【精选】北师大版七年级上册数学 有理数综合测试卷(word含答案)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．同学们都知道表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：

（1）求 ________．

（2）找出所有符合条件的整数，使得．满足条件的所有整数值有________

（3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最大值或最小值？如果有最大值或最小值是多少？有最________（填“最大”或“最小”）值是________．

【答案】（1）7

（2）-3，-2，-1，0，1，2;

（3）最小；3

【解析】【解答】（1）原式=|5+2|=7.

故答案为: 7;（2）令x+3=0或x-2=0时，则x=-3或x=2.

当x<-3时，- (x+3) - (x-2) =5 ,

-x-3-x+2=5，解得x=-3(范围内不成立)

当-3≤x≤2时，(x+3) - (x-2) = 5,

x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数,

则整数x=-3，-2，-1, 0，1，

当x>2时，(x+3) + (x-2) = 5，

x=2(范围内不成立) .

综上所述，符合条件的整数x有: -3, -2, -1, 0，1，2.

故答案为:-3，-2，-1，0，1，2;(3) 由(2) 的探索猜想,对于任何有理数x，有最小值为3,

令x-3=0或x-6=0时,则x=3，x=6

当x＜3时，-(x-3)-(x-6)=-2x+3﹥3

当3≤x≤6时，x-3-(x-6)=3,

当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3

∴对于任何有理数x，有最小值为3

【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去掉绝对值就可以了；（2）要求x的整数值可以进行分段计算，令x+3=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值.（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.

2．如图，已知点A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是-20，点B对应的数是80．现在有一动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q 从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动．

（1）与、两点相等的点所对应的数是________．

（2）两动点、Q相遇时所用时间为________秒；此时两动点所对应的数是________．（3）动点P所对应的数是时，此时动点Q所对应的数是________．

（4）当动点P运动秒钟时，动点P与动点Q之的距离是________单位长度．

（5）经过________秒钟，两动点P、Q在数轴上相距个单位长度．

【答案】（1）30

（2）20；40

（3）52

（4）25

（5）12或28

【解析】【解答】（1）AB的中点C所对应的数为：；（2）设两动点相遇时间为t秒，(2+3)t=80-(-20) 解得：t=20(秒)

80-2t=80-2×20=40,或-20+3×20=40

∴此时两动点所对应的点为40；（3）22-(-20)=42, 80-42÷3×2=52

∴动点所对应的数是时，此时Q所对应的数为52；（4）∵20秒相遇，∴(2+3) ×25-[80-(-20)]=25（5）P、Q两点相距40个单位长度，分两种情况

AB=80-(-20)=100

①相遇前，(100-40) ÷(3+2)=60÷5=12(秒)

②相遇后，(100+40)÷(2+3)=140÷5 =28(秒)

∴经过12或28秒钟，两动点、在数轴上相距个单位长度．

【分析】（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数可以用

公式计算;（2）设两动点相遇时间为t秒，P、Q两点运动的路程之和为总路程，列方程求解即可；用80-2t即可求得此时两动点对应的数；（3）先求出动点P对应的点是22时运动的时间，再根据Q和P运动时间相等计算Q点运动路程，进而求得点Q对应的数；（4）根据题意P、Q两点25秒运动的路程和减去总路程就是PQ两点间的距离；（5）根据题意，分两种情况进行解答，即: ①相遇前相距40个单位长度，②相遇后相距40个单位长度，分别列方程求解即可.

3．阅读下面的材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|

当A、B两点中有一点在原点时，设点A在原点，如图①|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|

当A、B两点都不在原点时，

（ 1 ）如图②，点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|

（2 ）如图③，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a ﹣b|

（ 3 ）如图④，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|

综上所述，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|

请用上面的知识解答下面的问题：

（1）数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是________.

（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x为________.

（3）当|x+1|+|x﹣2|=5时的整数x的值________.

（4）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是________.

【答案】（1）2；4

（2）x+1

；1或-3

（3）-2或3

（4）-1≤ x≤2

【解析】【解答】（1）数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣4）|=2；

数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4

故答案为:2，4

（2）数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或-3；

故答案为：|x+1|，1或-3

（3）解方程|x+1|+|x﹣2|=5，且x为整数.

当x+1＞0，x-2＞0，则（x+1）+（x-2）=5，解得x=3

当x+1＜0，x-2＜0，则-（x+1）-（x-2）=5，解得x=-2

当x+1与x-2异号，则等式不成立.

故答案为：3或-2.

（ 4 ）根据题意得x+1≥0且x-2≤0，则-1≤x≤2；

【分析】（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a?b|，代入数值运用绝对值的意义即可求解；

（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a?b|，列出方程，求解即可；

（3）由数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a?b|可知，|x＋1|＋|x?2|表示点x到?1与2两点距离之和，由于,2与-1之间的距离是3小于5，故表示数x的点，不可能在-1与2之间，然后分数轴上表示x的点在数轴上表示数字1的点的右边及数轴上表示x的点在数轴上表示数字-2的点的左边两种情况考虑即可解决问题；

（4）由数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a?b|可知，|x＋1|＋|x?2|表示点x到?1与2两点距离之和，根据两点之间线段最短即可得出x的取值范围.

4．如图，已知A、B两地在数轴上相距20米，A地在数轴上表示的点为-8，小乌龟从A地出发沿数轴往B地方向前进，第一次前进1米，第二次后退2米，第三次再前进3米，第四次又后退4米，……，按此规律行进，（数轴的一个单位长度等于1米）

（1）求B地在数轴上表示的数；

（2）若B地在原点的左侧，经过第五次行进后小乌龟到达点P，第六次行进后到达点Q，则点P和点Q到点A的距离相等吗？请说明理由；

（3）若B地在原点的右侧，那么经过30次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少米？

【答案】（1）解：， .

答：地在数轴上表示的数是12或

（2）解：令小乌龟从A地出发，前进为“+”，后退为“-”，则：

第五次行进后相对A的位置为：，

第六次行进后相对A的位置为：，

因为点、与点的距离都是3米，

所以点、点到地的距离相等

（3）解：若地在原点的右侧，前进为“+”，后退为“-”，

则当为100时，它在数轴上表示的数为：

，

∵B点表示的为12.

∴AB的距离为（米 .

答：小乌龟到达的点与点之间的距离是70米

【解析】【分析】（1）由已知A，B两地在数轴上的距离为20米，且A地在数轴上表示的数为-8，可得到B地可能在A地的左边，也可能在A地的右边，然后列式可求出B地在数轴上表示的数。

（2）根据题意分别列式求出第5次和第6次行进后相对A的位置，由此可得到第P和点Q到A的距离，即可作出判断。

（3）根据点B在原点的右侧，列式可求出n=100时，可得到点A在数轴上表示的数，再

根据点B表示的数，就可求出AB的距离。

5．如图，已知数轴上点A表示的数为-3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12.动点P

从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）. （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀

速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P到达A点时，P、Q停止

运动.设运动时间为t秒.

①当点P与点Q重合时，求t的值，并求出此时点P表示的数.

②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.

【答案】（1）9；-3+2t

（2）解：①根据题意，得：（1+2）t=12，

解得：t=4，

∴-3+2t=-3+2×4=5，

答：当t=4时，点P与点Q重合，此时点P表示的数为5；

②P与Q重合前：

当2AP=PQ时，有2t+4t+t=12，解得t= ；

当AP=2PQ时，有2t+t+t=12，解得t=3；

P与Q重合后：

当AP=2PQ时，有2（8-t）=2（t-4），解得t=6；

当2AP=PQ时，有4（8-t）=t-4，解得t= ；

综上所述，当t= 秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点

【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是-3+12=9，点P表示的数是-3+2t，

故答案为：9，-3+2t；

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于两坐标之差的绝对值可求得点B所表示的数；根据路程=速度×时间可得点P运动的距离，再根据平移的点的坐标的性质可得点P表

示的数；

（2）①由题意可列方程求解；②分两种情况讨论求解：

P与Q重合前：

当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解；

当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；

P与Q重合后：

当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；

当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解。

6．已知数轴上点A对应的数是，点B对应的数是一只小虫甲从点A出发，沿着数轴由A向B以每秒2个单位的速度爬行，到B点运动停止；另一只小虫乙从点B出发，沿着数轴由B向A以每秒4个单位的速度爬行，到A点运动停止，设运动时间为t. （1）若小虫乙到达A点后在数轴上继续作如下运动：第1次向左爬行2个单位，第2次向右爬行4个单位，第3次向左爬行6个单位，第4次向右爬行8个单位，，依此规律爬下去，求它第10次爬行后，所停点对应的数：

（2）用含t的代数式表示甲、乙的距离S；

（3）当甲、乙相距40个单位长度时，求运动时间t；

（4）若点Q是线段BA延长线上一点，QB的中点为M，QA的三等分点为N，当点Q运动

时，探究是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）解：第10次爬行所对应的数为

（2）解：当甲、乙相遇时，秒时，甲、乙相遇；

当甲到达B点是，秒；当乙到达A点时，秒；

①当时，甲、乙距离；

②当时，甲、乙距离；

③当时，乙到达A点，此时甲、乙距离 .

（3）解：①当时，，；

②当时，，；

③当时，，；

综上，运动时间t为，或20.

（4）解：设点Q对应的数是a，则M表示的数是，

①当N为靠近Q点三等分点时，N表示的数是，

，

故当N为靠近Q点三等分点时，是定值，定值为20；

②当N为靠近A点三等分点时，N表示的数是，

，

故当N为靠近A点三等分点时，不是定值.

【解析】【分析】（1）向左爬行用减法，向右爬行用加法，列出式子求出结果即可；（2）分三种情况，相遇前、相遇后和乙到达A点后，分别在数轴上找出数量关系列出式子即可；（3）借助第二问的结论，令求出t的值即可；（4）设点Q表示的数为a，用a的代数式表示出M和N表示的数，进而用t的式子表示出BN和QM的长，求出

的值，如果结果中不含有a，则式子为定值；反之则不是定值.

7．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展.数学老师向同学们提出了这样的问题：“在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.那么，如果用P（a）表示数轴上的点P表示有理数a，Q（b）表示数轴上的点Q表示有理数b，那么点P与点Q的距离是多少？”

（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣=________；

另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣=________；

你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿

求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离. ________（2）小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q 所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣=________；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ________；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M

（）与N（）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.________

【答案】（1）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为

点C与点D之间的距离为

（2）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点的之间的距离为

【解析】【分析】（1）数轴上的点，原点两侧两点之间的距离即点到原点绝对值的相加之和。原点同侧两点之间的距离即绝对值大的减去绝对值小的。

（2）根据数轴上两点之间距离的意义，小颖说的也有意义。列出等式代数求值即可。

8．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．

利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：

（1）已知|x|＝3，则x的值是________．

（2）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣2的两点之间的距离为________；

（3）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和﹣3两点之间的距离为________

（4）若x表示一个实数，且﹣5＜x＜3，化简|x﹣3|+|x+5|＝________；

（5）|x+3|+|x﹣4|的最小值为________，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值为________．

（6）|x+1|﹣|x﹣3|的最大值为________．

【答案】（1）

（2）4；3

（3）|x﹣1|

；|x+3|

（4）8

（5）7；6

（6）4

【解析】【解答】解：（1）∵，则；

故答案为：；（2），，

故答案为：4，3；（3）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x和1两点之间的距离为：；

数轴上表示x和-3两点之间的距离为：；

故答案为：，；（4）x对应点在点-5和3之间时的任意一点时|x-3|+|x+5|的值都是8；

故答案为：8；（5）x对应点在点-4和3之间时的任意一点，|x-3|+|x+4|的值最小是7；当x对应点是3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值为6；

故答案为：7，6；（6）当x对应点不在-1和3对应点所在的线段上，即x＜-1或x＞3时，

|x+1|-|x-3|的最大值为4；

故答案为：4．

【分析】（1）根据绝对值的意义，即可得到答案；（2）（3）直接代入公式即可；（4）实质是在表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和；（5）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+3|+|x-4|的值最小；x对应点在3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|值最小；（6）可知x对应点在表示-1和3的点所形成的线段外时，|x+1|-|x-3|的值最大．

9．点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；

．请探索下列问题：

（1）计算 ________，它表示哪两个点之间的距离？ ________

（2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=________；当PB=2时，x=________；当x=________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小．

（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________．

【答案】（1）5；A与C

（2）x+2

；-4或0

；1

（3）1019090

【解析】【解答】解：（1）|1?（?4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1?（?4）|表示点A与C之间的距离，

故答案为：5，点A与C；（2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为?2，

∴PB＝|x?（?2）|＝|x＋2|，

当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝?4，

当x≤?4时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝?x?4＋1?x＋3?x＝?x≥4；

当?4＜x＜1时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝x＋4＋1?x＋3?x＝8?x，

当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝x＋4＋x?1＋3?x＝6＋x，

当x＞3时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|＝x＋4＋x?1＋x?3＝3x＞9，

∴当x＝1时，|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|有最小值；

故答案为：|x＋2|；?4或0；1（3）|x?1|＋|x?2019|≥|1?2019|＝2018，

当且仅当1≤x≤2019时，|x?1|＋|x?2019|＝2018，

当且仅当2≤x≤2018时，|x?2|＋|x?2018|≥|2?2018|＝2016，

…

同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x?1009|＋|x?1011|≥|1009?1011|＝2，

|x?1010|≥0，当x＝1010时，|x?1010|＝0，

∴|x?1|＋|x?2|＋|x?3|＋…＋|x?2018|＋|x?2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090，

∴|x?1|＋|x?2|＋|x?3|＋…＋|x?2018|＋|x?2019|的最小值为1019090；

故答案为1019090．

【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求；（2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x?1|＋|x?3|的最小值；（3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和．

10．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A表示的数为－12，点B表示的数为8，点C为线段AB的中点．

（1）数轴上点C表示的数是________；

（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当P、Q相遇时，两点都停止运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

①当t为何值时，点O恰好是PQ的中点；

②当t为何值时，点P、Q、C三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点（三等分点是把一条线段平均分成三等分的点）．（直接写出结果）

【答案】（1）-2

（2）解：①设t秒后点O恰好是PQ的中点．

根据题意t秒后，点

由题意，得-12+2t=-（8-t）

解得，t=4；

即4秒时，点O恰好是PQ的中点．

②当点C为PQ的三等分点时PC=2QC或QC=2PC，

∵PC=10-2t，QC=10-t，

所以10-2t=2（10-t）或10-t=2（10-2t）

解得t= ；

当点P为CQ的三等分点时（t＞4）PC=2QP或QP=2PC

∵PC=-10+2t，PQ=20-3t

∴-10+2t=2（20-3t）或20-3t=2（-10+2t）

解得t= 或t= ；

当点Q为CP的三等分点时PQ=2CQ或QC=2PQ

∵当P、Q相遇时，两点都停止运动

∴此情况不成立．

综上，t= 秒时，三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点【解析】【解答】（1）解：∵点A表示的数为－12，点B表示的数为8，点C为线段AB 的中点．

∴点C表示的数为：

故答案为：-2

【分析】（1）利用中点公式计算即可；（2）①用t表示OP，OQ，根据OP=OQ列方程求解；②分别以P、Q、C为三等分点，分类讨论．

11．（1）阅读下面材料：

点、在数轴上分别表示实数，，、两点之间的距高表示为

当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，

；

当、都不在原点时，

①如图2，点、都在原点的右侧，

；

②如图3，点、都在原点的左侧，

；

③如图4，点、在原点的两侧，

；

（1）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点间的距离是________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________；

②数轴上表示和-1的两点和之间的距离是________，如果，那么为________；

③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________；

④求的最小值，提示：

.

【答案】（1）3；3；4；；1或-3；-1≤x≤2；解：④.④由③可知，要使

最小，则在1和2015之间即可，要使最

小，则在2和2014之间即可…… 以此类推，要使最小，则在1007和1009之间即可，最后还剩余最小时，取即可，当时，原式

【解析】【解答】解：①表示2和5的两点间的距离为，

表示-2和-5的两点之间的距离为，

表示1和-3的两点之间的距离为；

②表示和-1的两点和之间的距离为，

若，则，∴，∴或

③ ，是到的距离，表示到的距离，当在

和2之间时，距离之和最小，∴取最小值时，相应的的取值范围是

【分析】①根据（1）中的两点间距离公式可求答案；②根据（1）中的两点间距离公式列出方程求解；③根据线段上的点到两端的距离之和最小可得结果；④根据线段上的点到两端的距离之和最小列出算式计算即可；

12．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

解答下列式子：

（1）比较a，，c的大小(用“<”连接)；

（2）若，试化简等式的右边；

（3）在(2)的条件下，求的值．

【答案】（1）解：根据数轴上点的位置得：；

（2）解：根据题意得：a+b<0，b-1<0，a-c<0，

则；

（3）解：根据题意得：b＜0，a＜0，c＞0，m=-1-c，

∴原式 .

【解析】【分析】（1）根据数轴上点的位置判断即可；（2）由数轴可得a+b<0，b-1<0，a-c<0，然后利用绝对值的代数意义化简即可；（3）根据b＜0，a＜0，c＞0，m=-1-c，进行计算即可.