立体几何三空间的角与距离.
、空间的角与距离
1?异面直线所成的角： 范围是（0,—］；
2
一般方法是平移直线，构造三角形，把异面问题转化为共面问题来解决。平移时，固定一条，平移另一条（
在某平面 内），或两条同时平移到某特殊位置，顶点选择在特殊位置上；
2?直线与平面所成的角： 范围是［0,—］。 2
关键是：找过斜线上一点与平面垂直的直线
；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置
于三角形中计算。
注:确定点的射影位置有以下几种方法： ① 结论：如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上;
如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
② 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
③ 利用三棱锥的有关性质：
a 若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b. 若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心
c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
3.二面角
二面角的范围一般是指 （0,］。 作二面角的平面角常有三种方法 ① 定义法：
② 三垂线定理法：自二面角的一个面上一点向另一
面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 垂
足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所 夹的
角，即为二面角的平面角； ③垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。 ④面积射影法：S S c o s （S 为原斜面面积
，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角 它对于任意多边形都成立，是求二面角的好方法
.当作角困难时，易求斜面及射影面积，可直接用公式求出二面角的大小。 二.空间的距离
（1） 点到平面的距离常用求法
（点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） ① 定义法：作垂线
② 转移法：平行线转移或中点转移（斜线中点）等
③ 等体积法：
（2） 异面直线间的距离常有求法：
异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长. ① 定义法
② 转化为线面距离：
找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a,b 间的距离. ③ 转化为面面距离： 找或作出分别过a,b 且与b , a 分别平行的平面，则它们距离就是异面直线 a,b 间的距离. 1、已知四棱锥 P — ABCD 底面ABCD 是菱形 DAB 60 , PD 平面ABCD PD=AD 点E 为AB 中点，点F 为PD 中
（或旁心）;
（
点（1）证明平面PEDL平面PAB （2）求二面角P—AB-F的平面角的余弦值
E.
2. 四棱锥P — ABCD 勺底面是边长为 a 的正方形，PB 丄面ABCD.①若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60。，求这个四 棱锥的体积；②证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于 90°
3. 如图，已知四棱锥 P-ABCD PB 丄AD,侧面PAD 为边长等于2的 正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面ABCD 所成的二面角为 120 °。(1)求点P 到平面ABCD 的距离；(2)求面APB 与面CPB 所成 二
面角的大小。
4
如图，直三棱柱 73 ABC-ABC 的底面ABC 为等腰直角三角形，/ ACB=90, AC=1, C 点到AB 的距离为CE=
, D 为AB 2 的中点?( 1)求证： AB 丄平面CED (2)求异面直线 AB 与CD 之间的距离；(3)求二面角 B — AC-B 的平面角.
5.如图a- l -
是120 °的二面角, A, B 两点在棱上，AB=2, D 在 内，三角形ABD 是等腰直角三角形，/ DAB=90 ,
ABC 是等腰直角三角形/ ACB=90°?①求三棱锥D — ABC 的体积；②求二面角D — AC- B 的大小；③求异面直
C
在 内,
6如图，几何体ABCDE中，△ ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC且
EA=AB=2a DC=a, F、G分别为EB和AB的中点.(1)求证：FD//平面ABC ( 2)
求证：AF丄BD (3) 求二面角B- FC- G的正切值.
7. 如图，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，各棱长都相等，D E分别为AC, BB的中
点。(1)求证：DE//平面A1B1G; (2)求二面角A —DE- B的大小。
E B1
8. 在棱长为4的正方体ABCD-AB1C1D中，0是正方形ABCD的中心，点P在棱CG上，且
CC=4CP?求直线AP与平面BCCB1所成的角的大小。
9. 如图，直四棱柱ABCD-ABCD的底面是梯形，AB// CD ADL DC, CD=2
DD=AB=1 , P、Q分别是CC、CD的中点。点P到直线AD的距离为
2
①求证：AC//平面BP;②求二面角B-PQ-D的大小.
立体几何(角度、距离、体积)
立体几何 一、角度问题。 1. 如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面, 2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】
2. 如图,圆锥顶点为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底 面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°. (Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠. 【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=??设面面直线且面面 //AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ)
r PO OPF F CD r =??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ? -?=?∠==????=?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[2 1cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以. 3. 如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是 AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=. (1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大 小. 【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且 3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以 //PQ 面BDC ; 方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1// 2 PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以A B C D P Q M （第20题图）
立体几何--空间的距离.
、选择题 1.正方形ABCD边长为2, E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿 面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果/ MBE= / MBC , MB和平面BCF 1 值为1，那么点M至?线EF的距离为 （ 2 D.- 2 2 .三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA i=1 , AB =4, BC= 3 , / ABC=90 °，设平面 ABC的交线为I，则A1C1与I的距离为（） 二、填空题 4.如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°， 那么EF与平面ABCD的距离为 三、解答题 （1）求证：平面A1BC1 //平面ACD1； 立体几何--空间的距离 EF折成直二 所成角的正切 B.1 A i BC i与平面 A J10 B. TH C.2.6 D.2.4 3.如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 5.在长方体如图:
(2)求(1)中两个平行平面间的距离; ⑶求点B i到平面A i BC i的距离. 6.已知正四棱柱ABCD —A i B i C i D i，点E在棱D i D上，截面EAC // D i B且面EAC与底面ABCD所成的角为45° ,AB=a,求: (i)截面EAC的面积; ⑵异面直线A i B i与AC之间的距离; ⑶三棱锥B i —EAC的体积. 7?如图，已知三棱柱A i B i C i —ABC的底面是边长为2的正三角形, AC均成45°角，且A i E丄B i B于E, A i F丄CC i于F. (i)求点A到平面B i BCC i的距离; ⑵当AA i多长时，点A i到平面ABC与平面B i BCC i的距离相等. &如图，在梯形ABCD 中，AD // BC,/ ABC = —,AB= 2 2 / ADC=arccos—75 ,PA丄面ABCD 且PA=a. 5 (i)求异面直线AD与PC间的距离; (2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为亨 【空间的距离参考答案】 一、i.解析：过点M作MM '丄EF,则MM '丄平面BCF ?// MBE= / MBC ??? BM '为/ EBC为角平分线, ￡■ 侧棱A i A与AB 、 i -AD=a, 3
空间几何中的角和距离的计算
空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B
2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1
立体几何空间距离问题
空间距离问题 (专注高三数学辅导:) 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q 是PA的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. 。 P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角 （3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. < 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必 须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (2 2 a ,0,0),C (0, 2 2 a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面
立体几何中角度与距离求法
立体几何中角度距离的求法 一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则 称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.
立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
知识点整理 (一)平行与垂直的判断 ⑴平行：设，的法向量分别为U,V ，贝U 直线l,m 的方向向量分 别为a,b ，平面 线线平行i // m a 〃 b a 诂；线面平行i // a u a u 0 ； 面面平行// u // v u J. ⑵ 垂直：设直线l ，m 的方向向量分别为a,b ，平面，的法向量 分别为u,v ，则 线线垂直I 丄m a 丄b ab 0 ；线面垂直I 丄 a // u a ku 「； 面面垂直丄 u 丄v u v 0. (二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交 基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线l ，m 的方向向量分别为，平面，的法向量 分别为u ，v ，则 ①两直线I ，m 所成的角为 (2)空间距离 ②直线I 与平面 ③二面角一I 的大小为(0< < )，cos cos (0< =2)，sin 所成的角为
点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难 ①点到平面的距离h：(定理)如图，设n是是平 面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中A 则点P到平面的距离 uuu uu ②h 1 Auur n |(实质是AP在法向量n 方向上的投影的绝对值) |n| uuu ur ③异面直线l i,l2间的距离d： d AB JC』1( 11,12的公垂向量为 |n| ' n, C、D分别是h,l2上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、的计算 例1.如图，已知二面角-I - 点 A , B , A C I于点C, 且 AC=CD=DB=1. 求：(1) A、B两点间的距离； (2)求异面直线AB和CD勺所成的角(3) AB与CD勺距 离. 解：设AC a,CD b,DB c,则 |a| |b| |c| 1, a,b b,c 900, a,c 60°, 2 ? ? 2 ?? 2 ■■ 2 |AB | a b c . a b c 2a b 2b c 2c a 2 A、B两点间的距离为2. (2)异面直线AB和CD的所成的角为60°
高中数学立体几何空间距离问题
立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
高考数学复习 第十一讲 立体几何之空间距离
第十一讲 立体几何之空间距离 一、空间距离包括： 点与点、点与线、点与面、线与线(异面直线）、线与面（线面平行)、面与面(面面平行)的距离。要理解各个距离的概念。 二、空间距离的求法 重点掌握:线线距离、点面距离、尤其点面距离 （1） 线线距离：找公垂线段 （2） 点面距离 ① 直接法（过点向面作作垂线段,即求公垂线段长度） ② 等体积法(三棱锥) ③ 向量法：设平面α的法向量为n ，P 为平面α外一点，Q 是平面α内任一点,则 点P 到平面α的距离为ｄ 等于PQ 在法向量n 上的投影绝对值。d =三、例题讲解 1、下列命题中: ①ABCD PA 矩形⊥所在的平面，则P 、B 间的距离等于P 到BC 的距离； ②若,,,//αα??b a b a 则a 与ｂ的距离等于a 与α的距离； ③直线a 、ｂ是异面直线,,//,ααb a ?则a 、b 之间的距离等于b 与α的距离 ④直线a 、ｂ是异面直线，,//,,βαβα且??b a 则a 、b 之间的距离等于βα、间的距离 其中正确的命题个数有（ Ｃ ) A ． 1个 Ｂ. ２个 C. ３个 D. 4个 ２、如图所示，正方形的棱长为1，Ｃ、D 为两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点,那么点M 到截面ABCD 的距离是__________＿＿。
解析：取AB 、C Ｄ中点Ｐ、Q ，易证MPQ ?中,ＰQ 边长的高MH 为所求,423,22== PQ PM 3 2=∴MH 3、在底面是正方形的四棱锥Ａ-B ＣD Ｅ中，BCDE AE 底面⊥且AE=CD ＝a ， Ｇ、Ｈ是BE 、ＥD 的中点,则ＧH 到面ABD 的距离是_____＿＿____＿。 解析:连结EC ，交BD 于Ｏ，且交GH 于O '，则有平面ABD AEO 面⊥。 过Ｅ作AO EK ⊥于K ，则所求距离等于a AO EO AE EK 6 32121=?= 4、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为棱ＡB 和B Ｃ的中点，Ｇ为上底面1111D C B A 的中心,则点D 到平面EF B 1的距离＿_＿________。 解：方法1:建立如图直角坐标系，
《立体几何中的角度与距离问题》
二年级下学期小学期末检测 数学试卷 （考试时间：60分钟，满分100分) 题号一二三四五六总分 得分 一、我会算。（12分） 35÷7＝900－700＝73－(13＋27)＝9×9÷9＝ 280＋300＝1000-600＝56－(90－60)= 37＋8÷8= 860－260= 60－27÷3= 4×(78－70)= (40－8)÷4= 二、我会填。（22分） 1、有一个四位数，最高位上是5，十位上是3，其余各位上是0，这个数是（），读作（）。 2、□÷7＝3……□，余数最大是（），当余数最大时，被除数是（）。 3、找规律填数。 537，437，（），237，（）；150，200，（），300，（）。 4、605是（）位数，最高位上的数字是（），这里的5表示（）个（）。 5、（）×7<50，括号里最大能填（）。 6、在（）里填上合适的单位名称： 教室的门高2（）；铅笔长14（）；数学书厚4（）；课桌高8（）。7、在○里填上“>”、“<”、“＝”。 5千米○5000米30mm○3dm纯角○锐角 8、最大的两位数是（），与它相邻的两个数分别是（）和（）。 三、我是小判官。（对的画“√”，错的画“×”）（12分） 1、50÷7＝6……8。…………………………………………………………………（） 2、“333”里的“3”表示的意思一样。…………………………………………（） 3、正方形和长方形都有4条边，4个直角。………………………………………（） 4、角的大小与边的长短有关系。…………………………………………………（） 5、2＋10÷2＝12÷2＝6。…………………………………………………………（） 6、左图中共有6个角。………………………………………………（） 四、我是计算能手。（14分） 1、用竖式计算并验算。（6分） 284＋357923－657
高中数学专题讲义-空间几何体. 截面与距离问题
棱锥、棱台的中截面与轴截面 【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围． 【例2】 正四棱锥的斜高为2，侧棱长为5，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平 行于底面的截面）的面积？ 【例3】 正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高． 【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分 别为 【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面 的截面111A B C ?的面积． M O C 1 B 1 A 1 C A 【例6】 如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高3VO =，侧棱长为7， ⑴ 求侧面上的斜高与底面面积． ⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积． 典例分析 板块二.截面与距离问题
H O'O D C B A V 【例7】 如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥 顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积． C A 圆锥、圆台的中截面与轴截面 【例8】 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求 圆锥的母线长． 【例9】 一圆锥轴截面顶角为120?，母线长为1，求轴截面的面积． 【例10】 圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面半径的2 倍，求圆台的高与上下两底面面积之和． 【例11】 圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积； 【例12】 圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面 半径的2倍，则两底面半径为 ．
最新高考数学专题复习立体几何重点题型空间距离空间角(师)
立体几何题型 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足， 当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证： 1AB ⊥ 平面 1A BD ； （Ⅱ）求二面角 1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 A B C D 1 A 1 C 1 B
立体几何中的夹角、距离、向量归纳
D B A C α 一、空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是]2 ,0(π 。 （2）求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决 （3）具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角 2、直线与平面所成的角 （1）直线与平面所成的角的范围是2 ,0[π 。 （2）求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 （3）具体步骤如下： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 3、二面角 （1）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。 （2）作二面角的平面角常有三种方法 图一 图二 图三 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 如图一示 ②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 如图二示 ③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图三示
1、点到直线的距离： 点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。 例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。 解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4， 8 74 322432c o s 2 222 2 2 =??-+= ?-+= ∴BC AC AB BC AC C 8 15)8 7(1sin 2= -=∴C 4 1538 15432 1sin 432 1= ???=??= ∴?C S ABC AD BC S ABC ?= ?2 1 又 2 153 415322= ?= = ∴?BC S AD ABC ∴点A 到BC 的距离为 2 15 2、点到平面的距离： 点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法 例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。 解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=22， 41=∴FC ,34 82511=++= EC , 10 91= += EF 10 104 1023416102cos 1 2 12 12 1- =??-+= ?-+= ∠FC EF EC FC EF EFC B
高考典型题型训练——立体几何中求角与距离
C A1 E B1 C1 高考典型题型训练——立体几何中求角与距离 1. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD. （1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90° 2如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE= 2 3 ，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ； （2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.
3. 如图a—l—β是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，?ABC是等腰直角三角形∠ACB=. 900 （I）求三棱锥D—ABC的体积； （2）求二面角D—AC—B的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角. 4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分
折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值． 图①图② 5. 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E． （1）求证：AP⊥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥 P—ABC所成两部分的体积比．
高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =3 2BE =33 2332= ?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312 22=??? ? ??- =-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 例1题图 例2题图 例3题图
立体几何中的角度与距离问题
立体几何中的角度与距离问题 【基础知识】 一．空间角度问题 （一）理解空间中各种角的定义及其取值范围 1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。 2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算 1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形） 2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。 当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°. 3． 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。 4． 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面 另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角 注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。 2.计算题必须有推理过程。 二．空间距离问题 1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离 2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算 α β A O P A B O P α β (1) (2) (3)
最新高考数学专题总结立体几何重点题型空间距离空间角(生)
立体几何重点题型 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足， 当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证： 1AB ⊥ 平面 1A BD ； （Ⅱ）求二面角 1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 例2.如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4. A B C D 1 A 1 C 1 B
立体几何中夹角与距离的计算(绝对精品)
第三节 立体几何中夹角与距离的计算 一、求距离： 1、点到平面的距离：①直接法：平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离， “一找二证三计算”；②等体积法：三棱锥换顶点等体积法。 2、直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； 3、平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 点到平面的距离平面到平面的距离 直线到平面的距离???? 二、求夹角 1、两条异面直线所成的角：求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得； 2、直线和平面所成的角：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与它在平面内的射影之间的夹角； 3、二面角：通常的作法有：①定义法：在二面角的棱上任取一点O （常指特殊点），过点O 分别在两个半平面内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则∠AOB 即为所求二面角的平面角；②三垂线定理或逆定理：过一个半平面内一点P 向另一个半平面作垂线PA ，过点A 向棱作垂线AB ，连接PB ，则∠PAB 即为所求二面角的平面角；③自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．④射影面积法解之，cos θ＝ S S '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积，θ为斜面与射影面所成的二面角 题型一：异面直线的夹角及二面角 例1、如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ， AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12 A (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值
立体几何三空间的角与距离.
、空间的角与距离 1?异面直线所成的角： 范围是（0,—］； 2 一般方法是平移直线，构造三角形，把异面问题转化为共面问题来解决。平移时，固定一条，平移另一条（ 在某平面 内），或两条同时平移到某特殊位置，顶点选择在特殊位置上； 2?直线与平面所成的角： 范围是［0,—］。 2 关键是：找过斜线上一点与平面垂直的直线 ；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置 于三角形中计算。 注:确定点的射影位置有以下几种方法： ① 结论：如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ② 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ③ 利用三棱锥的有关性质： a 若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心 c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 3.二面角 二面角的范围一般是指 （0,］。 作二面角的平面角常有三种方法 ① 定义法： ② 三垂线定理法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 垂 足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所 夹的 角，即为二面角的平面角； ③垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。 ④面积射影法：S S c o s （S 为原斜面面积 ，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角 它对于任意多边形都成立，是求二面角的好方法 .当作角困难时，易求斜面及射影面积，可直接用公式求出二面角的大小。 二.空间的距离 （1） 点到平面的距离常用求法 （点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） ① 定义法：作垂线 ② 转移法：平行线转移或中点转移（斜线中点）等 ③ 等体积法： （2） 异面直线间的距离常有求法： 异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长. ① 定义法 ② 转化为线面距离： 找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a,b 间的距离. ③ 转化为面面距离： 找或作出分别过a,b 且与b , a 分别平行的平面，则它们距离就是异面直线 a,b 间的距离. 1、已知四棱锥 P — ABCD 底面ABCD 是菱形 DAB 60 , PD 平面ABCD PD=AD 点E 为AB 中点，点F 为PD 中 （或旁心）; （
立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
α n r A ?P ?O ?h A B D α β l 知识点整理 (一)平行与垂直的判断 (1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v r r ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面 线线平行l ∥m ?a r ∥b r a kb ?=r r ；线面平行l ∥α?a r u ⊥r 0a u ??=r r ； 面面平行α∥β?u r ∥v r .u kv ?=r r (2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r ，则 线线垂直l ⊥m ?a r ⊥b r 0a b ??=r r ；线面垂直l ⊥α?a r ∥u r a ku ?=r r ； 面面垂直α⊥β?u ⊥v .0=??v u (二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r ，则 ①两直线l ,m 所成的角为θ(02π θ≤≤),cos a b a b θ?=r r r r ； ②直线l 与平面α所成的角为θ(02π θ≤≤),sin a u a u θ?=r r r r ； ③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u v θ?=r r r r (2)空间距离 点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, ① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n r 是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线， 其中A α∈则点P 到平面α的距离 ② h = || || AP n n ?u u u r u u r u u r (实质是AP u u u r 在法向量n r 方向上的投影的绝对值) ③ 异面直线12,l l 间的距离d :|| || CD n d AB n ?==u u u r u u r r (12,l l 的公垂向量为n r ,C D 、分别是12,l l 上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算 例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200 ，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离； （2）求异面直线AB 和CD 的所成的角 （3）AB 与CD 的距离.