专题6：概率与统计(理)高三复习经典教案含答案

专题六：概率与统计

【一、基础知识归类：】

1、概率（范围）：0≤P(A) ≤1（必然事件：P(A)=1，不可能事件：P(A)=0）

2、互斥事件有一个发生的概率：A 、B 互斥： P(A ＋B)=P(A)＋P(B)；A 、B 对立：P(A)＋P(B)＝１

3、抽样方法（等概率

N

n

抽样）：（1）简单随机抽样、系统抽样（等距抽样）、分层抽样（等比例抽样）． 4、频率分布直方图：组的=f 频率N n （频数和样本容量的比）；小长方形面积=组距×组距

频率=频率，（面积和为1）；

频率分布折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图；

5、回归直线bx a y

+=?，过定点),(y x P ． 6、独立性检验（分类变量关系）：随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱． 7、排列、组合和二项式定理

（1）排列数公式:m

n A =n (n -1)(n -2)…(n -m ＋1)=)!(!

m n n -(m ≤n ,m 、n ∈N *), 当m =n 时为全排列：n

n A =n (n -1)(n -2)…3.2.1=n ！;

（2）组合数公式：1

23)2()1()1()1(!?????-?-?--???-?==m m m m n n n m A C m

n m n

（m ≤n ）,10==n n n C C ； （3）组合数性质：m n m n m n m n n m

n

C C C C C 11;+--=+=；

（4）二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n

n n k k n k n n n n n n ①通项：);

,...,2,1,0(1n r b a C T r

r n r n r ==-+

②注意二项式系数与系数的区别；

（5）二项式系数的性质： ①与首末两端等距离的二项式系数相等； ②若n 为偶数，中间一项(第2

n ＋1项)二项式系数最大；n 为奇数，中间两项(第21+n 和21

+n ＋1

项)二项式系数最大；

③;2

;21

3

1

2

2

1

-=???++=???++=+???+++n n n n n n

n

n n n n C C C C C C C C

（6）求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法． 8、随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：P i ≥0,i=1,2,...； P 1+P 2+ (1)

②离散型随机变量：

期望：E 1 1 2 2 n n 方差：D X ＝???+-+???+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2

22

212

1)()()( ； 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2

)(;)(=++=+；

③二项分布（独立重复试验）：若X ～B （n ,p ）,则EX ＝np , DX ＝np (1- p )；

注：k n k

k n p p C k X P --==)1()(．

9、条件概率：称)

()

()|(A P AB P A B P =

为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率． 注：①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)． 10、独立事件同时发生的概率：P （AB ）=P （A ）P （B ）． 11、正态总体2(,)N μσ的概率密度函数：,

,21)(2

22)(R x e

x f x ∈=

--

σμσ

π

（1）式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； （2）正态曲线的性质：

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；

②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值

π

σ21

；

④曲线与x 轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线随μ值的变化沿x 轴平移；

⑥当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散．

注：P )(σμσμ+≤<-x =0.6826；P )22(σμσμ+≤<-x =0.9544； P )33(σμσμ+≤<-x =0.9974．

【二、专题练习：】

一、选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）

1．（北京市崇文区2008年高三统一练习）某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有（ ） A ．15种

B ．12种

C ．9种

D ．6种

2．（四川省成都市新都一中高2008级12月月考）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ） A 、56个

B 、57个

C 、58个

D 、60个

3．某班有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数为（ ） (A)35

(B)70

(C)210

(D)105

4．从6人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项,其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案种数共有( )

(A)96种 (B)180种 (C)240种 (D)288种

5．某服装加工厂某月生产A 、B 、C 三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 （ ） A ．80

B ． 800

C ．90

D ．900

6．（高州市大井中学2011高三上期末考试）六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是

（ ）

A ．

130 B ．

110

C ．140

D ．120

7．（2011·汕头期末）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生

产能耗y (吨)的几组对应数据：

根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中t 的值为（ ） A. 3 B. 3.15 C. 3.5

D. 4.5

8．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)

0.9

P X μσμσ-<≤+=， ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<= （ ）

A ．0.1358

B ．0.1359

C ．0.2716

D ．0.2718

9．（2009届高考数学二轮冲刺专题测试）若二项式213n

x x ??- ??

?的展开式中各项系数的和是512，则展开式

中的常数项为 （ ） A ．3

927C - B 3

927C C ．499C -

D ．94

9

C

10．（2011福州期末）如图所示，正方形的四个顶点分别为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C ，曲线2

y x =经过点B ．现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是 （ ）

A ．

1

2

B ．

14 C ．13

D ．25

11．（2010届·安徽省合肥高三四模（理））从足够多的四种颜色的灯 泡中任选六个安置在如右图的6个顶点处，则相邻顶点处灯泡颜色 不同的概率为 （ ） A ．

64228 B ．64240 C ．64264 D ．6

4288

12．（2011锦州期末）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22?列联表计算得2 3.918χ≈，经查对临界值表知2( 3.841)0.05P χ≥≈． 对此，四名同学做出了以下的判断：

p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒

r ：这种血清预防感冒的有效率为95%

s ：这种血清预防感冒的有效率为5%

则下列结论中，正确结论的序号是（ ） ①p q ∧?；

②p q ?∧；

③()()p q r s ?∧?∧∨；

④()()p r q s ∨?∧?∨

（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）都不对 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）

13．（2009杭州学军中学第七次月考）在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 ．

14．（2011巢湖一检）已知随机变量2~(2,)N ξσ，若3

(1)4

P ξ>-=

，则(5)P ξ>= ． 15．（2011嘉禾一中）从颜色不同的5 个球中任取4 个放入3 个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的方法总数为____________．（用数字作答）

16．（2009届福建省福鼎一中高三理科）若2005

220050122005 (12)

()x a a x a x a x x R -=++++∈，则

010********...()()()()a a a a a a a a

++++++++=

____．（用数字作答）

三、解答题（共6个小题，总分74分）

17．（2011汕头期末）四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ；

2

413

1452[185,190)

[180,185)

[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数

身高（cm ）

（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．

18．（江门2011高三上期末调研测试）甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分． （1）求x ；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？

（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE ．

19．（揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2． 表1:男生身高频数分布表

身高（cm ）

频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)

[155,160)[160,165)171263

1

男生样本频率分布直方图

频率/cm

表2:女生身高频数分布表

（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；

（2）估计该校学生身高（单位：cm ）在[165,180)的概率； （3）在男生样本中，从身高（单位：cm ）在[180,190)

的男生中任选3人，设ξ表示所选3人中身高（单

位：cm ）在[180,185)的人数，求ξ的分布列和数学期望．

20．（2011东莞期末）为了调查老年人的身体状况，某老年活动中心对80位男性老年人和100位女性老年人在一次慢跑后的心率水平作了记录，记录结果如下列两个表格所示， 表1：80位男性老年人的心率水平的频数分布表（单位：次/分钟）

表2：100位女性老年人的心率水平的频数分布表（单位：次/分钟）

（1）从100位女性老人中任抽取两位作进一步的检查，求抽到的两位老人心率水平都在[100,110)内的概率；

（2）根据表2，完成下面的频率分布直方图，并由此估计这100女性老人心率水平的中位数；

（3）完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“这180位老人的心率水平是否低于100与性别有关”. 表3：

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

21．全球金融危机，波及中国股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”，若四人商定在圈定的6只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）． （1）求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一只股票的概率；

（2）求甲、乙、丙、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率；

（3）由于中国政府采取了积极的应对措施，股市渐趋“回暖”.若某人今天按上一交易日的收盘价20元/股，

女性老年人心率水平频率分布直方图

00.01

0.020.030.040.050.06

买入某只股票1000股，且预计今天收盘时，该只股票比上一交易日的收盘价上涨10%（涨停）的概率为0.6持平的概率为0.2，否则将下跌10%（跌停）,求此人今天获利的数学期望（不考虑佣金、印花税等交易费用）．

22．（2011苏北四市二调）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1

,,2

a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ． （1）求ξ的分布列及数学期望；

（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围．

参考答案

一、选择题 1．答案：D

2．解析：万位为3的共计A44＝24个均满足；万位为2，千位为3，4，5的除去23145外都满足，共3×A33－1＝17个；万位为4，千位为1，2，3的除去43521外都满足，共3×A33－1＝17个；以上共计24＋17＋17＝58个，答案：C

3．【解析】选B.从7人中选出3人,有种方法,3人相互调整座位,共有2种调整方案,故总的调整方案种数

为×2=70(种).

4．C

5．【解析】选B.因为分层抽样是按比抽取，由B 产品知比为10

1

，再由A 产品的样本容量比C 产品 的样本容量多10，易得C 产品的样本容量为800. 6．C

7． 2.54 4.53456110.70.350.70.35 3.53444

t t

y x t +++++++=+=?+?=?=由得

，选A ；

8—12：B B C C C 二、填空题

13．答案：

14．答案：1

4 15．答案180 16．答案：2003

三、解答题

17．解：（Ⅰ）由题意可知随机变量ξ的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为62

4=C ，

当2=ξ时，摸出小球所标的数字为1，1，61

)2(==ξP ， 当4=ξ时，摸出小球所标的数字为2，2，6

1

)4(==ξP ，

可知，当3=ξ时，3

2

61611)3(=--==ξP ；

得ξ的分布列为：

12343636

E ξ=?+?+?=；

（Ⅱ）由“函数1)(2

--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”可知0)3()2(

0)38)(23(<--ξξ，解得

3

8

23<<ξ， 又ξ的可能取值为2，3，4，故2=ξ，

∴事件A 发生的概率为

6

1

． 18．解：（1）依题意858

79

78888082819593=++++++++=

x x 甲 解得4=x

男生样本频率分布直方图

频率

/cm

由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定

（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则4

386)(==

A P ξ的可能取值为0、1、2、3，且)43 , 3(~

B ξ，k k k

C k P -==33)4

1

()43()(ξ，其中=k 0、1、2、3

所以变量ξ的分布列为：

49642736427264916410=?+?+?+?

=ξE （或4

9

433=?==np E ξ） 19．解：（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400． 频率分布直方图如右图示：

（2）由表1、表2知，样本中身高在[165,180)的学生人数为： 5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中 学生身高在[165,180)的频率423

705

=

=f

故由f 估计该校学生身高在[165,180)的概率3

5

=p ．

（3）依题意知ξ的可能取值为：1,2,3∵14361(1)5C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===,343

61

(3)5

C P C ξ=== ∴ξ的分布列为：

ξ的数学期望131

1232555

E ξ=?+?+?=．

20．解：（1）从100位女性老人中任抽取两位，共有2

100C 个等可能的结果，抽到的两位老人心率都在[100,110) 内的结果有2

50C

个，由古典概型概率公式得所求的概率

250210049198

C p C ==

（2）频率分布直方图，略； 由0.510(0.010.02)0.2-?+=可估计，这100女性老人心率水平的中位数约为0.2

100101040.0510

+?

=?.

（3）2×2列联表， 表3：

2

2

180(50703030)19.01258010080100

K ??-?=≈???.

由于210.828K >，所以有99.9%的把握认为“这180位老人的心率水平是否低于100与性别有关” ． 21．【解析】（1）四人恰好买到同一只股票的概率111111

6.6666216

P =?

???=

（2）解法一：四人中有两人买到同一只股票的概率22223

426462

224

135

.6216

C C A C A A P +== 四人中每人买到不同的股票的概承率4

63

4605.621618

A P ===所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率231356019565

.21621621672

P P P =+=

+== 解法二：四人中有三人恰好买到同一只股票的概率324644

205

.621654

C A P === 所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率1419565

1.21672

P P P =--== （3）每股今天获利ξ的分布列为：

所以,1000股股票在今日交易中获利的数学期望为()1000100020.600.220.2800E ξ=??+?+-?=????

21．解：(1)()P ξ是“ξ个人命中,3ξ-个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0，1，2，3.

0022121122(0)C 1C (1)(1)P a a ξ??==--=- ???

,

1020121212111222(1)C C (1)C 1C (1)(1)P a a a a ξ??==?-+--=

- ???, 110222

1212111222(2)C C (1)C 1C (2)P a a a a a ξ??==?-+-=- ???

,

2

122

1

2

1

2(3)C C 2

a P a ξ==?=

. 所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

41

0(1)1(1)2(2)32

a a E a a a a ξ+=?-+?-+?-+?

=

. (2) ()221

(1)(0)1(1)(1)2P P a a a a ξξ??=-==---=-?

?,

22

112(1)(2)(1)(2)22

a P P a a a ξξ-??=-==---=??, 222

112(1)(3)(1)22a P P a a ξξ-??=-==--=??. 由2

(1)0,120,2

1202

a a a

a ?

?-≥?

-?≥?

??-≥?

?和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是10,2?? ???.