三阶系统综合分析与设计

目录

摘要 (1)

1 设计内容 (2)

1.1 设计题目 (2)

1.2 设计任务 (2)

２绘制三阶系统的根轨迹 (3)

2.1 常规方法绘制根轨迹 (3)

2.2用MATLAB绘制根轨迹 (4)

3 不同条件下K的取值 (5)

3.1 当-8为闭环系统的一个极点时，K的取值 (5)

3.2 主导极点阻尼比为0.7时的k值 (6)

4 求系统的稳态误差 (6)

4.1 位置误差系数 (7)

4.2 速度误差系数 (7)

4.3 加速度误差系数 (8)

4.4 输入信号为

2

5.2

)(1

)(t

t

t

t r+

+

=时的稳态误差 (8)

5 绘制单位阶跃响应曲线 (9)

6 频域特性分析 (10)

6.1绘制Bode图和Nyquist曲线 (10)

6.2相角裕度和幅值裕度 (12)

7 加入非线性环节判断稳定性 (13)

7.1 求死区特性环节的描述函数 (13)

7.2 根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性 (14)

8 设计体会 (15)

参考文献 (17)

摘要

三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统。在控制工程中，三阶系统非常普遍，其动态性能指标的确定是比较复杂。在工程上常采用闭环主导极点的概念对三阶系统进行近似分析，或直接用MATLAB软件进行高阶系统分析。在课程设计中，要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和系统响应曲线，用系统的闭环主导极点来估算三系统的动态性能，以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节判断其稳定性。

1 设计内容

1.1 设计题目

三阶系统的综合分析和设计

初始条件：某单位反馈系统结构图如图1-1所示：

图1-1 图1-2

1.2 设计任务

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

1、试绘制随根轨迹

2、当-8为闭环系统的一个极点时，K=?

3、求取主导极点阻尼比为0.7时的K 值（以下K 取这个值）

4、分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为

25.2)(1)(t t t t r ++=单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差

5、用Matlab 绘制单位阶跃相应曲线

6、绘制Bode 图和Nyquist 曲线，求取幅值裕度和相角裕度

7、如在比较点与开环传递函数之间加1个死区非线性环节，如图1-2所示，其中2,10==k e ，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist 图判断系统的稳定性

8、认真撰写课程设计报告。

２ 绘制三阶系统的根轨迹

图2 系统结构图

由图1可得，三阶系统的开环传递函数为：

G （s ）=

)

6)(3(++s s s K

2.1常规方法绘制根轨迹

根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的根轨迹绘制步骤如下：

（1）根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。

开环极点分别为0、-3、-6，无开环零点。

（2）根轨迹的分支数。n=3，m=0，所以分支数为3 。且它们是连续的并且对称于实轴。

（3）根轨迹的渐进线。本系统根轨迹的渐近线有三条，据其与实轴的夹角公式:

把n=3,m=0代入求得：

)2,1,0(300,180,600

3)

12(180)12(==-+=?-+=

???q q m n q a φ

)1(,2,1,0,180)

12(--=?-+=

m n q m

n q a φ

渐近线与实轴的交点为：

(4)根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一个区域，若其右边开环零、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。因此实轴上[-∞，-6] [-3,0]必为根轨迹。 (5)确定根轨迹的分离点。该系统中没有有限零点，由法则五得：

于是分离点方程为：

061

311=++++d d d

因此可以求得分离点d=-1.3,d=-4.7（不合题意，舍去） (6)根轨迹与虚轴的交点。

闭环特征方程式为

018923=+++k s s s

对上式应用劳斯判据，有：

3s 1 18 2s 9 k

1

s 8

18*9k

-

0s k

令劳斯表中1s 行的首项为零，得k= 162,根据2s 行的系数，得辅助方程 92s +k=0

代k=162并令s=jw,解得交点坐标

2.2用MATLAB 绘制根轨迹

MATLAB 为绘制根轨迹编程如下：

num=[1];

den=[1 918 0];

3036

301

1

-=---=

--=

∑∑==m

n z

p n

j m

i i

j a

σ4.204.2j 0 4.2j ω=±-，所以与虚轴的交点为（，），（，）。

syms=tf(num,den); rlocus(syms)

MATLAB 产生的根轨迹如图2所示：

图3 闭环系统的根轨迹

3 不同条件下K 的取值

3.1 当-8为闭环系统的一个极点时，K 的取值

由图1的系统的闭环传递函数为

()()1()()G S s G S H S ?=

=+K

S S s K

+++1892

3 闭环特征方程式为

018923=+++k s s s

把s=-8代入上式中解得 K=80

3.2主导极点阻尼比为0.7时的k 值

在控制工程实践中，通常要求控制系统即具有较快的响应速度，又具有一定的阻尼程度，此外还要求减少死区间、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影响，因此高阶系统的增益常常调整到是系统具有一对闭环共轭主导极点。这时，可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的性能。

由于主导极点阻尼比ζ=0.7<1,属于欠阻尼系统。由公式βζco s =得：

β=?6.45

设系统的自然频率为n w ，阻尼比7.0=ζ，由上述用闭环主导极点分析高阶系统的方法可知，距虚轴最近的一对闭环共轭主导极点为：

ζ-=2,1s n w ±n w 2

1ζ

-j

代入数据： 7.02,1-=s n w ±n w ()2

7.01-j

闭环特征方程式为

018923=+++k s s s

代入s 的方程化简得:

0.6863n w -12.6n w +k+j (0.6863n w -8.822

n w +12.6n w )=0

分别令实部和虚部为零得到两个方程：

0.6863n w -12.6n w +k=0 0.6863n w -8.822n w +12.6n w =0

解得 1.6n ω=17.6k =

11n ω=808.6k =-（舍） 所以取17.6k =。

所以，开环传递函数为17.6

()(3)(6)

G s s s s =

++

4 求系统的稳态误差

系统的误差 e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差，一般情况下采用从系统输入端定义的误差e(t)来进行计算分析。控制系统的稳定系统误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以ss e 表示

)(lim t e e t ss ∞

→=

4.1位置误差系数

对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,求得系统的稳态误差为

)

()(11

1)()(1lim lim

s H s G s s H s G s e s s ss →→+=

?+= 令)()(lim 0

s H s G K s p →=，称p K 为稳态位置误差系数。

稳态误差可表示为 p

ss K e +=

11

对于0型系统，v =0，则p K =K ；当v ≥1时，p K =∞。 由图1系统得：17.6

()(3)(6)

G s s s s =

++

由上式得v =1，则p K =∞

p ss K e +=

11=∞

+11

=0

4.2速度误差系数

对于单位斜坡输入2

1

)(s s R =，此时系统的稳态误差为

)

()(1

1)()(1lim lim

20

s H s sG s s H s G s e s s ss →→=

?+= )()(lim 0

s H s sG K s v →=称为稳态速度误差系数。

于是稳态误差可表示为v

ss K e 1

=

由图1系统得：)()(lim 0

s H s sG K s v →==s

s lim 0

→17.6(3)(6)s s s ++=17.6

18

=0.978

=

ss e 1

0.978

=1.022 4.3加速度误差系数

对于单位抛物线输入3

1

)(s s R =

，此时系统的稳态误差为 )()(1

1)()(12

30

lim

lim

s H s G s s s H s G s e s s ss →→=?+= 令)()(20

lim s H s G s K s a →=

称a K 为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为a

ss K e 1

= 于是稳态误差可表示为K

K e a ss 11== 则对于图1系统得：a K =2

lim s s →17.6

(3)(6)s s s ++=0

a

ss K e 1

=

=∞ 4.4

输入信号为2

5.2)(1)(t t t t r ++=时的稳态误差

系统的开环传递函数为

)

6)(3(++s s s K

(K =17.617)

当)(1)(1t t r =时，p K =∞，p ss K e +=111=∞

+11

=0

当t t r 5.2)(2=时，v K =0.978，=

2ss e v

K 5

.2=2.556 当232

1

*2)(t t r =时，a K =0，a ss K e 23==∞

则当输入信号为25.2)(1)(t t t t r ++=时

ss e =1ss e +2ss e +3ss e =

5绘制单位阶跃响应曲线

MATLAB 绘制单位阶跃响应曲线编程如下： num=[17.6]; den=[1 91817.6]; syms=tf(num,den); step(tf(num,den))

即系统单位阶跃相应曲线为图3所示：

图4 系统单位阶跃相应曲线

6频域特性分析

6.1绘制Bode 图和Nyquist 曲线

6.1.1 绘制Bode 图

Bode 图又称对数频率特性曲线图，由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。

手工绘制伯德图的步骤如下：

1、将传递函数写成伯德标准型，确定开环传递系数和各转折频率。

17.60.978

()(3)(6)(/31)(/61)

G s s s s s s s =

=

++++ 系统的开环频率特性为

0.978

()(/31)(/61)

G s j j j ωωω=

++

由伯德标准型容易看书，开环传递系数为0.978K =，转折频率为31=ω，62=ω。

2、 确定低频段：由传递函数可知该系统为1型系统，即有微分环节，所以绘制低频段，可过1=ω，(1)20log 20log0.9780.19L K ===- 作一条斜率为-20dB/dec 的斜线。

3、 绘制开环对幅频特性的渐近线：将低频段延伸到第一个转折点频率31=ω处。因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率，所以，开环对数频率特性的渐近线下降20dB/dec,再延伸到第二个转折频率26ω=处，因为也是惯性环节，所以再下降20dB/dec 。

4、 绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一般在一些特征点上进行叠加，如各个转折频率处。

5、 修正对数幅频特性。

Matlab 编写程序时可以利用函数Bode 和margin,但是margin 函数可以直接读出相角裕度和幅值裕度，所以下面用margin 函数绘制BODE 图

MATLAB 绘制BODE 图编程如下： num=[17.6]; den=[1 9180]; syms=tf(num,den);

margin(num,den)

绘制出的BODE图如图2-3所示：

图5 开环传递函数的Bode图

从图中可以看出：

ω=4.24rad/sec。

幅值裕度h=19.3dB,穿越频率

x

ω=0.924rad/sec。

相角裕度r=64deg，截止频率

c

从幅值裕度和相角裕度可以看出这是一个稳定的系统。

6.1.2绘制Nyquist曲线

Nyquist曲线图又称开环幅相频率特性曲线图，是利用Nyquist判别系统稳定性的依据。

MATLAB绘制Nyquist曲线编程如下：

num=[17.6];

den=[1 918 0]; syms=tf(num,den); nyquist(syms) 绘制出的Nyquist 曲线如图

图6开环传递函数Nyquist 曲线

6.2相角裕度和幅值裕度

相角裕度γ的含义是，对于闭环稳定系统的，如果系统开环相频特性再后γ度，则系统将处于临界稳定状态。设c w 为系统的截止频率，显然：

由上式可得：

36

9617.1722++c

c

c w w w

=1

1

)

6)(3(617

.17)()()(=++=

=c c c c c c jw jw jw jw H jw G w A

解得： c w =0.92 rad/s

相角裕度：)()(180c c jw H jw G ∠+=?γ=64.1?

幅值裕度h 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h 倍，则系统将处于临界稳定状态。设x w 为系统的穿越频率，则在x w 处的相角： =

)(x w ?)()(x x jw H jw G ∠=π)12(+k ； ,1,0±=k

由上式得)()(c c jw H jw G ∠=180?

=x w 4.24 rad/s

幅值裕度为 )()(lg 20)(x x jw H jw G dB h -==19.3dB

上述为笔算结果，通过MATLAB 绘制的Bode 图中得到的相角裕度γ为64?，幅值裕度为19.3dB ，两种方法得到结果基本吻合。

7加入非线性环节判断稳定性

图7 加非线性环节系统结构图

在比较点与开环传递函数之间加一个死区特性非线性环节，如图6所示。

7.1求死区特性环节的描述函数

由正弦输入信号)(t x 、死区特性)(x y 可得死区特性环节输出的数学表达式为

由于)(t y 为奇函数，所以0A =0,01=A ,而)(t y 又为半周期内对称，故

??

?

≤≤-≤≤=2

/)sin (00)(101πψψwt e wt A K wt t y A

e 01arcsin

=ψwtdwt

t y wtdwt t y B sin )(4

sin )(1

20

20

1?

?

=

=

π

π

ππ4

π

死区特性的描述函数为

代入得：01,2e k ==即得到

描述函数为

7.2根据负倒描述函数和Nyquist 图判断系统的稳定性

据图2得，对于线性环节，1211

17.617,,36

K T T ===

解得穿越频率为：

非线性环节为死区特性，负倒描述函数为

即)(/1A N -的曲线如图7中横轴射线所示。 即)

(1

A N -

曲线此时在实轴上由-∞指向-0.5的直线，而此时奈氏曲线过负实轴0

2000,])(1arcsin 2[2e A A

e A e A e KA ≥---=

π

π0

2000,])(1arcsin 2[2)(e A A

e A e A e K A N ≥---=

π

π1

,])1(111arcsin 2[4)(2≥---=

A A

A A A N ππ24.41

2

1==

T T w c 597

.1)(2

12

1-=+-

=T T T KT jw G X ])1

(111arcsin 2[41

)(12A

A A A N ----=

-

ππ,0)

0(1

=-

A 2

1

)(1-=∞-

A

交于-0.02833，没有包围)

(1

A N -

曲线，根据非线性系统稳定判据（若G Γ曲线不包围负倒数描述函数曲线，则非线性系统稳定;若包围，则系统不稳定），该系统稳定。

图8 负倒描述函数曲线与)(s G 的Nyquist 曲线

8 设计体会

通过这次自动控制原理课程设计，我学到了关于MATLAB 方面的很多知识，MATLAB 它有着强大的数据处理能力，处理速度快，精度高，它不仅可以用来绘制曲线，而且可以用来帮助解方程，以及做仿真处理，帮助验证理论分析的真确性。

这次我做的是一个三阶系统的综合分析和设计，主要完成的任务是绘制根轨迹﹑绘制单位阶跃响应﹑求稳态误差﹑绘制BODE 图和Nyquist 曲线﹑求幅值裕度和相角裕度以及加入非线性死区利用负倒描述函数和Nyquist 曲线来判断系统的稳定性。这些问题在课堂上老师都讲过，但是做起课程设计时还是遇到了一点困难，对于加入非线性死区利用负倒描述函数和Nyquist 曲线来判断系统的稳定性这方面我比较陌生。但是通过翻阅资料，认真分析，我最终还是解决了问题。

根轨迹法是一种十分便捷得分析和设计线性定常控制系统的图解方法，了解到

根轨迹的基本概念、根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、

极点之间的关系推导出根轨迹方程，把他转化为常用的相角条件和模值条件形式，最终会出根轨迹。

对于不能采用一、二及系统近似的高阶系统来说，其动态性能指标的确定比较复杂，通过用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，从而得到高阶系统动态性能指标的估算公式。

由于非线性系统形式多样，一般难以求得非线性微分方程的解析解，只能采用工程上的近似方法，如相平面法、描述函数法、逆系统法等，本次课设中运用描

述函数法分析含有死区特性环节的非线性系统。

这次课程设计是对平时学习的一个检验，我不仅学会了用理论来分析检验实

践，也学会了用实践来验证理论，总的来说，通过这次课程设计我受益匪浅。

参考文献

[1] 胡寿松. 自动控制原理. 北京:科学出版社，2007（第五版）

[2] 李国勇，谢克明. 控制系统数字仿真与CAD. 北京:电子工业出版社，2003（第一版）

[3]陈怀琛，吴大正，高西全. MATLAB及在电子信息课程中的应用. 北京:电子

工业出版社，2006（第一版）

[4] 武嘉. 辅助控制系统设计与仿真. 北京:电子工业出版社，2005（第一版）

[5] 王晓燕，冯江等. 自动控制理论实验与仿真. 广州:华南理工大学出版社，

2006（第一版）