1T-2R并联机构拓扑结构综合与分类.

第十三章（1T-2R）并联机构拓扑结构综合与分类

本文讨论运动副为1平移—2转动（简记为（1T-2R））并联机构拓扑结构综合与分类问题。主要内容包括：并联机构支路的结构类型与支路组合；机构拓扑结构综合过程；机构拓扑结构的基本类型与类型扩展；基于拓扑结构特征的机构分类与类型优选等。

13.1 对（1T-2R）机构的基本要求

(1) 动平台的POC集为

1

2

Pa

t

M

r

??

=??

??

。

(2) 自由度3

DOF=。

(3) 每条支路有一个驱动副，且所有驱动副位于同一平台或尽可能靠近同一平台。

(4) P副只能为驱动副。即，P副不能为非驱动副。

(5) 机构对称性：

(a) 所有支路的拓扑结构相同.

(b) 部分支路的拓扑结构相同.

(c) 支路的拓扑结构互不相同.

13.2 支路拓扑结构类型与支路组合方案

13.2.1 支路的POC集

已知

1

2

Pa

t

M

r

??

=??

??

，由式(5-3)

i

B Pa

M M

?可知，支路的POC集可取为

112233

232323

,,,,,

bi

t t t t t t

M

r r r r r r

????????????

=????????????

????????????

Table 13.1 支路与支路的结构类型

(25)}

H R

R R

-⊥-

}

R R R

--

}

R R R

⊥⊥-

}

R R R R

***

--

}

P R R R

***

⊥--

}

R R R R**

--

((,*))R R ?**}

R R R R --

**}R P R R ---

3

t ?? {}SOC H S S ----

13.2.2 简单支路的结构类型

由上节得到的支路的6种POC 集，简单支路(SOC )的结构类型可从表(8-1)的dim.()S DOF M =中直接选取，如表13.1的No.1-No.19所示。

13.2.3 复杂支路的结构类型

仅讨论只含一个回路的复杂支路(HSOC

)的结构类型。 (1) 含平面五杆(32)R P -回路的复杂支路

在平面五杆(32)R P -回路的连架13R R 、副之间, 串联一个转动副2R ，得到一个含平面五杆(32)R P -回路的HSOC 支路，

如图13-1所示，记为(32)(32){}R P R P HSOC P R R --

-⊥⊥-(表13-1之No.18)，该HSOC 支路的POC 集为12bi t M r ??=????

。

4

678

图13-1 (32)(32){}R P R P HSOC P R R ---⊥⊥- 图13-2(25)(25){}H R H R HSOC P R R ---⊥⊥-

(2) 含(25)H R -回路的复杂支路

在(25)H R -回路的连架35R R 、副之间，串联一个转动副4R ，得到一个含(25)H R -回路的HSOC 支路，如图13-2所示，记为(25)(25){}H R H R HSOC P R R ---⊥⊥-(表13-1之No.19)，该HSOC 支路

的POC 集为12bi t M r ??

=????

。

13.2.4 支路组合方案

(1) 支路数目

由于设计要求3个驱动副位于同一个台, 且不存在冗余支路, 因此支路数b n 取决于: (a) 所有支路为简单支路(或一个HSOC 支路只有一个驱动副), 则3b n =。 (b) 一条HSOC 支路有两个运动副与定平台联接, 则2b n =。 (c) 若有一条支路不可能设置驱动副，则4b n =。

(2) 支路组合方案

若3个驱动副位于同一平台, 表13.1的 种支路结构类型的组合方案如表13.2所示。组合方案分为三类: (a) 所有支路结构相同, (b) 部分支路结构相同, (c) 所有支路结构都不相同。

表13.2只给出表13.1的19种支路组合的部分方案。

}RR --

}S S ---

P R R R ⊥⊥/}R R ⊥-

}S S ---}R RRR --

}R P RRR ⊥-- R R RR --()R P R RR ⊥--**}R

R R R --

(32)}R P R R -⊥-

**}R

R P R R ---(25)}H R R R -⊥- …………

13.3 (1T-2R)并联机构的拓扑结构综合 13.3.1拓扑结构综合的一般过程 Step 1 确定并联机构的方位特征集

12Pa t M r ??=????

Step 2 支路结构综合

基于串联机构方位特征方程(式4-3), 进行串联机构结构综合. 详见节13.2与第3章。 Step 3 确定支路组合方案 详见表13.2。

Step 4 确定支路在两平台装配的几何条件

基于并联机构方位特征方程(式5-2), 确定支路在两平台装配的几何条件。

基于自由度公式(6-8), 检验机构自由度。

Step 6确定机构消极运动副

基于消极运动副判定准则(节6.4), 判定机构的消极运动副。

如果含有消极运动副，应删除之, 并检验并联机构动平台的POC集。

Step 7选取并联机构的驱动副

基于驱动副判定准则(节6.4), 选取并联机构的驱动副。

Step 8 确定并联机构的拓扑结构

基于上述步骤的结果, 确定并联机构的拓扑结构。包括:

(a) 支路拓扑结构与支路组合方案。

(b) 动平台的拓扑结构。

(c) 固定平台的拓扑结构。

(d) 驱动副的位置。

Step 9并联机构的特性分析

(1) BKC类型及其耦合度

基于BKC判定方法(节7.2.4), 确定机构(已知驱动副)包含的BKC类型及其耦合度。

(2) 自由度类型

基于自由度类型判定准则(节7.3.2), 确定机构自由度类型。

(3) 解耦性

基于拓扑结构的解耦原理(节7.4.2), 确定机构运动输入--输出解耦性。

(4) 机构的拓扑结构特征

确定机构的拓扑结构特征参数(表13.3), 为优选结构类型提供依据。

13.3.2 举例

现以表13.2的B-3支路组合方案为例, 说明(1T-2R)并联机构拓扑结构综合的完整过程。

Step 1 并联机构的POC 集 12Pa t M r ??

=????

Step 2 支路结构综合

详见节13.2. Step 3 支路组合方案

详见表13-2. 现取表13-2的B-3支路组合方案：3条支路拓扑结构分别为：

123{}SOC P R R --- 456{}

SOC P S S ---- 789{}

SOC P S S ---- Step 4 确定支路在两平台装配的几何条件

基于并联机构方位特征方程(式(5-2))，确定支路在两平台装配的几何条件。 (1) 确定支路末端构件的POC 集。

由表13-1，支路123{}SOC P R R ---末端构件的P O C 集为11223()((,))i

b t P M r R R ??=??????。支路{}SOC P S S ----末端构件的POC 集为33

i b t M r ??

=????

(2) 建立并联机构方位特征方程

将支路末端构件的POC 集代入(式5-2)，得到

11331122332323()()((,))((,))i b t P t P t t M r R R r R R r r ??????

??=?????

??????????

??

?

??? 式中，?---并联机构POC 集是支路POC 集’交’运算结果的预定目标。

(3) 确定支路在动平台装配的几何条件。

由POC 集’交’运算(式(5-2b) 、(5-2c))的逆运算可知，为实现动平台在平行于2R 和3R 副的两轴线平面内, 末端构件存在二维转动。3条支路在动平台装配的几何条件为：2

R 3R 。 这时，上式可

记为

113311222323()()((,))((,))i b t P t P t t M r R R r R R ????=?????

????????

(4) 确定支路在定平台装配的几何条件。

由POC 集’交’运算(式(5-2g))的逆运算可知，支路在定平台装配的几何条件为：14P P 、与7P 副的3条轴线在空间为任意交叉。

(5) 支路在两平台装配的几何条件

由上述步骤可知，三条支路在两平台装配的几何条件为： (a) 动平台拓扑结构：2

R 3R 。

(b) 固定平台拓扑结构：14P P 、与7P 副的3条轴线在空间为任意交叉。 由上述已知条件，可绘出机构简图，如图13-3所示。

但POC 集的’交’运算还受到机构DOF 约束，需要检验机构自由度是否满足设计要求(3DOF =)。

P 7

S 58

图13-3 {}{}2SOC P RR SOC P S S ---+-----并联机构

Step 5 检验机构自由度

已知支路拓扑结构与在两平台装配的几何条件，由公式(6-8)检验机构自由度。 (1) 确定第1个独立回路的独立位移方程数1L ξ。

(a) 由式(6-8b)，第1，2条支路组成的第1个独立回路的1L ξ为

11

21331332()dim.()dim.()dim.()6L b b t P t t M M r r r ξ??????====??????????

???? (b) 由式(6-8a)，第1，2条支路组成的子并联机构DOF 为

(12)1

1

963j m

i L i j F f ν

ξ-===-=-=∑∑

(未记绕S S -轴线的局部转动自由度)

(c) 由式(5-2)与(12)4F -=，第1，2条支路组成的子并联机构动平台的POC 集为

1

21311(12)322()Pa b b t P t t M M M r r r -??????===????????????

??

(2) 确定第2个独立回路的独立位移方程数2L ξ。

由式(6-8b)，并考虑到1121,R R 与31R 为空间任意交叉，则2L ξ为

23133(12)

233dim.()dim.()dim.()6L Pa b t t t M M r r r ξ-??????

====????????????

(3) 确定并联机构DOF 由式(6-8a)，机构DOF 为

1

1

15(66)3j m

i L i j F f ν

ξ===-=-+=∑∑

(未记绕S S -轴线的局部转动自由度) 因此，机构3DOF =满足预定设计要求。

但POC 集的’交’运算还受到机构消极运动副的约束，需要判定消极运动副，并删除之。 Step 6 判定消极运动副

(1) 判定机构消极运动副

已知机构拓扑结构与3DOF =，由消极运动副判定准则(节6.4.1)，判定1P 副是否为消极运动副。 (a) 假设刚化1P 副，得到一个新机构，其第1条支路的拓扑结构改变为23{}SOC R R --。 由串联机构方位特征方程(式(4-3))，易知其末端构件POC 集(尚未标出独立元素)为

112311

()()b t R t R M ??

⊥=??

因第1条支路3DOF =，1

b M 只能有3个独立元素。

(b) 确定第2个独立回路的独立位移方程数2L ξ。

因第2，3支路没有变化，由式(5-2c)、 (5-2i)和Step 5，易得，26L ξ=。 (c) 确定第1个独立回路的独立位移方程数1L ξ。

类比Step 5中确定独立位移方程数的步骤，只需用Step 6的第1条支路的POC 集替换，即

{}1

1(23)

11323311233

1

13233311

23dim.()

()()dim.()())()(

)()dim.(dim.()6

(()()L Pa b M M t R t R t r r R r R t t R t R t r r

r R r R ξ-=??

??

⊥=????

??????

??⊥??

===?

?????????

式中，按照POC 集的’并’运算规则(式(4-3c))，选取12()t R 为非独立元素，记为12{()}t R ，则其伴随移动为独立元素，记为12()r R ⊥。 (d) 确定新机构DOF

由式(6-8a)，新机构DOF 为

1

1

14(66)2j m

i L i j F f ν

ξ*

===-=-+=∑∑

由于新机构(2)DOF F *=比原机构(3)DOF F =减少1，按照消极运动副判定准则(节6.4.1)，1P 副不是消极运动副。 类似地，可证明该机构的所有运动副都不是消极运动副。 (2) 检验并联机构动平台的POC 集。

由于图13-3机构不含消极运动副，不需要再检验其POC 集。 Step 7 选取机构驱动副

基于驱动副判定准则(节6.4)，判定图13-3机构的14,P P 与7

P 副可否同时为驱动副。 (1) 假设刚化14

,P P 与7P 副，得到一个新机构，支路拓扑结构改变为23{}SOC R R --、2{}SOC S S ----。 由串联机构方位特征方程(式(4-3))，易知其末端构件POC 集(尚未标出独立元素)为

1112311

23()()()()b t R t R M r R r R ??⊥=?????

? 因第1条支路3DOF =，1

b M 只能有3个独立元素。

()23

220333

()b t t t M r r r ρρ??⊥??⊥==????????

、

因支路5DOF =，23

b M 、有5个独立元素。 (2) 确定第1个独立回路的独立位移方程数1L ξ。

(a) 由式(6-8b)，第1，2条支路组成的第1个独立回路的1L ξ为

{}1

1

21122311

3

23112323311323()()()dim.()dim.()()()()()()dim.()dim.()6

()()L b

b t R t R t M M r R r R r t R t R t t r r R r R r ρξρ????

⊥⊥==????????????⊥⊥??

===??????????

转动元素为独立元素，其伴随移动为非独立元素。

(b) 由式(6-8a)，第1，2条支路组成的子并联机构DOF 为

(12)1

1

761j m

i L i j F f ν

ξ-===-=-=∑∑

(c) 由式(5-2)与(12)3F -=，第1，2条支路组成的子并联机构动平台POC 集为

1

21213(12)3

22

()()Pa b b t R t t M M M r r r ρ-??????⊥⊥===????????????

??

因支路1DOF =，(12)Pa M -只能有1个独立元素。

(3) 确定第2个独立回路的独立位移方程数2L ξ。

由式(6-8b)，并考虑到14,P P 与7

P 为空间任意交叉，则2

L ξ为 {}2

312(12)

23

123

11()dim.()dim.()()dim.()6{}L Pa b t t M M r r t t r r r ρξρ-??

??

⊥==??

????????

??⊥==??

??????

??

式中，由POC 集’并’运算规则(式(4-3c))，子并联机构(12)Pa M -只有1个独立元素，3b M 只有5个独立元素。

(4) 确定新机构的DOF 由式(6-8a)，新机构DOF 为

1

1

12(66)0j m

i L i j F f ν

ξ*

===-=-+=∑∑

由于新机构0DOF =，按照驱动副判定准则(节6.4.2)，图13-3机构同一平台上的14,P P 与7

P 副可同时为驱动副。

Step 8 确定并联机构的拓扑结构

由上述步骤可知，图13-2并联机构的拓扑结构为：

(1) 3条拓扑结构支路：123{}SOC P R R ---、456{}SOC P S S ----、789{}SOC P S S ----。 (2) 动平台拓扑结构：3R 、6S 和9S 副可任意配置。 (3) 固定平台拓扑结构：14,P P 与7P 副的3条轴线相互平行。 (4) 固定平台上的14,P P 与7

P 副为驱动副。 Step 9 并联机构特性分析

(1) BKC 类型及其耦合度。

基于BKC 判定方法(节7.2.4)，确定图13-3 并联机构(14,P P 与7P 副为驱动副)包含的BKC 类型及其耦合度。 (a) 确定1SOC

取构成任一回路的单开链为1SOC 。 这里取第1个单开链为：

1123654{}

SOC P R R S S P --⊥----。 (b) 确定1SOC 的约束度1?

由Step 5已知，第1个独立回路的独立位移方程数为16L ξ=，故1SOC 约束度1?为：

m

∑

(c) 确定2SOC

显然，第2个单开链为：

2789{}SOC P S S ----。

(d) 确定2SOC 的约束度2?

由Step 5已知，第2个独立回路的独立位移方程数为2

6L ξ=，故2SOC 约束度2?为：

222226161m

i L i f I ξ=?=--=--=-∑。

(e) 确定机构包含的BKC 及其耦合度κ

由BKC 的判定方法(节7.2.4)，易知该机构只包含一个BKC ，其耦合度为：

111(|1||1|)122

v

j j k ==?=++-=∑。

(2) 自由度类型

基于自由度类型判定准则(节7.3.2)，确定图13-3并联机构(14,P P 与7P 副为驱动副)的自由度类型。 由于图13-3并联机构只包含一个BKC ，按照自由度类型判定准则，该机构具有完全自由度。 (3) 运动输入--输出解耦性

基于拓扑结构的解耦原理(节7.4.2)，又已知图13-3并联机构具有完全自由度，因此该机构不具有运动输入--输出解耦性。

(4) 机构拓扑结构特征

机构的拓扑结构特征参数表示机构的整体特性，可用于不同结构类型的机构性能比较，为优选结构类型提供依据。

表13-3列出图13-3并联机构的拓扑结构特征，以供设计人员参考与选用机构结构类型。

13.4 (1T-2R)并联机构的拓扑结构类型

13.4.1 机构结构类型与特性分析

类似于节13.3.2机构结构综合步骤，对表13-2的部分支路组合方案进行结构综合，得到并联机构，如图13-4-图13-18所示。 确定机构的拓扑结构特征并进行分类，以供设计人员参考与选用。 (1)对表13-2的部分组合方案，结构综合分别得到图13-4—图13-18所示的并联机构。 其拓扑结构特征如表13-4—表13-8所示。

P 7

S 8

P 32

31

R

图13-4 {}{}2SOC P RR SOC P S S ---+-----并联机构 图13-5 3{}SOC P RR ----并联机构

R R

33

图13-6 3{}

SOC R R R R

----并联机构图13-7 3{}

SOC P R R R

--⊥-并联机构

表13-4 (1T-2R)并联机构的拓扑结构特征

图13-8 3{}

SOC P RRR

----并联机构图13-9 3{}

SOC R R RRR

----并联机构图13-103{}

SOC R P RRR

--⊥--并联机构

表13-5 (1T-2R)并联机构的拓扑结构特征

P R

{}1SOC R R RRR ---- (32)(32)1{}R P R P HSOC P R R ----⊥⊥-

{}2SOC P RR ---- 1{}SOC P RRR ----

图13-11 并联机构 图13-12 并联机构

P

R

8

9

1{}SOC P RR ----

2{}

SOC P RRR ----

表13-6 (1T-2R)并联机构的拓扑结构特征

图13-14 并联机构 图13-13

并联机构 {}

(32)(32){}R P R P HSOC P R R SOC P S S ---⊥⊥-----

H 7

8

10

11

1{/}SOC H R R --⊥- (25)(25){}H R H R HSOC P R R ---⊥⊥- 2{}SOC H S S -----

{}SOC H S S ----

表13-7 (1T-2R)并联机构的拓扑结构特征

(2)并联结构结构类型扩展。图13-14的3副构件(263R R R --)可用(S S -)构件替代，得到新的机构如图13-17所示；用H 副代替P 副，如图13-15，图13-16,和图15-18。

图13-15 并联机构 图13-16 并联机构

7

6

S 9H 8

{}

{}{}

SOC P S SOC P R S SOC P S S ----⊥⊥-----

{(/)}

{(/)}{}

R H S SOC R H R S SOC H S S SOC ----⊥------

表13-8 (1T-2R)并联机构的拓扑结构特征

13.4.2 并联机构拓扑结构类型的分类

按照并联机构设计的不同要求，推荐优选类型：

(1) 具有部分控制解耦的类型：图13-12，图13-14，图13-16，图13-17，图13-18.所示的并联机构，其运动学、动力学分析可由各基本回路依次分别求解。但该类机构总伴随着支路结构的不对称性。

图13-17

并联机构

图13-18

并联机构

(3) 以H副(或R副)为主动副的类型：图13-6，图13-15，图13-16，图13-18

(4) 含有复杂支路的机构：图13-12，图13-14，图13-16的并联机构

(5) 具有部分运动解耦性的机构：图13-12，图13-14，图13-16，图13-17，图13-18所示的并联机构。一般地，这类机构总含有复杂支路。

(6) 运动(动力)学复杂性

κ=的并联机构：图13-16，图13-17并联机构。

(a) 耦合度2

κ=的并联机构：图13-4—图13-11和图13-15并联机构。

(b) 耦合度1

κ=的并联机构：图13-12，图13-13，图13-118并联机构。

(c) 耦合度0

显然，耦合度较低的并联机构的运动学与动力学分析较为简单。