建坐标系解立体几何
立体几何——建坐标系
1.如图,四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形. AB=BC=2, CD=SD=1.
(Ⅰ)证明:SD⊥平面SAB;
(Ⅱ)求AB与平面SBC所成的角的大小.
2.如图,在四面体ABOC中, OC⊥OA, OC⊥OB, ∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1.
(Ⅰ)设P为AC的中点, Q在AB上且AB=3AQ. 证明:PQ⊥OA;
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
3.如图, 在正三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
中, AB=4,AA
1
=7,点D是BC的中点,点E在AC上,
且DE⊥A
1
E.
(Ⅰ)证明:平面A
1DE⊥平面ACC
1
A
1
;
(Ⅱ)求直线AD和平面A
1
DE所成角的正弦值.
4.如图, 在直三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
中, AB=1, AC=AA
1
=3,∠ABC=60°.
(Ⅰ)证明:AB⊥A
1
C;
(Ⅱ)求二面角A-A
1
C-B的大小.
5.四棱锥A-BCDE中, 底面BCDE为矩形, 侧面ABC⊥底面BCDE, BC=2, CD=2, AB=AC.
(Ⅰ)证明:AD⊥CE;
(Ⅱ)设侧面ABC为等边三角形, 求二面角C-AD-E的大小.
6.如图, 正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2, D 为CC 1中点. (Ⅰ)求证:AB 1⊥平面A 1BD; (Ⅱ)求二面角A-A 1D-B 的大小.
7.如图, 在三棱锥V-ABC 中, VC ⊥底面ABC, AC ⊥BC, D 是AB 的中点, 且AC=BC=a ,
∠VDC=θ
）（2
0π
θ<<.
(Ⅰ)求证:平面VAB ⊥平面VCD;
(Ⅱ)试确定θ的值, 使得直线BC 与平面VAB 所成的角为
6
π
.
8.如图, △BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形, 平面MCD ⊥平面BCD, AB ⊥平面BCD, AB=2.
(Ⅰ)求直线AM 与平面BCD 所成角的大小; (Ⅱ)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值
.
9.如图, 在四棱锥P-ABCD中, PD⊥平面ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC, ∠BCD=90°.
(Ⅰ)求证:PC⊥BC;
(Ⅱ)求点A到平面PBC的距离.
10.如图, 直三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
中, AC=BC, AA
1
=AB, D为BB
1
的中点, E为AB
1
上的一
点, AE=3EB
1
.
(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB
1
与CD的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线AB
1与CD的夹角为45°, 求二面角A
1
-AC
1
-B
1
的大小.
11.如图, 四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为矩形, SD⊥底面ABCD, AD=2, DC=SD=2. 点M在侧棱SC上, ∠ABM=60°.
(Ⅰ)证明:M是侧棱SC的中点;
(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小.
12.如图, 直三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
中, AB⊥AC, D、E分别为AA
1
、B
1
C的中点, DE⊥平
面BCC
1
.
(Ⅰ)证明:AB=AC;
(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°, 求B
1
C与平面BCD所成的角的大小.
13.如图, 四棱锥P-ABCD的底面是正方形, PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(Ⅱ)当PD=2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
14. 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA⊥平面ABCD, PA=AD=4, AB=2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
(Ⅰ)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(Ⅱ)求直线PC与平面ABM所成的角;
(Ⅲ)求点O到平面ABM的距离.
2, 点
15.如图, 四棱锥S-ABCD的底面是正方形, SD⊥平面ABCD, SD=2a, AD=a
λ(0<λ≤2).
E是SD上的点, 且DE=a
(Ⅰ)求证:对任意的λ∈(0, 2],都有AC⊥BE;
(Ⅱ)设二面角C-AE-D的大小为θ, 直线BE与平面ABCD所成的角为?. 若
θ, 求λ的值.
??
tan=
tan
1
16.如图, 在五面体ABCDEF 中, AB ∥DC, ∠BAD=2
π
, CD=AD=2. 四边形ABFE 为平行四边形, FA ⊥平面ABCD, FC=3, ED=7. 求:
(Ⅰ)直线AB 到平面EFCD 的距离; (Ⅱ)二面角F-AD-E 的平面角的正切值.
17.如图, 设动点P 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上, 记λ=B
D P
D 11.
当∠APC 为钝角时, 求λ的取值范围.