方差及其性质
§2 随机变量的方差及其性质
一．随机变量的方差：
１．
（１）
【例１】
【例２】
解：
ＤＸ＝2
()()x EX q x dx +∞
-∞
-?
＝
2
2(
)/2
t
t x t e dt λ
μλ
+∞
--∞
=-?
22220
(3)2t t e dt λ
λλ+∞
-=Γ==?
【例３】
1,.q p DX =-求
解：
２．
二．：
n个相互独立随机变量算术平均数的方差等于其方差算术平均数的1／n倍.
．
解：
【例4】
解：
【例5】
【例6】
，得
(参看ＰＰ．８８－８９)
三．几个常用的随机变量的期望与方差： （１） 二点分布：
随机变量X 的分布为
X
１ ０
P p q
则
(),
()E X p D X pq ==
。
.
1q p =-
证明：
如：
（3）．
【例7】
证明：
1
,
EX λ=
21DX λ
=
(8)正态分布：2(,)X N μσ:，则 2,EX DX μσ==
证明：
也可以用下面方法来证明：
与Ｐ．８５―― 习题九－４类似，
），
【例8】若连续型随机变量的概率密度是
四．习题：
P．93 --------- 1，
2（习题九的1，3，5）
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差 几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k 次成功的概率。 公式： 它分两种情况： 1. 得到1次成功而进行，n 次伯努利实验，n 的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』; 2. m = n-1次失败，第n 次成功，m 的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』. 由两种不同情况而得出的期望和方差如下： , ; , 。 概率为p 的事件A ，以X 记A 首次发生所进行的试验次数，则X 的分布列： ， 具有这种分布列的随机变量X ，称为服从参数p 的几何分布，记为X ~Geo (p )。 几何分布的期望 ，方差 。 高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p ξ= 1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。
（1 下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记 两式相减，得 91页阅读材料），推导如下： 相减，
（26页）。 对于上式括号中的式子，利用导数，关于q
利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。 例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取 解： 1，2，3，……， k －1次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此 例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p （0 由方差的定义,可以得到方差的基本性质(假定所遇到的方差都存在, 其中c, k为常数). 性质1.D(c)=0； 性质2.D(cξ)=c2D(ξ)； 特别地，当c =-1时D(-ξ)=D(ξ)； 性质3.D(ξ+c)= D(ξ)； 性质4.D(kξ+c)= k2D(ξ)； 性质5.若ξ, η相互独立, 则 D(ξ+η)=D(ξ)+D(η)． 注．若一个随机变量的取值不影响另一随机变量的取值，则称两个随机变量是相互独立的．本课程略去了关于随机变量相互独立的严格数学描述． 例3.5.13. 设离散型随机变量X具有概率分布律 X-2 -1 0 1 2 3 P(X=x k) 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 求E(X), D(X), D(2X+3). 解.由离散型随机变量的数学期望的定义得 E(X)=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.2+1×0.3+2×0.1+3×0.1 =0.4； E(X2)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.2+12×0.3+22×0.1+32×0.1 =2.2； 再由方差计算公式 D(X)=E(X2)-(E(X))2 =2.2-0.42=2.04； ∴D(2X+3)=4D(X)=4×2.04=8.16 . 例3.5.14 设连续型随机变量X具有概率密度： 求(1)常数A；(2)D(-X-2). 解. (1)根据密度函数的性质 ∴ 计算上述积分,可得A=e/2. (2)要求方差,首先要求数学期望. ∴D(X)=E(X2)-(E(X))2 =11/4-16/9=35/36 ； D(-X-2)=D(X)=35/36 均值、方差和协方差的定义和基本性质 1 数学期望（均值）的定义和性质 定义：设离散型随机变量X 的分布律为 {}, 1,2,k k P X x p k === 若级数 1k k k x p ∞=∑ 绝对收敛，则称级数1k k k x p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()1k k k E X x p ∞==∑。 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分 ()xf x dx ∞?∞? 绝对收敛，则称积分 ()xf x dx ∞?∞?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()()E X xf x dx ∞ ?∞=? 数学期望简称期望，又称为均值。 性质：下面给出数学期望的几个重要的性质 （1）设C 是常数，则有()E C C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推 广至任意有限个随机变量之和的情况； （4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。 2 方差的定义和性质 定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X ?????存在，则称(){}2E X E X ?????为X 的方差，记为()D X 或()Var X ，即 性质：下面给出方差的几个重要性质 （1）设C 是常数，则有()0D C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有 ()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++?? 特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。 3 协方差的定义和性质 定义：量()(){} E X E X Y E Y ??????????称为随机变量X 与Y 的协方差。记为(),Cov X Y ，即 ()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =?????????? 性质：下面给出协方差的几个重要性质 （1）()(),,Cov X Y Cov Y X = （2）()(),Cov X X D X = （3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =? （4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 （5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献 [1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学 第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。 1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 21 3100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ，则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞ =1 k k k p x 第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差 方差概念及计算公式 一．方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中 分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布 2．二项分布 X ~ B( n, p ) 引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2求上节例2的方差。 解根据上节例2给出的分布律，计算得到 求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。 S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 用matlab或c语言编写求导程序 已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt) 怎样用matlab或c语言求解 高考数学方差必考知识点总结 高考数学方差必考知识点总结 高中数学知识点之方差定义 方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。 高中数学知识点之方差性质 1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动); 2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取); 3.若X、Y相互独立，则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为 当X、Y相互独立时，，故第三项为零。 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 方差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值) 高中数学知识点之方差的应用 计算下列一组数据的极差、方差及标准差(精确到0.01). 50，55，96，98，65，100，70，90，85，100. 答：极差为 100-50=50. 平均数为 2017年高考数学方差必考知识点 一.方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X:50，100，100，60，50E(X)=72; Y:73，70，75，72，70E(Y)=72. 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。 方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X)： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的`平方”。 其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动 二.方差的性质 1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动); 2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取); 证： 特别地D(-X)=D(X)，D(-2X)=4D(X)(方差无负值) 巧用方差的性质解题 由方差的计算公式])()()[(1222212 ----+?+-+-=x x x x x x n s n 容易得出方差的两条性质： 性质1 任何一组实数所的方差都是非负实数． 性质2 若一组实数据的方差为零，则该组数据均相等，且都等于该组数据的平均数． 运用这两个性质和方差计算公式，常可帮助我们快捷解决一类与之相关的问题． 例1 已知8=+y x ，162=-z xy ，求z y x ++的值． 解：∵x 、y 的平均数为 2 y x +=4，216z xy +=， ∴x 、y 的方差 ])4()4[(21222-+-=y x s =]32)(8[2 122++-+y x y x =]32)(82)[(2 12++--+y x xy y x =]3264)16(264[2 12+-+-z =2z -． 由性质1，得02≥-z ，∴02 ≤z ． ∴2z =0，0=z ．∴=2s 0． 由性质2，得y x ==4． ∴z y x ++=4+4+0=8． 例２ 已知c b a ++=6，222c b a ++=12，求c b a 32++的值． 解：∵a 、b 、c 的平均数是 3 c b a ++=2， ∴a 、b 、c 的方差 ])2()2()2[(3 12222-+-+-=c b a s =]12)(4)[(3 1222+++-++c b a c b a =)122412(3 1+-=0． 由性质2，得a =b =c =2． ∴c b a 32++=12． 例3 设m 、n 、p 均为正实数，且2m +2n -22p =0，求 n m p +的最小值． 解:m 、n 的平均数-x =2 n m +． m 、n 的方差为 第二节 方 差 1.方差的定义 数学期望描述了随机变量取值的“平均”.有时仅知道这个平均值还不够.例如，有A ，B 两名射手，他们每次射击命中的环数分别为X ，Y ，已知X ，Y 的分布律为： 表4-7 其他的因素.通常的想法是：在射击的平均环数相等的条件下进一步衡量谁的射击技术更稳定些.也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近，通常人们会采用命中的环数X 与它的平均值E （X ）之间的离差｜X -E （X ）｜的均值E ［｜X -E （X ）｜］来度量，E ［｜X -E （X ）｜］愈小，表明X 的值愈集中于E （X ）的附近，即技术稳定；E ［｜X -E （X ）｜］愈大，表明X 的值很分散，技术不稳定.但由于E ［｜X -E （X ）｜］带有绝对值，运算不便，故通常采用X 与E （X ）的离差｜X -E （X ）｜的平方平均值E ［X -E （X ）］2来度量随机变量X 取值的分散程度.此例中，由于 E ［X -E （X ）］2=0.23(8-9)2+0.63(9-9)2+0.2×(10-9)2=0.4， E ［Y -E (Y )］2=0.13(8-9)2+0.83(9-9)2+0.1×(10-9)2=0.2. 由此可见B 的技术更稳定些. 定义4.2 设X 是一个随机变量，若E ［X -E （X ）］2存在，则称E ［X -E （X ）］2为X 的方差（Variance ），记为D （X ），即 D （X ）= E ［X -E （X ）］2. （4.7） 称)(X D 为随机变量X 的标准差（Standard deviation ）或均方差(Mean square deviation)，记为σ（X ）. 根据定义可知，随机变量X 的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.若X 取值比较集中，则D （X ）较小，反之，若X 取值比较分散，则D （X ）较大. 由于方差是随机变量X 的函数g （X ）=［X -E （X ）］2的数学期望.若离散型随机变量X 的分布律为P {X =x k }=p k ，k =1，2，…，则 D （X ）=k k k p X E x ∑∞ =-12)]([. （4.8） 若连续型随机变量X 的概率密度为f （x ），则 D （X ）=?+∞ ∞--.)()]([2x x f X E x d （4.9） 由此可见，方差D （X ）是一个常数，它由随机变量的分布惟一确定. 根据数学期望的性质可得： D （X ）= E ［X -E (X )］2=E ［X 2-2X 2E (X )+［E (X )］2］ =E (X 2)-2E (X )2E (X )+［E (X )］2=E (X 2)-［E (X )］2. 总结归纳方差的性质 总结归纳方差的性质[1] 在中国古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学.以下是精品学习网为大家的高中数学方差公式，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，精品学习网一直陪伴您。 一.方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50E(X)=72; Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。 方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X)： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。 其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动 二.方差的性质 1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动); 2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取); 证： 特别地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差无负值) 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 方差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值) 方差公式：S?=〈(M-x1)?+(M-x2)?+(M-x3)?+…+(M-xn)?〉╱n 三.常用分布的方差 1.两点分布 2.二项分布 X~B(n,p) 引入随机变量Xi(第i次试验中A出现的次数，服从两点分布)， 3.泊松分布(推导略) 4.均匀分布 另一计算过程为 5.指数分布(推导略) 6.正态分布(推导略) 7.t分布:其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2); 8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2); ~ 概率与统计 知识点一：常见的概率类型与概率计算公式；类型一：古典概型； 1、古典概型的基本特点： （1）基本事件数有限多个； （2）每个基本事件之间互斥且等可能；2、概率计算公式： A事件发生的概率 () A P A= 事件所包含的基本事件数 总的基本事件数。 类型二：几何概型； 1、几何概型的基本特点： （1）基本事件数有无限多个； （2）每个基本事件之间互斥且等可能； 2、概率计算公式： A事件发生的概率 () A P A= 构成事件的区域长度（或面积或体积或角度）总的区域长度（或面积或体积或角度）； 注意： 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比；b5E2RGbCAP （2）如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪一个是等可能的； 例如：等腰ABC ?中，角C=23π ，则： （1） 若点M 是线段AB 上一点，求使得AM AC ≤的概率； （2） 若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转，且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ，求使得AM AC ≤的概率； 解读：第一问中明确M 为AB 上动点，即点M 是在AB 上均匀分布， 所以这一问应该是长度之比，所求概率： 13P = 。 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率： 2755 = = 1208P ?；p1EanqFDPw 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B<和事件）：表示A 、B 两个事件至少有一个发生； A B ?<积事件）：表示A 、B 两个事件同时发生； A <对立事件）：表示事件A 的对立事件； 类型二：复杂事件的概率计算公式； 1、 和事件的概率： ()=()()()P A B P A P B P A B ++-? <1）特别的，若A 与B 为互斥事件，则： ()=()()P A B P A P B ++ <2）对立事件的概率公式： ()1()P A P A =- 会计专业《职业技能实训》 基础会计题目及答案 第1题: 按照账户的用途和结构分类，“固定资产”账户属于（）。盘存账户 第2题: 用以记录和证明经济业务的发生或完成情况，明确经济责任，并作为记账依据的会计凭证是（ A ）。原始凭证 第3题: “限额领料单”按其填制方法属于（）。累计凭证 第4题: 当经济业务只涉及货币资金相互间的收付时，一般填制（）。付款凭证 第5题: 销售商品一批，部分货款已收回并存入银行，另有部分货款尚未收回，应填制（）。收款凭证和转账凭证 第6题: 下列单据中属于自制原始凭证的是（）。工资计算单 第7题: 明细账从账簿的外表形式上看一般采用（）账簿。活页式 第8题: 在结账以前，如发现账簿记录有文字或数字错误，而记账凭证没错，应采用（）进行错账更正。划线更正法 第9题: 记账以后，如发现记账凭证和账簿记录的金额有错误（所记金额小于应记的正确金额），而应借、应贷的会计科目没有错误，应采用（）进行错账更正。补充登记法 第10题: 对现金清查所采用的基本方法是（）。实地盘点法 第11题: 清查银行存款所采用的方法一般是（）。对账单法 第12题: 在实地盘存制下，平时在账簿中对财产物资（）。只记增加数不记减少数 第13题: “未达账项”是指单位与银行之间由于结算凭证传递的时间不同而造成的（）。一方已经入账，而另一方尚未登记入账的账顶 第14题: 结算往来款项的清查一般采用（）。函证核对法 第15题: “待处理财产损溢”是一个（）双重性质的账户 第16题: 对财产清查中发现的财产物资盘亏，若属于定额内的自然损耗，应按规定转作（）。管理费用 第17题: 财产物资的盘存制度有（）。永续盘存制实地盘存制 第18题: 下列不属于对外会计报表的是（）。产品生产成品表 第19题: 下列属于静态报表的是（）。资产负债表 第20题: 汇总会计报表与单位会计报表是会计报表按照（）进行的分类。编制单位 方差的定义： 设一组数据x1,x2,x3……x n中，各组数据与它们的平均数x（拔）的差的平方分别是(x1-x拔)2，(x2-x拔)2……(x n-x拔)2，那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x 拔)2+(x2-x拔)2+……(x n-x拔)2】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。 总之，方差越小就越稳定 方差等于平方的均值减去均值的平方”。 方差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+…+x n)/n （n表示这组数据个数，x1、x2、x3……x n表示这组数据具体数值） 方差公式：S2=〈(M－x1)2+(M－x2)2+(M－x3)2+…+(M－x n)2〉╱n 方差和标准差： 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 数学上一般用E{[X-E(X)]2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度，称为X的方差。定义 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]2}，而σ(X)=D(X)0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。 由方差的定义可以得到以下常用计算公式： D(X)=E(X2)-[E(X)]2 方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）。 （1）设c是常数，则D(c)=0。 （2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c2)D(X)。 （3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。 第30讲方差定义和计算公式 2 () X E X 随机变量的均值: () X X E X -对于均值的离差: (())X E X E X -对于均值的平均离差: 0 =() E X E X -反映随机变量波动性可以用: ||2 [] 方差 3 {}2()()[()]. D X Var X E X E X ==-{}2 ([:)](()) D X Var E X E X X X X -设是一个随机变量，若存在， 则称其为的，方记为差或定义，即 ((,))D X X X σ将记为称为的或标准差均方差. ()(),(),,(),D X X X X D X X D X X σ和刻画了取值的波动性 是衡量取值分散程度的数字特征. 若较小 则取值比较集中;反之 若较大 则说明取值比较分散. ()X X σ是与随机变量具有相同量纲的量. 4 对于离散型随机变量X ，其分布律为 则(), 1,2,, i i P X x p i === 对于连续型随机变量X ，其概率密度函数为则(),f x 21 ()[()]; i i i D X x E X p ∞==-∑2 ()[()](). D X x E X f x dx +∞-∞=-?2()[()],g x x E X =-()(()).D X E g X =注意到, 当取则 5{} 2()[()]D X E X E X =-{} 222()[()]E X XE X E X =-+22 ()2()()[()]E X E X E X E X =-+22()[()]. E X E X =-利用数学期望的性质，可得方差的计算公式： 事实上，22 ()()[()]D X E X E X =- §2 随机变量的方差及其性质 數学期望从一个痢度描述了随机变屋的皓征*但是对一个随机变览探说，仅仅知道它的数学期望是不够的，我们述常常備要知道它的取值戋于数学期望的偏离程度.例如，甲.乙网个工人史产同一种零件，已知飽们生产的零件的也度X’与X,的分布徉分别为 X、 28 29 30 3132 .± Pk0.10.15 0.5 0 J50.1 X22829 3031 32 Pk0.13OJ7CM0.170.13 容易算出EXTX尸娥这说明仅戌冬件忙度的均值还无法判断两工人的技术水平的嵩低?比制*可以註一步考虑零件长度X与其均値茁偏离程度| X-EX \的夬小. 一.随机变量的方差： 1?. . . 为无的方差，记作Dg SU D(X) = E{陕一EQOT}. 由定义可知，D(X)>0.如果它不存在，则 说X没有方淮。 (1) 若X为离散型陆机变杲，其分布律为 P{X=x*}=Pw …， 则^ D(X) = R[g-E(X〕NP — (2〉设连续型随机变量X的密度是W则称 为X的方差■记作 方差D(x》的算术平方根/W7称为X的标准差或均方差* 方差D(劝表示了随机变量X取值时KECJf)为中心的分散程度.但是夕它的单位是X的单位的平方卩为了单位一致，还经常使用D(X)的算术粮/万可来卄量随机变量天取值时以E(X)为中心的分散程度" 【例1】测量甲，乙2个人的脉搏(次/分).其分布情况 如下’ I* E 脉65TO60 甲樂 率0.150.26含0.3 脉搏側TO90too 乙￡ 率0,350.159,30. 15 问谁的健康状况要好一些徉 M用X表示甲的牀搏数? 用卩表示乙的咏搏数. 则DX二E(X严一(EX)? = 6沪X0.154-65Z XO.2+7O S XO-3 + 753 X0.3 + 60* X0. 05—89. 5! =32.25 ny=E(n5-(Er)t =5o l xfl.35+601 xo.is+701 X0.O5 + 9Q' XO.S+lOO^ X0J5— 所以DXVDY 即得，甲的健康状况比乙的要好些， 【例2】若随机变景玄服从于拉普拉斯分布■其概率密度 精心整理 几何分布的定义以及期望与方差 几何分布（Geometricdistribution ）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败， 高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p ξ=1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。本文给 出证明，并用于解题。 （1）由P k q p k ()ξ==-1，知 下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记 两式相减，得 k （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求E ξ2。 对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有 则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p p ξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。 例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。 1，2，3因此 k ＝10ξ用倍差法，可求得 所以E p p p p p p p p ξ=----+-=--[()()()()119110111929910 说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解 初中数学方差知识点 即s =(1/n)[(x1-x_) +(x2-x_) +...+(xn-x_) ]，其中，x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，xn表示个体，而s 就表示方差。 而当用(1/n)[(x1-x_) +(x2-x_) +...+(xn-x_) ]作为样本X 的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的(n-1)/n倍，[1/(n-1)][(x1-x_) +(x2-x_) +...+(xn-x_) ]的数学期望才是X的方差，用它作为X的.方差的估计具有“无偏性”，所以我们总是用[1/(n-1)]∑(xi-X~) 来估计X的方差，并且把它叫做“样本方差”。 方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度!用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)并把它叫做这组数据的方差。记作S。在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 定义设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)] }存在，则称E{[X-E(X)] }为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。 即D(X)=E{[X-E(X)] }称为方差，而σ(X)=D(X) .5(与X有相同的量纲)称为标准差(或均方差)。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。(标准差.方差越大，离散程度越大。否则，反之) 若X的取值比较集中，则方差D(X)较小 若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。 因此，D(X)是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。 计算 由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=∑[X-E(X)] pi 数学期望。即： 由方差的定义可以得到以下常用计算公式： D(X)=∑xipi-E(x) D(X)=∑(xipi+E(X)pi-2xipiE(X)) =∑xipi+∑E(X)pi-2E(X)∑xipi =∑xipi+E(X)-2E(X) =∑xipi-E(x) 方差其实就是标准差的平方。 几个重要性质 (1)设c是常数，则D(c)=0。 (2)设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c )D(X)。 (3)设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0(常见协方差)， 则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立方差的性质
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
随机变量的数学期望与方差
独立随机变量期望和方差的性质
方差概念及计算公式
高考数学方差必考知识点总结
巧用方差的性质解题
1方差的定义
总结归纳方差的性质
概率期望与方差的计算和性质
11、样本方差与随机变量数字特征中的方差的定义不同在 …
方差的定义
第30讲方差定义和计算公式
方差及其性质(20200828084911)
几何分布的定义以及期望与方差的证明
最新初中数学方差知识点