MATLAB基础性实验报告3

一、实验目的：

1. 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；

2. 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；

3. 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；

4. 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；

通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。

二、实验仪器、设备或软件：

电脑,MATLAB软件

三、实验内容：

1．微分方程及方程组的解析求解法；

2．微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；

3．直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；

4．利用图形对解的特征作定性分析；

5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。

四、实验步骤：

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据微分方程求解步骤编写M文件

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．根据观察到的结果和体会写出实验报告。

五、实验要求与任务：

1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。

y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1；

解：

命令为：dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=0','x')

结果为：ans =

2*exp(x) - 2*x – 2

绘制图形程序：

x=linspace(0,1,50);

y=2*exp(x) - 2*x - 2;

plot(x,y)

图形如下：

2．求微分方程??

???====-+]100[0)0(;0)0(01.03t u

u u u u 的数值解，要求编写求解程序。 解：

建立M 文件fun2.m 如下

function dy=fun1(t,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=y(2);

dy(2)=-y(1)+0.1*y(1)^3;

输入命令

[t,y]=ode15s('fun2',[0 10],[0 0]);

plot(t,y(:,1),'+');

得u 与t 的关系：

3．Rossler 微分方程组：

??

???-+=+=--=)('''c x z b z ay

x y z y x 当固定参数b =2，c =4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如 a ∈(0，0.65))而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？ 解：

建立M 文件fun3.m 如下

function dy=fun3(t,y)

global a;

dy=zeros(3,1);

dy(1)=-y(2)-y(3);

dy(2)=y(1)+a*y(2);

dy(3)=2+y(3)*(y(1)-4);

输入命令：

global a;

for a=0:0.05:0.65

a

[t,y]=ode45('fun3',[0,200],[0 0 0]);

subplot(1,2,1);

plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'*',t,y(:,3),'+')

subplot(1,2,2);

plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))

pause

end

从以上图可以知道：当a增大时，x，y，z慢慢不收敛而发散，当到一定值后而趋于稳定。

4．炮弹发射角的确定

炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，若要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应为多大？此时炮弹的运行轨迹如何？

要求：

(1)建立在忽略空气阻力情况下的描述炮弹发射轨迹的数学模型；

解：设发射角为a，炮弹的飞行时间为t。

显然，这时炮弹在水平方向做匀速运动，在竖直方向上做竖直上抛运动（到最高点后做自由落体运动）

水平速度Vx=V0*cos a=200*cos（a）

竖直速度Vy=V0*sin a=200*sin（a）

所以：x=Vx*t=200*cos（a）*t=360 (1)

y=Vy*t-1/2*g*t^2=200*sin（a）*t-1/2*9.8*t^2=160 (2)

(2)用Matlab 软件求解方程和微分方程；

解：由上两式可得Y=360*tan(a)-4.9*(360/200/cos(a)).^2-160;(Y指的是炮弹到达目标点后虚拟运动的路程，Y>=0)

建立函数fun4.m文件如下：

function Y=fun4(a)

Y=360*tan(a)-4.9*(360/200/cos(a)).^2-160;

建立fun5.m函数如下：

function Y=fun5(a0,a1,n,tol)

a(1)=a0;

a(2)=a1;

b=1;

i=2;

while(abs(b)>eps*a(i))

a(i+1)=a(i)-fun4(a(i))*(a(i)-a(i-1))/(fun4(a(i))-fun4(a(i-1)));

b=a(i+1)-a(i);

i=i+1;

if(i>n) error('n is full');

end

end

disp(i-2);

Y=a(i)

输入：

>> fun5(0.5,1,100,1e-6)

结果：7

ans =

0.4633

(3) 结合实际对解的合理性进行分析。

结果合理，因为即使是直线运动角的弧度也要0.4182。

心得体会：对常微分方程的求解与定性分析最重要的是熟悉解析解函数dsolve和数值解函数solver的应用；其次是要能够建立常微分方程的模型。对于标点符号要特别细心，不能弄错。