高中数学-组合与组合数公式练习

[A 级基础巩固]

一、选择题

1．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )

A ．12种

B ．10种

C ．9种

D ．8种解析：根据题意，不同的安排方案有C 12C 2

4＝12(种)．答案：A

2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )

A ．3

B ．4

C ．12

D ．24 解析：C 3

4＝C 1

4＝4. 答案：B

3．集合A ＝{x |x ＝C n

4，n 是非负整数}，集合B ＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝{0，1，2，3，4} B ．B A

C ．A ∩B ＝{1，4}

D ．A ?B

解析：依题意，C n

4中，n 可取的值为1，2，3，4，所以A ＝{1，4，6}，所以A ∩B ＝{1，4}．

答案：C

4．下列各式中与组合数C m

n (n ≠m )相等的是( ) A.n m

C m

n －1 B.

n －m

C m

n －1

C ．C

n －m ＋1

D.A m

n n ！

解析：因为n

n －m

C m

n －1＝

n －m ·

（n －1）！m ！（n －m －1）！＝n ！

m ！（n －m ）！

，所以选项B 正确.

答案：B

5．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2

16＝( ) A ．C 2

15 B ．C 3

16 C ．C 3

17 D ．C 4

解析：原式＝C 2

2＋C 2

3＋C 2

4＋…＋C 2

16＝C 3

4＋C 2

4＋…＋C 2

16＝C 3

5＋C 2

5＋…＋C 2

16＝…＝C 3

16＋C 2

16＝C 3

17. 答案：C 二、填空题

6．化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8

m ＝________．

解析：C 9

m －C 9

m ＋1＋C 8

m ＝(C 9

m ＋C 8

m )－C 9

m ＋1＝C 9

m ＋1－C 9

m ＋1＝0. 答案：0

7．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点最多有________个．解析：此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所以交点最多有C 4

9＝126(个)．答案：126

8．某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有________种．

解析：由题意可知，3名职工中只有一人值班一天，此时有C 1

3＝3种，把另外2人，排好有3个空，将值班一天的这个工人，从3个空中选一个，另外2人全排有C 13A 2

2＝6.所以不同的安排方法共有3×6＝18种．

答案：18 三、解答题

9．解不等式：2C x －2x ＋1＜3C x －1

x ＋1. 解：因为2C x －2x ＋1＜3C x －1

x ＋1，所以2C 3

x ＋1＜3C 2

x ＋1.

所以2×（x ＋1）x （x －1）3×2×1＜3×（x ＋1）x 2×1.

所以

x －13＜3

2，解得x ＜112

. 因为?

????x ＋1≥3x ＋1≥2，所以x ≥2.

所以2≤x ＜112.又x ∈N *

，所以x 的值为2，3，4，5.

所以不等式的解集为{2，3，4，5}．

10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线． (1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？ (2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？ (3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？

解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 2

10＝10×92×1＝

45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．

(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 2

10＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．

(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C 3

10＝

10×9×8

3×2×1

＝

120(个)．

B级能力提升

1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )

A．120 B．84 C．52 D．48

解析：用间接法可求得选法共有C38－C34＝52(种)．

答案：C

2．A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．

解析：根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则不同的走法有C35＝10(种)．

答案：10

3．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)至少有1名女运动员；

(2)既要有队长，又要有女运动员．

解：(1)法一(直接法) “至少1名女运动员”包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．

由分类加法计数原理可得有

C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246种选法．

法二(间接法) “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．

从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．

所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246种选法．

(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法．其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191种选法．