时间序列分解法

什么是时间序列分解法

时间序列分解法是数年来一直非常有用的方法,这种方法包括谱分析、时间序列分析和傅立叶级数分析等。

时间序列分解模型

时间序列y可以表示为以上四个因素的函数，即：

Y t = f(T t,S t,C t,I t)

时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。

加法模型为：Y t = T t + S t + C t + I t

乘法模型为：

时间序列的分解方法

（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出季节指数S。

（2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T。

（3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期变动因素C。

（4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即：

时间序列的模式

时间序列一般包括四类因素，长期趋势因素、季节变动因素、循环变动因素和不规则变动因素。四种因素的组合形式一般有以下几类, 其中记Xt为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动，它总是存在着的。

1）乘法模式，其中，

a) X t与T t有相同的量纲，S t为季节指数，C t为循环指数，两者皆为比例数；

b)

c) I t是独立随机变量序列，服从正态分布。

2）加法模式X t = T t + S t + C t + I t

这种形式要求满足条件：

a) X t，T t，S t，C t，I t均有相同的量纲；

b) ,k为季节性周期长度；

c) I t是独立随机变量序列，服从正态分布。

3) 混合模式

a) X t与T t，C t，I t有相同的量纲，St是季节指数，为比例数；

b)

c) I t是独立随机变量序列，服从正态分布。

时间序列分解法试图从时间序列中区分出这四种潜在的因素，特别是长期趋势因素(T)、季节变动因素(S)和循环变动因素(C)。显然，并非每一个预测对象中都存在着T、S、C这三种趋势，可能是其中的一种或两种。一个具体的时间序列究竟由哪几类变动组合，采取哪种组合形式，应根据所掌握的资料、时间序列及研究目的来确定。

时间序列分解法各因素的确定

分解法的基础是容易理解而且直观的。不过最重要的是它为预测和检验提供了独特和非常有用的资料。我们用一个例题来说明各个因素分解的步骤。

设有某产品十二年（91年－02年）的季度销售额数据。见表4.3中的第二列，共有48个数据。如果将这些数据画在图上（图.1），可以看出有明显的长期趋势和季节变动。利用分解法，假设这48个数据可表示为

。这里X t是这些原始数据，通过分析原始数据X来确定T、C、S（剩下的为I）。

1．移动平均数

把最初的四个数据（表示91年4个季度的值）相加求平均值得到(X1 + X2 + X3 + X4) / 4 = 2741.334。这个数是没有季节性的，而且随机性因素也很小甚至没有。因为随机性围绕中间值波动，将四个数相加，正负波动在一定程度上相互抵消了，所以可认为其中已无随机性。同样将第二个至第五个数据相加平均，也不包含季节性，而且其随机性因素也很小。如此我们可得到45个数据。它们不包含季节性，而且随机性因素很小甚至没有。也就是说它们只包括长期趋势和循环变动两部分（T×C）。这45个数据组成的序列我们称之为移动平均数序列，用MA来表示，MA＝T×C。

2．季节性

由于（1）

因此将观察值除以移动平均数得到的比率值就只包含季节性和随机性，从而这些比率包括了确定季节性因素所需要的信息。如果某个比率的值>100，意味着实际值X比移动平均数（T×C）要大。由于X中包含季节性和随机性，因而当比率值大于100时，就意味着这个季度的季节性和随机性高于平均数。反之，如果比率小于100，则表示季节性和随机性低于平均数。

表.2 某产品48个季度的销售数据及数据分解