选修2-1全套导学案

高二数学选修1-2第一章《统计案例》学案

1.1.1 回归分析的基本思想及其初步应用

课标转述：①通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及初步应用 ②通过对现行案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。

③通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。

④通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。 学习目标：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

学习重、难点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 学习过程： 一、复习准备：

1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

2. {??

?确定关系

两个变量间的关系相关不确定关系不相关

复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，

其步骤： → → →

3.最小二乘法：线性回归模型?y bx

a =+ ，其中 ?b

=

?a

=

二、学习新知： 1.例题分析：

① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

. 解:由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变量x,体重为因变量y,做散点图: y

40

150 155 160 165 170 175 180 x

由图可知，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，可以用线性回归模型?y bx

a =+ 来刻画。 由最小二乘法计算：1

2

1

()()

?()

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=

-∑∑，?a

y bx

=- 其中1111,n n

i i i i x x y y n n ====∑∑

经计算得：?0.849,85.712b a

==-

于是得线性回归方程得：

0.84985.712y x =-

所以，对于身高为172cm 得女大学生，由回归方程可以预报其体重为

?0.84917285.71260.316()y

kg =?-=

0.849b = 得意义是什么？

②身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解释以下原因么？

2.随机误差和残差

⑴引入线性回归模型：Y=bx+a+e

解释变量x ，预报变量y，随机误差 e

产生随机误差的项e的原因是什么？

练习反馈

研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：

水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10

1.70 1.79 1.88 1.95

2.03 2.10 2.16 2.21

流速

ym/s

（1）求y对x的回归直线方程；

（2）预测水深为1.95m 时水的流速是多少？

三、课后小结：

四、课后作业：

p9 习题1.1 第1题

高二数学选修1-2第一章《统计案例》学案

1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用

课标转述：①通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。

②通过对现行案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。

③通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。

④通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及初步应用

学习目标：1、会建立回归模型，进而学习相关指数（相关指数R2、残差分析）

2、会求上述的相关指数：

3、从实际问题发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲，培养勇于求知的良好个性品质。学习重、难点:残差分析,相关指数R2的计算、建立回归模型的步骤。

学习过程：

一、复习准备：

1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.

2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的两个统计量：残差、相关指数R2.

二、自主学习：

1. 残差：

（1）残差的定义

（2）残差的作用

2.绘残差图

从残差图看：⑴那些点为可疑点？ 发现可疑点该如何办？ ⑵如何判断模型拟合程度？

3. 相关指数R 2

R 2=

R 2

越大，意味着残差平方和21?()n

i i y y

=-∑ ，即模型的拟合效果 ； R 2

越小，意味着残差平方和21

?()n i i y y

=-∑ ，即模型的拟合效果 .。 例如例1，R 2≈ 表明“ ”或者 “ ”

预报时需要注意下列问题：

1. 2. 3.

4.

三.、例题解析：

例2 关于x与Y有如下数据：

为了对x、Y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5

=+，试比

y x

=+， 717

y x

较哪一个模型拟合的效果更好.

四、课堂小结：

从这节课你学到了什么？请自己尝试总结如下：

1．

2．

五.课后作业

p8 练习

高二数学选修1-2第一章《统计案例》学案

1.1.3 回归分析的基本思想及其初步应用

课标转述：①通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。

②通过对现行案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。

③通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。 ④通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及初步应用 学习要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

学习重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.

学习难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 学习过程： 一、复习准备：

1. 给出例2：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程.

( 第1步 ;) 解:根据收集的数据,

(第2步 ;)

2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.那么选用什么类型的模型呢? 二、学习新知：

1. 探究非线性回归方程的确定：

① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.

② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.

③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，而

z 与x 间的关系如下：

线的附近，因此可以

用线性回归方程来拟合.

④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回

归方程为

0.272 3.843z

x =- ，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤.

提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数y 和温度x 间的

关系，还可用其它函数模型来拟合吗？并求出回归方程.

判断模型的好坏.如何判断？

1.用残差

2.用R 2

三、巩固练习：

为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：

（1

?y=e x .）（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112

三. 课堂小结：（残差分析的步骤、作用）

四、课后练习：

练习：教材P9第3题

高二数学选修1-2第一章《统计案例》学案

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

课标转述：①通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。

②通过对现行案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。

③通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。

④通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及初步应用

学习目标：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.

学习重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

K的含义.

学习难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量2

学习过程：

【自主探究】

1. 与列联表相关的概念：

①分类变量：

②列联表：

由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.怎么才能直观的判断“吸烟”和“患肺癌”有没有关系呢？

2. 等高条形图的概念：

注意事项：

3. 独立性检验的基本思想：

问题1.某医疗机构为了了解患肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个成年人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817 人，调查结果是：吸烟的2148 人中49人患肺癌，2099人不患肺癌；不吸烟的7817人中42人患肺癌，7775人不患肺癌。

根据这些数据能否断定：患肺癌与吸烟有关

列联表

上例的解决步骤

第一步：提出假设检验问题 H 0：吸烟与患肺癌没有关系

第二步：选择检验的指标 2

2

()K ()()()()

n ad bc a b c d a c b d -=++++，求观测值k ≈56.632（它越小，原假设“H 0：吸

烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H 1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步：k 与6.635比较，若k ≥6.635，则H 0不成立；反之，H 0成立。由于56.635>6.635 所以H 0不成立，则吸烟与患肺癌有关系。

① 独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ② 独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）：

我们也可以通过直接计算或者观察等高条形图可以发现

a

a b +和c c d

+相差很大，就判断两个分类变量之间有关系，不足之处：不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足. 独立性检验的具体做法是:

1.根据实际问题的需要确定容许推断”两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值0k

3.若0k k ≥，就推断“X 和Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X 和Y 有关系”,或者在样本数据中没有足够证据支持结论“X 和Y 有关系”. 【例题分析】

例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ 注意

【练习反馈】

练习1.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

由表中数据计算得到K 的观察值 4.513k ≈. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？

【课堂小结】 1． 2．

【课后作业】

某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？

高二数学选修1-2第二章《推理与证明》学案

课题：2.1.1合情推理（1）

课标转述：

1、 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并

认识合情推理在数学发现中的作用。

2、 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用他们进

行一些简单推理。

3、 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

学习目标：

1、通过自学课本，理解归纳推理的含义；

2、能利用归纳进行简单的推理；

3、总结归纳推理在数学发现中的作用。

学习重点：归纳推理的概念并能利用归纳进行简单的推理 学习过程： 新课引入：

自学三个事例了解归纳推理的含义

1、哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.

2、费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对0

20213F =+=，1

21215F =+=，2

222117F =+=，3

2321257F =+=，4

242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的

自然数n ，任何形如221n

n F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现

5

252142949672976416700417F =+==?不是素数，推翻费马猜想.

3、四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

问题1：根据实例讨论归纳推理的概念：（小组讨论）

与课本对比小组讨论成果：（课本上的概念）

问题2：归纳练习（自己完成后小组对改答案）

1、由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

2、由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和1800，能归纳出什么结论？

3、观察等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……你能得出怎样的结论？

问题3：根据课本知识归纳总结

1、统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？

2、归纳推理有何作用？

3、归纳推理的结果是否正确？ 问题4：例题解析：

例、已知数列{}n a 的第1项,11=a 且1(1,2,)1n

n n

a a n a +=

=+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）

例题小结：（你从例题中得到哪些知识） 问题5：巩固练习：

1、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n 项可能是（ ）。 A ．10n ; B ．10n-1; C ．10n+1; D ．11n .

2、观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n ≥2)个圆圈，每个图案中的总数是s ，

按此规律推出s 与n 的关系式为

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ n=2 , s=4 n=3 , s=8 n=4 , s=12

3、教材P301、2题.

4、已知(1)0,()(1)1,

==-=2,0,0

f af n bf n

f n的表达式.

n a b

≥>>，推测()

时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以思考：证得某命题在n＝n

归纳出什么结论？

（提示：结合今天所学知识，类比循环思想，可以小组讨论）

四、本节小结：（从知识与方法，例题与练习方面总结）

五、作业：教材P35习题A组1、2、3题.

高二数学选修1-2第二章《推理与证明》学案

课题：2.1.1合情推理（2）

课标转述：

1、 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并

认识合情推理在数学发现中的作用。

2、 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用他们进

行一些简单推理。

3、 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

学习目标：

1、通过自学课本，了解类比推理、合情推理的含义；

2、能利用归纳和类比等进行简单的推理；

3、总结合情推理在数学发现中的作用.。

学习重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 学习过程： 一、复习准备：

1. 练习：已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ?≥；1212

11

()()()4ii a a a a ++≥；123123

111

()()(

)9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列

1111,,,,13355779

--???? 的通项公式是 . 3. 阅读：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 二、学习新课：

问题1：根据实例讨论类比推理的概念：（小组讨论）

与课本对比小组讨论成果：（课本上的概念）

问题2：类比练习（自己完成后小组对改答案）

(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？

(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？

(iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P25 探究填表）

问题3：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.（由平面知识类比到空间知识）

问题4：例题解析：

例3、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）

探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？

例4、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想；这个结论是正确的吗？请同学们自己证明。（画出图形）

问题5：巩固练习：

1、若数列{}n a 是等差数列，若数列{n b }满足， n b =

n

a a a n +++ 21(*

n n ∈),则{n b }也为等差数列．类比上述

性质，相应地，若数列{n c }是等比数列，且n c >0(*

n n ∈)则有 时 ，数列{n d }也为等比数列．

2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）。

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。 A ．①； B ．①②； C ．①②③； D ．③

思考：有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动1个金属片；②较大的金属片不能放在较小的金属片上面。试推测：把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要激动多少次？怎样移动才能到到最少的移动次数呢？

三、本节小结：（从知识与方法，例题与练习方面总结）

四、作业：P 35 A 组4、5、6题.

高二数学选修1-2第二章《推理与证明》学案

课题：2.1.2演绎推理

课标转述：

4、结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并

认识合情推理在数学发现中的作用。

5、结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用他们进

行一些简单推理。

6、通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

学习目标：

1、结合已学过的数学实例和生活中的实例，认识演绎推理的重要性；

2、掌握演绎推理的基本方法；

3、能运用演绎推理的基本方法进行一些简单的推理。.

学习重点：演绎推理的含义；利用“三段论”进行简单的推理.

学习过程：

一、复习准备：

1. 练习：①对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？

②在平面内，若,

⊥⊥，则//

a c

b c

a b. 类比到空间，你会得到什么结论？

2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？

3. 新课导入：（自学P30——P31思考上方的内容）

①所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；

②太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；

③奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .

（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？）

二、学习新课：

1.根据实例讨论演绎推理的概念：（小组讨论）

与课本对比小组讨论成果：（课本上的概念）

概念要点：

问题1：演绎推理与合情推理有什么区别？（小组讨论）

问题2：观察教材P 30引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？（个人完成）

举例：举出一些用“三段论”推理的例子. （个人完成）

2. 例题解析：

例6、在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.

例7、证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.

思考：因为指数函数x y a =是增函数，1

()2

x y =是指数函数，则结论是什么？

（指出：大前提、小前提 ；讨论：结论是否正确，为什么？）

讨论：演绎推理怎样才结论正确？（个人完成）

3、巩固练习：

1.、演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。( ）