初中函数概念大全
函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
一次函数和正比例函数
1、一次函数的概念：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线
一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像是经过点（0，b ）的直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在y 轴上的截距)；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
3、斜率：
1
212tan x x y y k --=
=α
①直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:
1
11
21
2)()(tan y x x x x x y y b x b kx y +---=
+=+=α
③由直线在x 轴和y
④设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+
l 若12//l l ，则有1212//l l k k ?=且1b ⑤点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：
4寻求解题方法）
如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 则AB 间的距离，即线段AB
5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。
6、（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y 轴。
（2）当k>0时，图象过一、三象限，y 随x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）； （3）当k<0时，图象过二、四象限，y 随x 的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；
（4）当b>0时，与y 轴的交点（0，b ）在正半轴；当b<0时，与y 轴的交点(0,b)在负半轴。当b ＝0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线
（5）几条直线互相平行时 ，k 值相等而b 不相等。
反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数x
k y =
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1
-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成xy=k(k 是常数，k≠0)
反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k ，因为k 为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y 与x 成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由
x
y
=k (k≠0)，因为k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值。 2、反比例函数y=
x
k
(k≠0)的图象的画法 画图方法：描点法。 由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要
注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。 特点：y=
x
k
=kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴ y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近x 轴、y 轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。
4、反比例函数解析式的确定
确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数x
k
y =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何的意义
如下图，过反比例函数)0(≠=
k x
k
y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ?PN=xy x y =?k S k xy x
k
y ==∴=,, 二次函数
1、二次函数的概念：一般地，如果)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-
=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像
4.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
??
? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-= （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线
h x =.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线
上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：12
2
x x x +=
5.抛物线c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小①当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0 （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2- =， 故：①0=b 时，对称轴为y 轴； ② 0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③ 0 b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0 0 b . 6、二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02 =++c bx ax 有实根1x 和2x 存在 时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式 ))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。几种特殊的二次函数的图像特征如下： 7、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2-=时，a b ac y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2- 是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围 内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=12 1最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22 2最小。 8、二次函数的图象 9. 抛物线的交点 （1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点：二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方 程02 =++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式 ac 4b 2-=?判定： ①有两个交点 ?(0>?)?抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?(0=?)?抛物线与x 轴相切； ③没有交点 ?(0 同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐 标是k c bx ax =++2 的两个实数根. （4）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 ?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. 反比例函数()0k y k x =≠的图像与二次函数 ()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，由方程组 2k y x y ax bx c ?=? ? ?=++? 的解来确定。 （5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为()()0021，，， x B x A ，由于1x 、2x 是方程02 =++c bx ax 的两个根，故a c x x a b x x =?-=+2121, 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＞0； 第二象限：（-，+） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＞0； 第三象限：（-，-） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＜0； 第四象限：（+，-） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＜0； 3、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 4、点P （x,y ）的几何意义： 点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|， 点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。 点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x + 5、两点之间的距离： 已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=2 12212)()(y y x x -+- 6、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 2 1 2y y +) 7、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 教学目标：通过本节课的学习让学生知道什么是常量和变量， 明确函数的概 念，掌握求 借函数定义 域和函数值 域 重 难 考点分析：函数的概念这一小节内容是第十八章的基础内容， 函数、反比例函数做铺垫。在以后不管是期中、期末考试还是中考经常 以选择题、 填空题的形式出现，让学生求函数的定义域或值域。 所以，学生要认真对待本节 课。 教学内容 函数的概念 知识回顾 平面直角坐标系： 1、 在图中描出下列各点： E (3,2 )， F (- 1, - 3)， G (0,1 )， H (- 2,0 ) 2、 平面直角坐标系中①不同位置点的特征： x 轴上的点 __________ 标为零； y 轴上的点 __________ 标为零； 第二象限的点，横坐标为 _______ ，纵坐标为 _______ ; ②对称点的坐标的特征：关于x 轴对称的两个点的__相同， 相反；关于原点对称的两 个点的横坐标 __________________________________________ ，纵坐标 1、授课内容 探究过程： 问题1:某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请思考：在整个的售米过程中 出现了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？ 知识点1：常量与变量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；在某一变化过 程中，始终 保持不变的量叫做常量。 点拨：变量和常量最大的区别在于表示量的数值变还是不变，此外， 还要注意， 区分变量和常量，要结合具体问题进行具体分析，如在火车行驶的问 题上，火车在启动阶段，点：函数概念，函数的定义域和值域 点：函数概念，函数的定义域和值域 为以后学习正比例 中考数学知识点 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. (1,2). 6．抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 人教版八年级数学上册《函数》教案 ] 教学目标 1．知识与技能 了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系． 2．过程与方法 经历探索函数概念的过程，感受函数的模型思想． 3．情感、态度与价值观 培养观察、交流、分析的思想意识，体会函数的实际应用价值． 重、难点与关键 1．重点：认识函数的概念． 2．难点：对函数中自变量取值范围的确定． 3．关键：从实际出发，由具体到抽象，建立函数的模型． 教学方法 采用“情境──探究”的方法，让学生从具体的情境中提升函数的思想方法． 教学过程 一、回顾交流，聚焦问题 1．变量（P94）中5个思考题． 【教师提问】 同学们通过学习“变量”这一节内容，对常量和变量有了一定的认识，请同学们举出一些现实生活中变化的实例，指出其中的常量与变量． 【学生活动】思考问题，踊跃发言．（先归纳出5个思考题的关系式，再举例） 【教师活动】激发兴趣，鼓励学生联想， 2．在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以挖地用T=10-来表示（如图），请你根据这个关系式回答下列问题： （1）指出这个关系式中的变量和常量． （2）填写下表． 高度d/m 0 ，200，400，600，800，1000 温度T/℃ （3）观察两个变量之间的联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就______． 3．课本P7“观察”． 【学生活动】四人小组互动交流，踊跃发言 二、讨论交流，形成概念 【函数定义】 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 【教师活动】归纳出函数的定义．强调在上述活动中的关系式是函数关系式．提问学生，两个变量中哪个是自变量呢？哪个是这个自变量的函数？ 【学生活动】辨析理解，如：T=10-这个函数关系式中，d是自变量，T是d的函数等．弄清函数定义中的问题。 三、继续探究，感知轻重 考点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时， （a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>? y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=? y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上，y 0=?x 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y ?轴上x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于 x （3）点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x + 考点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 ：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 初中所有函数知识点总结 1、一次函数 2、二次函数 3、反比例函数 4、正比例函数 1、正比例函数的求法 形如y=kx(k为常数，且k不等于0），y就叫做x的正比例函数. 图象做法:1.带定系数2.描点 3.连线 图象是一条直线,一定经过坐标轴的原点 性质:当k>0时,图象经过一,三象限,y随x的增大而增大 当k<0时,图象经过二,四象限,y随x的增大而减小 形如y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2、反比例函数求法 反比例函数的图像为双曲线。它可以无限地接近坐标轴,但永不相交. 性质:当k>0时,图象在一,三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小, 当k<0时,图象在二,四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大 形如y=kx+b(k为常数，且k不等于0），y就叫做x的正比例函数。 3、一次函数求法 正比例函数过原点(0,0)，属于一次函数 k>0,b>O,则图象过1,2,3象限 k>0,b<0,则图象过1,3,4象限 k<0,b>0,则图象过1,2,4象限 k<0,b<0,则图象过2,3,4象限 4、二次函数求法 二次函数：y=ax^2+bx+c （a,b,c是常数，且a不等于0） a>0开口向上 a<0开口向下 a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧 |x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a| 与y轴交点为(0,c) b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根 b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根 b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根 对称轴x=-b/2a 顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减 函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减 当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大. 三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方a2+b2=c2。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大，cotα随α的增大而减小。 三角函数公式 正弦（sin）:角α的对边比上斜边 余弦（cos）:角α的邻边比上斜边 正切（tan）:角α的对边 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 初中一次函数知识点总 结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一次函数知识点总结 知识点： 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s 中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1 x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数 的有（） （A）4个（B）3个（C）2个（D）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) （一）平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＞0； 第二象限：（-，+） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＞0； 第三象限：（-，-） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＜0； 第四象限：（+，-） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＜0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P （x,y ）的几何意义： 点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|， 点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。 点P （x,y ）到坐标原点的距离为 22y x + 8、两点之间的距离： X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -= 已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+- 9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点 则：M=(212x x + , 2 12y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 （二）函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像 初中函数的概念教案 【篇一：初中函数的概念教案】 教师组织学生在课堂上展示自己的调查成果，相互交流看法，看是否能用列表或图像等方法呈现，及不同的特点。并找出因变量与自变量，联系旧知设计意图：设计意图是让学生了解家乡的事，了解身边事，在主动求知中扫去部分障碍为进一步理解加沟底座，培养良好的学习习惯，并同时拓展学习渠道教师应让学生自主探索出两个变量并找出因变量与自变量及两者之间的因果关系。 为了加深对图像的图表的比较与理解可提出如下问题：如果你准备在你的高度为35米时拍照片，从相机位置到麽天轮用10秒时你应设计多长时间的相机快门等待时间。 建议在此渗透有特殊到一般的归纳法的思想。 通过例题学生思考讨论交流同时总结规律体会自变量与因变量之间的关系，同时总结出上述立体都有两个变量，给定其中一个变量（自变量）的值，相应地就确定另一个变量（因变量）的值。 学生分组讨论抢答，并说明理由。 鼓励学生通过独立思考与交流,寻找解决问题的方法,获得数学活动经验。学生从自身实际出发，总结出任何一点，教师都应加以鼓励。 在定义中，首先必须明确变化的主动权在x，而y是x被所唯一确定的，处于被动地位,因此x是自变量,y是因变量.。对函数概念的了解，要控制难度不应提出过高的要求。 判断题目的在于是学生加深对函数的理解，其中（1）、（4）根据情况处理、（6）应重点启发学生理解。 老师注意引导学生联系旧知，学生交流列出函数关系式强调学生的独立思考关注学生的推理过程和有条理的表达能力关注学生书写的正确性关注学生是否积极回答问题，对于部分学生要适当鼓励让学生进一步感受从特殊到一般的过程和函数思想让学生在思考的基础上，充分发表各自的意见教师要尽可能是学生对课本的知识结构有一个清晰的认识，对课本所用的思想方法有一个明确地了解。 注重分层次教学，培养尖子生 【篇二：初中函数的概念教案】 知识点1函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 一次函数和正比例函数 1、一次函数的概念：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像是经过点（0，b ）的直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在y 轴上的截距)；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。 3、斜率： 1 21 2tan x x y y k --==α ①直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: 1 11 21 2)()(tan y x x x x x y y b x b kx y +---= +=+=α ③由直线在x 轴和y ④设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：2 y k x =+若12//l l ，则有1212//l l k k ?=且12b b ≠。 ⑤点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离 4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用寻求解题方法） 一、一次函数 1、一次函数的定义： 一般地，形如b =（k，b是常数，且0 kx y+ k）的函数，叫做一次函数。 ≠ 2、正比例函数定义： 一般地，形如） k y的函数叫做正比例函数，其中k叫做 kx =k ≠ 是常数， （0 比例系数。 3、一次函数图像： 4、正比例函数与一次函数之间的关系： 一次函数b y=平移|b| =的图象是一条直线，它可以看作是由直线kx y+ kx 个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 5、正比例函数和一次函数及性质： 6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 二、反比例函数 1、反比例函数的定义： 一般地，形如x k y = （k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： 反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③（定值）（0k ≠）；k y x =? 注：函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反 比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 2、反比例函数的性质： 关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 Ⅱ 欧 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 一次函数和正比例函数 1、一次函数的概念：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常 数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像是经过点（0，b ）的直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在y 数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。 3、斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α ①直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0)③由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距 式：1=+b y a x ④设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+2l ： 22y k x b =+若 若12//l l ，则有1212//l l k k ?=且12b b ≠。 函数及其图像 一、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-) 2、坐标轴上的点的特征 在x 轴上纵坐标为0 , 在y 轴上横坐标为, 原点坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）到x 轴的距离等于y （2）到y 轴的距离等于x （3）到原点的距离等于2 2y x + 三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图像法 3、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线 4、自变量取值范围 四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。 初中函数知识点总结 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 一.正比例函数的性质 1.定义域：R（实数集） 2.值域：R（实数集） 3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k>0时，图像位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图像位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减） 5.周期性：不是周期函数。 6.对称轴：直线，无对称轴。、 二.一次函数图像和性质 一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，且k≠0?）的函数，?叫做一次函数（?linear function）．一次函数的定义域是一切实数. 当b=0时，y=kx+b即y=kx（k是常数，且k≠0?）．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 当k=0时，y等于一个常数，这个常数用c来表示，一般地，我们把函数y=c（c是常数）叫做常值函数（constant function）它的定义域由所讨论的问题确定． 一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式. 一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线y=kx+b(k0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k0)的截距是b. 一次函数的图像： k>0 b>0 函数经过一、三、二象限 k>0 b<0 函数经过一、二、三象限 k<0 b>0 函数经过一、二、四象限 k<0 b<0 函数经过二 、三、四象限 上面性质反之也成立 1．b 的作用 在坐标平面上画直线y=kx+b (k≠0)，截距b 相同的直线经过同一点(0,b). 2．k 的作用 k 值不同，则直线相对于x 轴正方向的倾斜程度不同. (1)k>0时，K 值越大，倾斜角越大 (2)k<0时，K 值越大，倾斜角越大 说明 （1） 倾斜角是指直线与x 轴正方向的夹角； （2）常数k 称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论. 3．直线平移 一般地，一次函数y=kx+b(b0)的图像可由正比例函数y=kx 的图像平移得到.当b>0时，向上平移b 个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位. 4．直线平行 如果k1=k2 ,b1b2，那么直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行. 如果直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，那么k1=k2 ,b1b2 . 1．一次函数与一元一次方程的关系 一次函数 y=kx+b 的图像与x 轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解；反之，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数 y=kx+b 的图像与x 轴交点的横坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想. 2．一次函数与一元一次不等式的关系 由一次函数 y=kx+b 的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）.在一次函数 y=kx+b 的图像上且位于x 轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解. 三.二次函数图像及其性质 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系： ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0 x - x = 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y ，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 一次函数和正比例函数 1、一次函数的概念：一般地，如果 y = kx + b （k ，b 是常数，k ≠ 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数 y = kx + b 中的 b 为 0 时， y = kx （k 为常数，k ≠ 0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 一次函数 y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像是经过点（0，b ）的直线(b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在 y 轴上 的截距)；正比例函数 y = kx 的图像是经过原点（0，0）的直线。 3、斜率： y - y k = tan α = 2 1 x - x 2 1 y P(x 0 y 0) d A(x 1, y 1) y=kx+b ①直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) B(x 2, y 2) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: α y = kx + b = (tan α ) x + b = y 2 - y 1 x ( x - x ) + y 1 1 2 1 ③由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式： a x y + = 1 a b b 0 x ④设两条直线分别为，l ： y = k x + b l ： y = k x + b 若 1 1 1 2 2 2 若 l // l ，则有 l // l ? k = k 且 b ≠ b 。 1 2 1 2 1 2 1 2 ⑤点 P （x 0，y 0）到直线 y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d = l ⊥ l ? k ? k = - 1 1 2 1 2 kx - y + b kx - y + b 0 0 0 0 k 2 + (-1) 2 k 2 + 1 Y A 4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用 此方法拓展思路，以 寻求解题方法） 如图：点 A 坐标为（x 1，y 1）点 B 坐标为（x 2，y 2） B X 则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 (x 1 - x 2 )2 + (y 1 - y 2 )2初中数学函数知识点归纳(1)
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