2019年江苏连云港中考数学试题(解析版)

{来源}2019年连云港中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年江苏省连云港市中考数学试卷

{题型:1－选择题}一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，合计分． {题目}1．（2019年连云港）﹣2的绝对值是

A ．﹣2

B ．12-

C ．2

D ．12

{答案}C

{解析}本题考查了，绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．因此本题选C ． {分值}3

{章节:[1－1－2－4]绝对值} {考点:绝对值的性质} {类别:常考题} {难度:1－最简单}

{题目}2．（2019年连云港）x 的取值范围是 A ．x ≥1 B ．x ≥0 C ．x ≥﹣1 D ．x ≤0 {答案}A

{解析}本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．因此本题选A ． {分值}3

{章节:[1－16－1]二次根式}

{考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题} {难度:1－最简单}

{题目}3．（2019年连云港）计算下列代数式，结果为x 5的是

A ．23x x +

B ．5x x ?

C ．6x x -

D ．552x x - {答案}D

{解析}本题考查了合并同类项法则，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．因此本题选D ． {分值}3

{章节:[1－2－2]整式的加减} {考点:合并同类项} {类别:常考题} {难度:1－最简单}

{题目}4．（2019年连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是

{答案}B

{解析}本题考查了复原几何体，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查空间想象能力．因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1－4－1－1]立体图形与平面图形}

{考点:几何体的展开图}

{类别:常考题}

{难度:1－最简单}

{题目}5．（2019年连云港）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是

A．3，2 B．3，3 C．4，2 D．4，3

{答案}A

{解析}本题考查了本题结合众数与中位数考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．众数是出现次数最多的数．把已知按照由小到大的顺序排序后为2，2，3，4，5，∴中位数为3，∵2出现的次数最多，∴众数为2．因此本题选A．

{分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}

{考点:中位数}{考点:众数}

{类别:常考题}

{难度:2－简单}

{题目}6．（2019年连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似

A．①处B．②处 C．③处 D．④处

{答案}B

{解析}本题考查了本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、25、42；

“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为5，“车”②之间的距离为22，

∵

5

25

＝

22

42

＝

1

2．∴马应该落在②的位置，因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}

{考点:相似三角形的性质}

{类别:高度原创}{类别:常考题}

{难度:3－中等难度}

{题目}7．（2019年连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是

A．18m2B．2C．m2D m2

{答案}C

{解析}本题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ， 则四边形ADCE 为矩形，CD ＝AE ＝x ，∠DCE ＝∠CEB ＝90°， 则∠BCE ＝∠BCD ﹣∠DCE ＝30°，BC ＝12﹣x ， 在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°， ∴BE ＝12BC ＝6﹣1

2x ， ∴AD ＝CE ＝3BE ＝63﹣

32x ，AB ＝AE +BE ＝x +6﹣12x ＝1

2

x +6， ∴梯形ABCD 面积S ＝12（CD +AB ）?CE ＝12（x +12x +6）?（63﹣32x ）＝﹣338x 2

+33x +183＝﹣

33

8

（x ﹣4）2+243，∴当x ＝4时，S 最大＝243． 即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为243m 2．

因此本题选C ．

{分值}3

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {考点:几何图形最大面积问题} {类别:发现探究}{类别:常考题} {难度:3－中等难度}

{题目}8．（2019年连云港）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝A B ．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①△CMP 是直角三角形；②点C 、

E 、G 不在同一条直线上；③PC ＝

2；④BP ＝2

AB ；⑤点F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

{答案}B

{解析}本题考查了本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，∴∠DMC ＝∠EMC ，∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，∴∠AMP ＝∠EMP ，∵∠AMD ＝180°，∴∠PME +∠CME ＝1

2×180°＝

90°，∴△CMP 是直角三角形；故①正确；

∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，∴∠D ＝∠MEC ＝90°，∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，∴∠MEG ＝∠A ＝90°，∴∠GEC ＝180°，∴点C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误；

∵AD ＝22AB ，∴设AB ＝x ，则AD ＝22x ，∵将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ； ∴DM ＝1

2AD ＝2x ，∴CM ＝DM 2＋CD 2＝3x ，∵∠PMC ＝90°，MN ⊥PC ， ∴CM 2

＝CN ?CP ，∴CP ＝3x 22x ＝32

x ，∴PN ＝CP ﹣CN ＝22x ，∴PM ＝62x ， ∴

PC

PM

＝3，∴PC ＝3MP ，故③错误；

∵PC ＝32x ，∴PB ＝22x ﹣32x ＝22x ，∴AB PB ＝x 22

x

，∴PB ＝2AB ，故④， ∵CD ＝CE ，EG ＝AB ，AB ＝CD ，∴CE ＝EG ，∵∠CEM ＝∠G ＝90°，∴FE ∥PG ，∴CF ＝PF ， ∵∠PMC ＝90°，∴CF ＝PF ＝MF ，∴点F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确．

因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1-24-2-1]点和圆的位置关系} {考点:三角形的外接圆与外心} {类别:高度原创}{类别:常考题} {难度:5－高难度}

{题型:2－填空题}

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分．

{题目}9．（2019年连云港）64的立方根是 ．{答案}4

{解析}本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．因此本题填4． {分值}3

{章节:[1-6-2]立方根} {考点:立方根} {类别:常考题} {难度:1－最简单}

{题目}10．（2019年连云港）计算2

(2)x ＝ ．{答案}x 2－4x ＋4

{解析}本题考查了完全平方公式，需要注意完全平方公式与平方差公式的区别．因此本题填

4﹣4x +x 2．

{分值}3

{章节:[1-14-2]乘法公式} {考点:完全平方公式} {类别:常考题} {难度:1－最简单}

{题目}11．（2019年连云港）连镇铁路正线工程的投资总额约为46 400 000 000元．数据“46 400 000 000”用科学记数法可表示为 ．{答案}4.64×1010

{解析}本题考查了本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a 与10的n 次幂相乘的形式（1≤a ＜10，n 为整数），这种记数法叫做科学记数法．因此本题填4.64×1010． {分值}3

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1－最简单}

{题目}12．（2019年连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 ．{答案}6π

{解析}本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此本题填6π． {分值}3

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:圆锥侧面展开图} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2－简单}

{题目}13．（2019年连云港）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为 ．

{答案}6

{解析}本题考查了运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．∵∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，又OB ＝OC ，∴△BOC 是等边三角形∴OB ＝BC ＝6．

因此本题填6． {分值}3

{章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆周角定理} {类别:常考题} {难度:2－简单}

{题目}14．（2019年连云港）已知关于x 的一元二次方程2

220ax x c ++-=有两个相等的实数根，

则

1

c a

+的值等于 ．{答案}2

{解析}本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据题意得：

△＝4﹣4a （2﹣c ）＝0，整理得：4ac ﹣8a ＝﹣4，4a （c ﹣2）＝﹣4，∵方程ax 2+2x +2﹣c ＝0是一元二次方程，∴a ≠0，等式两边同时除以4a 得：c ﹣2＝﹣1a ，则1

a

+c ＝2． 因此本题填2． {分值}3

{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:根的判别式} {类别:常考题} {难度:2－简单}

{题目}15．（2019年连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为(1，2，5)，点B 的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C 的坐标可表示为 ．

{答案}（2，4，2）

{解析}本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．根据点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．

因此本题填（2，4，2）． {分值}3

{章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {考点:点的坐标的应用}

{类别:高度原创}{类别:新定义} {难度:4－较高难度}

{题目}16．（2019年连云港）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以点C 为圆心作OC 与直

线BD 相切，点P 是OC 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则

AP

AT

的最大值是 ．

{答案}3

{解析}本题考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．如图，过点P 作PE ∥BD 交AB 的延长线于E ，∴∠AEP ＝∠ABD ，△APE ∽△ATB ，∴AP

AT ＝

AE AB ，∵AB ＝4，∴AE ＝AB +BE ＝4+BE ，∴AP AT ＝1＋BE 4，∴BE 最大时，AP

AT 最大，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝3，CD ＝AB ＝4，过点C 作CH ⊥BD 于H ，交PE 于M ，并延长交AB 于G ，∵BD 是⊙C 的切线，∴∠GME ＝90°，在Rt △BCD 中，BD ＝5，∵∠BHC ＝∠BCD ＝90°，∠CBH ＝∠DBC ，∴△BHC ∽△BCD ，∴BH BC ＝CH DC ＝BC BD ，∴BH 3＝CH 4＝35，∴BH ＝95，CH ＝12

5，∵∠BHG ＝∠BAD ＝

90°，∠GBH ＝∠DBA ，∴△BHG ∽△BAD ，∴HG AD ＝BG BD ＝BH AB ，∴HG 3＝BG 5＝9

54，∴HG ＝27

20，BG ＝

94，在Rt △GME 中，GM ＝EG ?sin ∠AEP ＝EG ×35＝35EG ，而BE ＝GE ﹣BG ＝GE ﹣9

4

，

∴GE 最大时，BE 最大，∴GM 最大时，BE 最大，∵GM ＝HG +HM ＝27

20+HM ，即：HM 最大时，

BE 最大，延长MC 交⊙C 于P '，此时，HM 最大＝HP '＝2CH ＝245，∴GP '＝HP '+HG ＝123

4， 过点P '作P 'F ∥BD 交AB 的延长线于F ，∴BE 最大时，点E 落在点F 处，即：BE 最大＝BF ， 在Rt △GP 'F 中，FG ＝GP ′sin ∠F ＝GP ′

sin ∠ABD

＝123

4 35＝414， ∴BF ＝FG ﹣BG ＝8，∴AP AT 最大值为1+8

4

＝3．

因此本题填3． {分值}3

{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}

{考点:几何填空压轴}{考点:几何综合}{考点:切线的性质}{考点:三角函数的关系}{考点:相似三角形的应用} {类别:高度原创} {难度:5－高难度}

{题型:4－解答题}三、解答题：本大题共11小题，合计102分．

{题目}17．（2019年连云港）

计算：1

1(1)2()3

--?+．

{解析}本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整数指数幂．

{答案}解： 原式＝－2＋2＋3＝3 {分值}6

{章节:[1-6-3]实数} {难度:1－最简单} {类别:常考题}

{考点:简单的实数运算}

{题目}18．（2019年连云港）解不等式组：24

12(3)1x x x >-??-->+?

．

{解析}本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的

口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． {答案}解： 解不等式2x ＞－4，得x ＞－2， 解不等式1－2（2x －3）＞x ＋1，得x ＜2， 所以原不等式组的解集是－2＜x ＜2． {分值}6

{章节:[1-9-3]

一元一次不等式组}

{难度:1－最简单} {类别:常考题}

{考点:解一元一次不等式组}

{题目}19．（2019年连云港）化简：

2

2

(1)42

m m m ÷+--． {解析}本题考查了分式的混合运算．解决本题的关键是掌握分式的运算顺序和分式加减乘除的运算

法则．

{答案}解： 原式＝m

（m ＋2）（m －2）÷m －2＋2m －2

＝m

（m ＋2）（m －2）×m －2m

＝1

m ＋2

{分值}6

{章节:[1-15-2-1]分式的乘除} {难度:2－简单}

{类别:常考题}{类别:易错题} {考点:分式的混合运算}

{题目}20．（2019年连云港）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学

生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2~4小时(含2小时)，4~6小时(含4小时)，6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．

（1）本次调查共随机抽取了 名中学生，其中课外阅读时长“2~4小时”的有 人； （2）扇形统计图中，课外阅读时长“4~6小时”对应的圆心角度数为 °；

（3）若该地区共有2000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人

数．

{解析}本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利

用数形结合的思想解答．（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数和课外阅读时长“2～4小时”的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数；（3）根据统计图的数据可以计算出该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．

{答案}解： （1）200,400； （2）144； （3）20000×（40%＋25%）＝13000（人）

答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的约有13000人．

{分值}8

{章节:[1-10-2]直方图} {难度:1－最简单} {类别:常考题}

{考点:扇形统计图}{考点:条形统计图}{考点:用样本估计总体}

{题目}21．（2019年连云港）现有A 、B 、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各1

个，B 盒中装有红球、黄球各1个，C 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A 、B 、C 三个盒子中任意摸出一个球． （1）从A 盒中摸出红球的概率为 ；

（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．

{解析}本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．（1）从A 盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，由概率公式即可得出结果．

{答案}解：（1）从A 盒子中摸出红球的概率为1

3

；

（2）列出树状图如图所示：

由图可知，共有12种等可能的结果，其中至少有一个红球的结果有10种．

所以，P （摸出的三个球中至少有一个红球）＝1012＝5

6

．

{分值}10

{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:2－简单} {类别:常考题} {考点:三步事件}

{题目}22．（2019年连云港）如图，在△ABC 中，AB ＝A C ．将△ABC 沿着BC 方向平移得到△DEF ，其中点E 在边BC 上，DE 与AC 相交于点O ． （1）求证：△OEC 为等腰三角形；

（2）连接AE 、DC 、AD ，当点E 在什么位置时，四边形AECD 为矩形，并说明理由．

{解析}本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可；

（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．

{答案}解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB

∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE

∴∠ABC＝∠DEF，∴∠DEF＝∠ACB

即△OEC为等腰三角形

（2）当E为BC中点时，四边形AECD为矩形

∵AB＝A C．且E为BC中点，

∴．AE⊥B C．BE＝EC

∵△ABC平移得到△DEF，

∴BE//A D．BE＝AD

∴AD//E C.AD＝EC

∴四边形AECD为平行四边形

又∵AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形．

{分值}10

{章节:[1-18-2-1]矩形}

{难度:3－中等难度}

{类别:常考题}

{考点:矩形的性质}

{题目}23．（2019年连云港）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

{解析}本题考查了一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．（1）利润y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产1吨甲产品的利润0.3万元×甲产品的吨数x，即0.3x万元，生产乙产品的利润＝生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数（2500﹣x），即0.4（2500﹣x）万元．（2）由（1）得y是x的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x的取值范围再确定当x取何值时，利润y最大．

{答案}解：(1)y＝x×0.3＋( 2500－x)×0.4＝－0.1x＋1000

(2)由题意得：x×0.25＋( 2500－x)×0.5≤1000，解得z≥1000

又因为x≤2500．所以1000≤x≤2500

由(1)可知，－0.1＜0，所以y的值随着x的增加而减小

所以当x＝ 1000时，y取最大值，此时生产乙种产品2500－1000 ＝1500（吨）

答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润．

{分值}10

{章节:[1-19-4]课题学习选择方案}

{难度:3－中等难度} {类别:常考题} {考点:调配问题}

{题目}24．（2019年连云港）如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海

里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；

（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私

艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈35，cos37 ＝sin53°≈45，tan37°≈3

4，tan76°≈4）

{解析}本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．

{答案}解： （1）在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣∠B ﹣∠BAC ＝180°﹣37°﹣53°＝90°． 在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，∴AC ＝AB ?sin37°＝25×3

5＝15（海里）． 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，由题意易知，D 、C 、M 在一条直线上．

在Rt △AMC 中，CM ＝AC ?sin ∠CAM ＝15×35＝12，AM ＝AC ?cos ∠CAM ＝15×3

5＝9． 在Rt △AMD 中，tan ∠DAM ＝

DM

AM

，∴DM ＝AM ?tan76°＝9×4＝36，∴AD ＝917， CD ＝DM ﹣CM ＝36﹣12＝24．

设缉私艇的速度为x 海里/小时，则有2416＝917

x ，解得x ＝617． 经检验，x ＝617是原方程的解．

答：当缉私艇的速度为617海里/小时时，恰好在D 处成功拦截．

{分值}10

{章节:[1-28-2-2]非特殊角} {难度:3－中等难度} {类别:常考题}

{考点:解直角三角形－方位角}

{题目}25．（2019年连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y x b =-+的图像与函数

k

y x

=

(x ＜0)的图像相交于点A (﹣1，6)，并与x 轴交于点C ．点D 是线段AC 上一点，△ODC 与△OAC 的面积比为2：3． （1）k ＝ ，b ＝ ； （2）求点D 的坐标；

（3）若将△ODC 绕点O 逆时针旋转，得到△△OD ′C ′，其中点D ′落在x 轴负半轴上，判断点

C ′是否落在函数k

y x

=

(x ＜0)的图像上，并说明理由．

{解析}本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．（1）将A （﹣1，6）代入y ＝﹣x +b 可求出b 的值；将A （﹣1，6）代入y ＝k

x

可求出k 的值； （2）过点D 作DM ⊥x 轴，垂足为M ，过点A 作AN ⊥x 轴，垂足为N ，由△ODC 与△OAC 的面积比为2：3，可推出DN AN ＝2

3，由点A 的坐标可知AN ＝6，进一步求出DM ＝4，即为点D 的纵坐标，把y ＝4

代入y ＝﹣x +5中，可求出点D 坐标；

（3）过点C '作C 'G ⊥x 轴，垂足为G ，由题意可知，OD '＝OD ＝17，由旋转可知S △ODC ＝S △OD 'C '，可

求出C 'G ＝

2017

17，在Rt △OC 'G 中，通过勾股定理求出OG 的长度，即可写出点C '的坐标，将其坐标代入y ＝﹣6x 可知没有落在函数y ＝k

x

（x ＜0）的图象上．

{答案}解： （1）将A （﹣1，6）代入y ＝﹣x +b ，得，6＝1+b ，∴b ＝5，将A （﹣1，6）代入y ＝k

x ，

得，6＝k

－1

，∴k ＝﹣6，故答案为：﹣6，5；

（2）如图1，过点D 作DM ⊥x 轴，垂足为M ，过点A 作AN ⊥x 轴，垂足为N ，

∵S △ODC

S △OAC ＝1

2OC ?DM 1

2OC ?AN ＝23，∴DN AN ＝23，又∵点A 的坐标为（﹣1，6），∴AN ＝6，∴DM ＝4，即点D

的纵坐标为4，把y ＝4代入y ＝﹣x +5中，得，x ＝1，∴D （1，4）；

（3）由题意可知，OD '＝OD ＝17， 如图2，过点C '作C 'G ⊥x 轴，垂足为G ，

∵S △ODC ＝S △OD 'C '，∴OC ?DM ＝OD '?C 'G ，即5×4＝17C 'G ，∴C 'G ＝2017

17， 在Rt △OC 'G 中，∵OG ＝51717，∴C '的坐标为（﹣51717，201717）， ∵（﹣51717）×201717≠﹣6， ∴点C '不在函数y ＝﹣6

x

的图象上．

{分值}10

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:4－较高难度} {类别:高度原创}

{考点:二次函数与平行四边形综合}

{题目}26．（2019年连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L 1：2

y x bx c =++过点

C (0，﹣3)，与抛物线L 2：213

222

y x x =-

-+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L

1、抛物线L 2上的动点．

（1）求抛物线L 1对应的函数表达式；

（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标；

（3）设点R 为抛物线L 1上另一个动点，且CA 平分∠PCR ，若OQ ∥PR ，求出点Q 的坐标．

{解析}本题考查了二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，解直角三角形的应用，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，动点问题探究，突破第（2）题的方法是分情况讨论；突破第（3）的方法是作直角三角形，构造相似三角形，用相似三角形的相似比列方程．（1）先求出A 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可； （2）设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），分两种情况讨论：AC 为平行四边形的一条边，AC 为平行四边形的一条对角线，用x 表示出Q 点坐标，再把Q 点坐标代入抛物线L 2：y ＝﹣12x 2﹣3

2x +2中，

列出方程求得解便可；

（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L 1不存在点R 使得CA 平分∠PCR ，当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P

在CA 的上方，点R 在CA 的下方，过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ，过点P 作PH ⊥TR 于点H ，设点P 坐标为（x 1，x 12－2x 1－3），点R 坐标为（x 2，x 22－2x 2－3），证明△PSC ∽△RTC ，由

相似比得到x 1+x 2＝4，进而得tan ∠PRH 的值，过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，设点Q 坐标为（m ，﹣1

2

m 2﹣

3

2m +2），由tan ∠QOK ＝tan ∠PRH ，移出m 的方程，求得m 便可．

{答案}解：（1）将x ＝2代入y ＝﹣12x 2﹣3

2

x +2，得y ＝﹣3，故点A 的坐标为（2，﹣3）， 将A （2，﹣1），C （0，﹣3）代入y ＝x 2

+bx +c ，得???－3＝22＋2b ＋c －3＝0＋0＋c ，解得???b ＝－2c ＝－3

，

∴抛物线L 1：y ＝x 2﹣2x ﹣3；

（2）设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3）， 第一种情况：AC 为平行四边形的一条边，

①当点Q 在点P 右侧时，则点Q 的坐标为（x +2，﹣2x ﹣3），将Q （x +2，﹣2x ﹣3）代入y ＝﹣1

2x 2

﹣32x +2，得﹣2x ﹣3＝﹣12（x +2）2﹣3

2

（x +2）+2，解得，x ＝0或x ＝﹣1， 因为x ＝0时，点P 与C 重合，不符合题意，所以舍去，此时点P 的坐标为（﹣1，0）；

②当点Q 在点P 左侧时，则点Q 的坐标为（x ﹣2，x 2﹣2x ﹣3），

将Q （x ﹣2，x 2﹣2x ﹣3）代入y ＝﹣12x 2﹣32x +2，得y ＝﹣12x 2﹣32x +2，得x 2﹣2x ﹣3＝﹣1

2（x ﹣2）2

﹣32（x ﹣2）+2，解得，x ＝3，或x ＝﹣43，此时点P 的坐标为（3，0）或（﹣43，13

9）； 第二种情况：当AC 为平行四边形的一条对角线时，

由AC 的中点坐标为（1，﹣3），得PQ 的中点坐标为（1，﹣3），故点Q 的坐标为（2﹣x ，﹣x 2+2x ﹣3），将Q （2﹣x ，﹣x 2+2x ﹣3）代入y ＝﹣12x 2﹣32x +2，得﹣x 2+2x ﹣3═﹣12（2﹣x ）2﹣

32（2﹣x ）+2，解得，x ＝0或x ＝﹣3，

因为x ＝0时，点P 与点C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P 的坐标为（﹣3，12），

综上所述，点P 的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣43，13

9

）或（﹣3，12）； （3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L 1不存在点R 使得CA 平分∠PCR ，当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方，过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ，过点P 作PH ⊥TR 于点H ，则有∠PSC ＝∠RTC ＝90°，由CA 平分∠PCR ，得∠PCA ＝∠RCA ，则∠PCS ＝∠RCT ，∴△PSC ∽△RTC ，∴

PS CS ＝RT

CT

， 设点P 坐标为（x 1，x 12－2x 1－3），点R 坐标为（x 2，x 22－2x 2－3）， 所以有x 1 x 12－2x 1－3－（－3）＝x 2

－3－（x 22

－2x 2－3）

，整理得，x 1+x 2＝4，

在Rt △PRH 中，tan ∠PRH ＝PH RH ＝x 12－2x 1－3－（x 22－2x 2－3）

x 1－x 2

＝x 1+x 2－2＝2 过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，设点Q 坐标为（m ，﹣12m 2﹣3

2m +2），若OQ ∥PR ，则需∠QOK ＝∠

PRH ，所以tan ∠QOK ＝tan ∠PRH ＝2，所以2m ＝﹣12m 2﹣3

2m +2， 解得，m ＝－7±652

， 所以点Q 坐标为（－7＋652，﹣7+65）或（－7－652

，﹣7﹣65）．

{分值}12

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}

{难度:4－较高难度}

{类别:高度原创}

{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}

{题目}27．（2019年连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC 之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上，

（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；

（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F

作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝5

2

，请直接写出FH的长．

{解析}本题考查了四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．问题情境：过点B 作BF ∥MN 分别交AE 、CD 于点G 、F ，证出四边形MBFN 为平行四边形，得出NF ＝MB ，证明△ABE ≌△BCF 得出BE ＝CF ，即可得出结论；

问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作HI ∥AB ，分别交AD 、BC 于点H 、I ，证出△DHQ 是等腰直角三角形，HD ＝HQ ，AH ＝QI ，证明Rt △AHQ ≌Rt △QIE 得出∠AQH ＝∠QEI ，得出△AQE 是等腰直角三角形，得出∠EAQ ＝∠AEQ ＝45°，即可得出结论；

（2）连接AC 交BD 于点O ，则△APN 的直角顶点P 在OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P ′与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P ′的落点为O ′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA ＝∠ADO ′＝45°，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，过点P ′作P ′H ⊥CD 交CD 延长线于点H ，连接PC ，证明△APB ≌△CPB 得出∠BAP ＝∠BCP ，证明Rt △PGN ≌Rt △NHP '

得出PG ＝NH ，GN ＝P 'H ，由正方形的性质得出∠PDG ＝45°，易得出PG ＝GD ，得出GN ＝DH ，DH ＝P 'H ，得出∠P 'DH ＝45°，故∠P 'DA ＝45°，点P '在线段DO '上运动；过点S 作SK ⊥DO '，垂足为K ，即可得出结果；

问题拓展：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，则EG ＝AG ＝5

2

，PH ＝FH ，得

出AE ＝5，由勾股定理得出BE ＝3，得出CE ＝BC ﹣BE ＝1，证明△ABE ∽△QCE ，得出QE ＝13AE ＝5

3

，

AQ ＝AE +QE ＝203，证明△AGM ∽△ABE ，得出AM ＝25

8

，由折叠的性质得：AB '＝EB ＝3，∠B '＝∠B

＝90°，∠C '＝∠BCD ＝90°，求出B 'M ＝78，AC '＝1，证明△AFC '∽△MAB '，得出AF ＝25

7

，DF ＝4

﹣257＝37，证明△DFP ∽△DAQ ，得出FP ＝57，得出FH ＝12FP ＝514． {答案}解： 问题情境：

解：线段DN 、MB 、EC 之间的数量关系为：DN +MB ＝EC ；理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠ABE ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝CD ，AB ∥CD ， 过点B 作BF ∥MN 分别交AE 、CD 于点G 、F ，如图1所示：

∴四边形MBFN 为平行四边形，∴NF ＝MB ，∴BF ⊥AE ，∴∠BGE ＝90°， ∴∠CBF +∠AEB ＝90°，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠CBF ＝∠BAE ，

在△ABE 和△BCF 中，?

????∠BAE ＝∠CBF

AB ＝BC ∠ABE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△BCF （ASA ），∴BE ＝CF ，

∵DN +NF +CF ＝BE +EC ，∴DN +MB ＝EC ； 问题探究：

解：（1）连接AQ ，过点Q 作HI ∥AB ，分别交AD 、BC 于点H 、I ，如图2所示：

∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形ABIH 为矩形，∴HI ⊥AD ，HI ⊥BC ，HI ＝AB ＝AD ， ∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠BDA ＝45°，∴△DHQ 是等腰直角三角形，HD ＝HQ ，AH ＝QI ，

∵MN 是AE 的垂直平分线，∴AQ ＝QE ，

在Rt △AHQ 和Rt △QIE 中，???AQ ＝QE

AH ＝QI

，∴Rt △AHQ ≌Rt △QIE （HL ），

∴∠AQH ＝∠QEI ，∴∠AQH +∠EQI ＝90°，∴∠AQE ＝90°，∴△AQE 是等腰直角三角形， ∴∠EAQ ＝∠AEQ ＝45°，即∠AEF ＝45°； （2）连接AC 交BD 于点O ，如图3所示： 则△APN 的直角顶点P 在OB 上运动，

设点P 与点B 重合时，则点P ′与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P ′的落点为O ′， ∵AO ＝OD ，∠AOD ＝90°，∴∠ODA ＝∠ADO ′＝45°，

当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，过点P ′作P ′H ⊥CD 交CD 延长线于点H ，连接PC ，

∵点P 在BD 上，∴AP ＝PC ，在△APB 和△CPB 中，?????AP ＝PC

BP ＝BP AB ＝BC

，∴△APB ≌△CPB （SSS ），

∴∠BAP ＝∠BCP ，∵∠BCD ＝∠MPA ＝90°，∴∠PCN ＝∠AMP ，∵AB ∥CD ， ∴∠AMP ＝∠PNC ，∴∠PCN ＝∠PNC ，∴PC ＝PN ，∴AP ＝PN ，∴∠PNA ＝45°， ∴∠PNP ′＝90°，∴∠P ′NH +PNG ＝90°， ∵∠P ′NH +∠NP ′H ＝90°，∠PNG +∠NPG ＝90°， ∴∠NPG ＝∠P ′NH ，∠PNG ＝∠NP ′H ， 由翻折性质得：PN ＝P ′N ，

在△PGN 和△NHP '中，?????∠NPC ＝∠P ′NH

PN ＝P ′N ∠PNG ＝∠NP ′H

，∴△PGN ≌△NHP '（ASA ），

∴PG ＝NH ，GN ＝P 'H ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠PDG ＝45°， 易得PG ＝GD ，∴GN ＝DH ，∴DH ＝P 'H ，∴∠P 'DH ＝45°，故∠P 'DA ＝45°， ∴点P '在线段DO '上运动；过点S 作SK ⊥DO '，垂足为K ，∵点S 为AD 的中点， ∴DS ＝2，则P 'S 的最小值为2；

问题拓展：

解：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，如图4： 则EG ＝AG ＝5

2，PH ＝FH ， ∴AE ＝5，

在Rt △ABE 中，BE ＝3， ∴CE ＝BC ﹣BE ＝1，

∵∠B ＝∠ECQ ＝90°，∠AEB ＝∠QEC ， ∴△ABE ∽△QCE ，∴

AE QE ＝BE CE ＝3，∴QE ＝13AE ＝5

3

， ∴AQ ＝AE +QE ＝20

3

，∵AG ⊥MN ，∴∠AGM ＝90°＝∠B ， ∵∠MAG ＝∠EAB ，∴△AGM ∽△ABE ，∴AM AE ＝AG AB ，即AM 5＝5

24，解得：AM ＝25

8， 由折叠的性质得：AB '＝EB ＝3，∠B '＝∠B ＝90°，∠C '＝∠BCD ＝90°， ∴B 'M ＝7

8，AC '＝1，∵∠BAD ＝90°，∴∠B 'AM ＝∠C 'FA ， ∴△AFC '∽△MAB '，∴

AF AM ＝AC ′B ′M ＝178

，解得：AF ＝257，∴DF ＝4﹣257＝3

7

， ∵AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，∴AG ∥FH ，∴AQ ∥FP ，∴△DFP ∽△DAQ ， ∴FP AQ ＝DF AD ，即FP 203

＝3

74，解得：FP ＝57，∴FH ＝12FP ＝514

．

{分值}14

{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例} {难度:5－高难度} {类别:高度原创}

{考点:几何综合}{考点:正方形有关的综合题}{考点:折叠问题

}