安徽省高三上学期10月月考数学(文)试题
2020~2021学年度第一学期高三10月月考
文科数学
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
240A x x =->∣，{}015B x x =<+≤∣，则(
)R
A B =（ ）
A.(]2,1--
B.(]2,1-
C.[)1,2-
D.()2,2-
2.已知函数()cos (0)6f x x πωω?
?
=+
> ??
?
的最小正周期为π，则该函数图像（ ） A.关于点,06π??
???
对称
B.关于直线6
x π
=
对称
C.关于点,03π??
???
对称
D.关于直线3
x π
=
对称
3.函数()
3||()2x f x x x e =-的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
4.两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为3km ，5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与B 的距离为（ ）
A.6km
B.
C.7km
D.
5.已知函数ln ()x
x
f x e =的极值点为0x x =，则0x 所在的区间为（ ） A.10,2?? ???
B.1,12??
???
C.()1,2
D.()2,e
6.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(4)f x f x +=-，且当03x ≤≤时，()2x
f x -= ，则()2020f =
（ ） A.
116
B.
14
C.4
D.16
7.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则
与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，
“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x x =确定出来2x =，类比上述结论可得()222log 1log 1log (1)+++???????的正值为（ ）
A.1
C.2
D.4
8.设1ln 3a =，31log 2b =，ln3
12c ??
= ???
，则（ ）
A.a b c <<
B.b a c <<
C.b c a <<
D.c a b <<
9.已知a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，命题:p 若222a b c +>，则ABC △为锐角三角形，命题:q 若a b >，则cos cos A B <.下列命题为真命题的是（ ） A.q →∧
B.()p q ∨?
C.()()p q ?∧?
D.()p q ?∨
10.平行四边形ABCD 中，3AB = ，2AD = ，60BAD ∠=? ，若AE AB AD λ=+，且DB AE ⊥，则λ的值为（ ） A.3
B.4
C.5
D.6
11.将函数sin()y x ?=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移
12
π
个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2?=（ ）
A.12
-
B.
12
C.12.已知函数32()log 2x
f x b x
-=++，若()1f a =，()3f a -= ，则log b a =（ ） A.-1
B.0
C.1
D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数112
2
()log (1)log (3)f x x x =-++的单调递增区间为__________.
14.函数()cos(2)sin f x x x π=+-的最大值为__________.
15.若函数ln ()x f x x
=
与()x a
g x e b -=-的图像在1x =处有相同的切线，则a b +=__________.
16.已知a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，向量(tan tan m B C =+，
(tan tan 1,1)n B C =-，且m n ∥，2a =则ABC △周长的取值范围是__________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 已知函数1
6
()1x f x a a
+=-
+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值及函数()f x 的值域； （2）若()
2(1)20f a f a -+≥，求a 的取值范围. 18.（12分）
已知a ，b ，c 分别为非等腰ABC △内角A ，B ，C 的对边，222
2
sin sin A a c b B c +-=. （1）证明：2C B =；
（2）若3b =，c =，求ABC △的面积 19.（12分）
已知函数2
2()cos 212sin 3
f x x x π?
?=-
+- ??
?
. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，已知1
()2
f A =，2a b c =+，且9AB AC ?=，求a 的值. 20.（12分）
已知向量a 在向量()1,3b =方向上的投影为2，()
2a b a -⊥. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -的值
；
（3）若向量34c a b =-，d ma b =+， c d ∥，求m 的值. 21.（12分）
函数()sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的部分图像如图所示.
（2）求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在[]2,a -有5个零点，求a 的取值范围. 22.（12分）
知函数()x
x ae f x e x
=-. （1）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性； （2）若0x >时，()1f x <，求a 的取值范围.
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.[)1,1-或()1,1- 14.2 15.2 16.(]4,6 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.解析：（1）由(0)0f =，解得3a =，
当3a =时，1631
()13331
x x x f x +-=-=++，()()f x f x -=-，符合题意，故3a =.
∵2()131x f x =-
+，31(1,)x
+∈+∞，∴()22,031
x -∈-+，∴()()1,1f x ∈-，
故函数()f x 的值域是()1,1-.（6分） （2）∵2
()131
x
f x =-
+在R 上递增； ∴()()
222(1)20(1)212f a f a f a f a a a -+≥?-≥-?-≥-，解得1a ≤-或12
a ≥， ∴实数a 的取值范围是1,1(1,)[2,0]2??
+∞-?
???
.（10分）
18.解析：（1）由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=， ∴
2
sin 2cos 2sin cos sin sin A ac B A B
B c C
==， ∴sin 2sin B C =，2B C =或2B C π=-，
由2B C π=-得A B =，不符合条件，∴2C B =.（6分） （2）由（1sin sin
sin 2sin cos B B
C B B
=
=，
∴2cos
3B ==
，解得1a =或3（舍），
∴1123
ABC S =
??=△.（12分）
19.解析：（1）1()2cos 2sin 226f x x x x π?
?=+=+ ??
?， 令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
得()3
6
k x k k π
π
ππ-
≤≤+
∈Z ，
∴()f x 的单调递增区间为,()3
6k k k π
πππ?
?
-
+
∈???
?
Z .（5分） （2）由1()2f A =
得1sin 262A π?
?+= ??
?，∴22666A ππππ<+<+，∴5266A ππ+=，∴3A π=，
∵9AB AC ?=，∴cos 9bc A =，∴18bc =，
由余弦定理得2
2
2
2
2cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，
∴224318a a =-?，∴a =.（12分） 20.解析：（1）由已知得
2||
a b
b ?=，∴4a b ?=， ∵(2)a b a -⊥，∴(2)0a b a -?=，∴2
8a =，||22a =. 设向量a 与b 的夹角为，则2
cos 2||||
b a b a θ?=
=
?，∴4πθ=.（6分）
（2）2
2
|2|4432a b a a b b -=-?+=-=（9分）
（3）∵c d ∥，∴c d λ=，∴34()a b ma b λ-=+，
∴34m λλ
=??
-=?，解得3
4m =-.（12分）
21.解析：（1）由图可得22T π
ω
==
，∴ωπ=，∴sin 13π???
+=
???
， ∵||?π<，∴
3
2
π
π
?+=
，∴6
π
?=
，∴()sin 6f x x ππ??
=+
??
?
.（6分） （2）∵[2,]x a ∈-，∴2, 666x a π
πππππ?
?+
∈-++????
， 由题意结合函数sin y x =的图像可得346
a π
πππ≤+
<，∴
1723
66
a ≤<
.（12分） 22.解析：（1）()
22
()x e x ax a f x x
-+-'=
，
令20x ax a -+-=，当0?≤，即04a ≤≤时，()0f x '≤ ，()f x 在(0,)+∞上单调递减；
当0a <时，0?>，2
0x ax a -+-=
的两根为12a x +=
，22
a x =，
∵210x x <<，∴()f x 在()10,x 上递增，在()1,x +∞上递减；
当4a >时，0?>，210x x <<，∴()f x 在()20,x ，()1,x +∞上递减，在()21,x x 上递增.（6分）
（2）由已知可得x x
xe x
a e
+<在()0,+∞上恒成立， 令()x x xe x
g x e +=，则()()()
211()x x x x x x x x xe e e xe x e e x g x e e ++-+-+'==， 令()1x
h x e x -=+，则()10x
h x e '=->，∴()(0)2h x h >=，∴()0g x '>，
∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，∴()(0)0g x g >=，∴0a ≤.（12分）