高考导数题型大全及答案
第三讲导数的应用
研热点（聚焦突破）
类型一利用导数研究切线问题
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x
0处的导数f′(x
)就是曲线y＝f(x)在点(x
，f(x
))处的切线的斜率，即k＝f′(x
)；
(2)曲线y＝f(x)在点(x
0，f(x
))处的切线方程为y－f(x
)＝f′(x
)(x－x
)．
[例1](2012年高考卷改编)设函数f(x)＝a e x＋
1
a e x＋b(a>0)．在点(2，f(2))处的切线方程为y
＝3
2x，求a，b的值．[解析]∵f′(x)＝a e
x－
1
a e x，
∴f′(2)＝a e2－
1
a e2＝
3
2，解得a e
2＝2或a e2＝－
1
2(舍去)，
所以a＝
2
e2，代入原函数可得2＋
1
2＋b＝3，即b＝
1
2，故
a＝
2
e2
，b＝
1
2
.
跟踪训练
已知函数f(x)＝x3－x.
(1)求曲线y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程；
(2)若过x轴上的点(a，0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线，求a的取值围．
解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，
即y＝(3t2－1)·x－2t3，将点(1，0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0，解得t＝1或－1
2
，代入y
＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－1
4
x＋
1
4
.
(2)由(1)知若过点(a，0)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实
根，记g(t)＝2t3－3at2＋a.
则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．
当a>0时，函数g(t)的极大值是g(0)＝a，极小值是g(a)＝－a3＋a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a>0且－a3＋a<0，即a>0且a2－1>0，即a>1；
当a＝0时，函数g(t)单调递增，方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；
当a<0时，函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a，极小值是g(0)＝a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a<0且－a3＋a>0，即a<0且a2－1>0，即a<－1.
综上所述，a的取值围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
类型二利用导数研究函数的单调性
函数的单调性与导数的关系
在区间(a，b)，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．
[例2](2012年高考卷改编)已知函数f(x)＝ln
x
x k
e
(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底
数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
[解析](1)由f(x)＝ln x＋k
e x，
得f′(x)＝1－kx－x ln x
x e x，x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．
令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0，1)时，h(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又e x>0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
跟踪训练
若函数f(x)＝ln x－1
2ax
2－2x存在单调递减区间，数a的取值围．
解析：由题知f′(x)＝1
x－ax－2＝－
ax2＋2x－1
x，因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)＝
－ax2＋2x－1
x≤0有解．又因为函数的定义域为(0，＋∞)，则应有ax
2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上
有实数解．
(1)当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解；
(2)当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，要使ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有实数
解，则Δ＝44a
+>0，此时－1 (3)当a＝0时，显然符合题意． 综上所述，实数a的取值围是(－1，＋∞)． 类型三利用导数研究函数的极值与最值 1．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根x ； (3)检查f′(x)在x＝x 左右的符号； ①左正右负?f(x)在x＝x 处取极大值； ②左负右正?f(x)在x＝x 处取极小值． 2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)的极值(极大值或极小值)； (2)将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[例3](2012年高考卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b， 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)． 即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b. 解得a＝3，b＝3. (2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝1 4a 2时， h(x)＝x3＋ax2＋1 4a 2x＋1， h′(x)＝3x2＋2ax＋1 4a 2. 令h′(x)＝0，得x1＝－a 2，x2＝－ a 6. a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下： 所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞，－a 2)和(－ a 6，＋∞)；单调递减区间为(－ a 2，－ a 6)． 当－a 2≥－1，即0 函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2. 当－a 2<－1，且－a