(湖南专用)2020届高考数学一轮复习方案 滚动基础训练卷(5) 理 (含解析)
45分钟滚动基础训练卷(五)
(考查范围：第17讲～第24讲，以第21讲～第24讲内容为主 分值：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2013·开封模拟] 设sin π4＋θ＝1
3
，则sin2θ＝( )
A ．－79
B ．－19
C.19
D.79
2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2
A ＝2a ，则
b
a
＝( )
A ．2 3
B ．2 2 C. 3 D. 2
3．[2013·常德一中月考] 在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则△ABC 中最短边的长等于( )
A.63
B.62
C.
32 D.12
4．[2013·长春模拟] 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝25
5.
则cos(α－β)的值为( )
A.13
B.23
C.35
D.45
5．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )
A ．2 B.1
2
C ．3 D.1
3
6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知b 2
＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝7
8
，则△ABC 的面积等于( )
A.17
B.15
C.152 D ．3
7．已知函数f (x )＝2sin 2
?
??
??π4＋x －3cos2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关
于点? ????－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α＝( )
A.π3
B.π4
C.π2
D.π6
8．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π
6
个单位长度，平移后的部分图象如图G5－
1所示，则平移后的图象
图G5－1
所对应函数的解析式是( )
A ．y ＝sin ?
????x ＋π6
B ．y ＝sin ?
????x －π6
C ．y ＝sin ?
????2x ＋π3 D ．y ＝sin ?
????2x －π3 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9．已知sin α＝12＋cos α，且α∈? ????0，π2，则cos2αsin ? ????α－π4的值为________．
10．在△ABC 中，B ＝60°，AC
________．
11．[2013·九江高三联考] 如图G5－2，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°.则塔高AB ＝________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知向量a ＝? ??
??12，32，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈? ????0，π2.
(1)若a ∥b ，求sin x 和cos2x 的值；
(2)若a ·b ＝2cos ? ????12k π＋13π6＋x (k ∈Z )，求tan ? ????x ＋5π12的值．
13．[2013·衡阳八中测试] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →
.
(1)求角B 的大小；
(2)若|BA →－BC →
|＝6，求△ABC 面积的最大值．
14．如图G5－3，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？
45分钟滚动基础训练卷(五)
1．A [解析] 将sin π4＋θ＝13展开得22(cos θ＋sin θ)＝13，两边平方得1
2
(1＋sin2θ)
＝19，所以sin2θ＝－79. 2．D [解析] 由正弦定理，得sin 2
A sin
B ＋sin B cos 2
A ＝2sin A ，即sin
B ·(sin 2
A ＋cos 2
A )
＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B
sin A
＝ 2.
3．A [解析] 由已知可得A ＝75°，则△ABC 中最短的边是b ，由正弦定理得b ＝c sin B
sin C
＝63
. 4．C [解析] ∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2
＝45
，
又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，
∴a 2＝b 2
＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．
∴cos(α－β)＝2－
452＝3
5
.
5．B [解析] 因为sin β＝m sin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin
α]，也即(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )·cos(α＋β)sin α，所以tan （α＋β）tan α＝
1＋m
1－m
＝3，所以m ＝1
2
.
6．C [解析] ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2
＝0. 即(b ＋c )·(b －2c )＝0.∴b ＝2c .
又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7
8
，
解得c ＝2，b ＝4.
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－? ??
??782＝152.
7．C [解析] ∵f (x )＝2sin 2? ????π
4＋x －3cos2x －1＝2sin ?
????2x －π3，
∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ?
????2x ＋2α－π3. 因为函数h (x )的图象的对称中心为? ??
??－π3，0， ∴－2π3＋2α－π
3＝k π，k ∈Z .
∴α＝（k ＋1）π2.又α∈(0，π)．∴α＝π2
.
8．C [解析] 将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π
6
个单位长度，平移后的图象所
对应的解析式为y ＝sin ω? ????x ＋π6，由图象知，ω? ????7π12＋π6＝3π
2，所以ω＝2.
9．－
142 [解析] 依题意得sin α－cos α＝12
，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2
＝2，即(sin α＋cos α)2＋? ????122＝2，故(sin α＋cos α)2
＝74；又α∈?
????0，π2，因此有sin α
＋cos α＝72，所以cos2αsin ?
????α－π4＝cos 2
α－sin 2
α22（sin α－cos α）＝－2(sin α＋cos α)＝－14
2.
10．27 [解析] 在△ABC 中，根据AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝3
3
2
sin C ＝
2sin C ，同理BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin ? ??
??23π－C ＝4sin C ＋23cos C ＝27sin(C ＋φ)? ?
?
??
tan φ＝
32，因此AB ＋2BC 的最大值为27. 11．15 6 [解析] 因为∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，所以∠CBD ＝135°，在三角形BCD
中，根据正弦定理可知CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，即30sin135°＝BC
sin30°，解得BC ＝152，在直
角△ABC 中，tan60°＝AB BC
＝3，所以AB ＝3BC ＝3×152＝15 6.
12．解：(1)∵a∥b ，∴12sin x ＝3
2
cos x .
于是sin x ＝3cos x ，又∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴cos 2
x ＝14
，
又∵x ∈?
????0，π2，∴sin x ＝1－cos 2
x ＝
1－14＝3
2
. cos2x ＝2cos 2
x －1＝12－1＝－12
.
(2)∵a·b ＝12cos x ＋32sin x ＝cos π6sin x ＋sin π
6cos x
＝sin ?
????x ＋π6，
而2cos ? ????x ＋12k π＋13π6＝2cos ? ????2k π＋x ＋π6＋2π＝2cos ?
????x ＋π6(k ∈Z )，
于是sin ? ????x ＋π6＝2cos ? ????x ＋π6，即tan ?
????x ＋π6＝2.
∴tan ? ????x ＋5π12＝tan ??????? ????x ＋π6＋π4
＝tan ? ????x ＋π6＋tan
π41－tan ?
????x ＋π6·tan π4＝2＋1
1－2×1＝－3.
13．解：(1)由题意，条件可化为(2a －c )ac cos B ＝cab cos C ，即(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，又∵sin A >0，
∴cos B ＝12，即B ＝π
3.
(2)由题意知b ＝6，由余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝a 2
＋c 2
－ac ，
由基本不等式可知6＝a 2＋c 2
－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤6.
故S ＝12ac sin B ≤12×6×32＝332，当△ABC 为正三角形时，最大面积为332.
14．解：由题意知AB ＝5(3＋3) n mile ， ∠DBA ＝90°－60°＝30°， ∠DAB ＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得
DB
sin ∠DAB
＝
AB
sin ∠ADB
，∴DB ＝
AB ·sin ∠DAB
sin ∠ADB
＝5（3＋3）·sin45°
sin105°
＝5（3＋3）·sin45°
sin45°cos60°＋cos45°sin60°
＝
53（3＋1）
3＋12
＝103(n mile)．
又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(n mile)，
在△DBC 中，由余弦定理得
CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×103×203×1
2
＝900，
∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝30
30
＝1(h)．
答：救援船到达D 点需要1 h.