， …………6分

于是AOB ?的面积

()x x

a xe a g x e x x

-'=-=()x t x xe a =-()

0,a x e -∈()(1)0x

t x e x '=+>()t x ()

0,a

e -()g x ()

0,a

e -()()

00,

0,a t t e -???

0,0,a

a e a e e a -->????->??0a

a

e

e a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1

ln 10a a

+

-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+

12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+-

…………9分

当6

π

α=

时，S ．

所以AOB ?．…………10分