某次知识竞赛共有20道题
某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得5分答错或不答都扣3分.
某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。（1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
（2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？解：（1）设小明答对了x道题．
依题意得5x-3（20-x）=68．
解得x=16．
答：小明答对了16道题．
（2）设小亮答对了y道题．
依题意得
5y-3(20-y)≥70
5y-3(20-y)≤90
因此不等式组的解集为16
1/4≤y≤18又3/4．
∵y是正整数，
∴y=17或18．
答：小亮答对了17道题或18道题．
一道竞赛试题的解法探究
44 福建中学数学 2012年第3期 一道竞赛试题的解法探究 浙江省温州市第二十二中学（325000） 2011年全国高中数学联合竞赛第2题，试题简约，寓意深刻，考生可以从多个角度切高洪武 吴勇军 一试（A 卷）中22(1)1(1)y x t t x t t =??? ?令=??=≥?? （＊2） 而直线入，很好地考查高中数学常见的一些思想方法以及学生对基本知识、基本技能的掌握情况．本文拟从四个角度出发，对该题目进行初步的剖析，以 期引发更多的思考． 题目 （2011年全国高中数学联合竞赛一试试题 （A (1)t y x =? 过定点（1，0）．当时，两曲线有公共点，则； 0y >1y >时，两曲线有公共点，x 直线(1t y 当0y <)=?应 绕着点(1，0)从逆时针方向旋转到的位置，与 曲线t 2L 卷）第2 题）函数()1 f x x = ?的值域是 ． 解法一三角换元法 令tan x θ=，（22θπ?<<，且π4 θπ ≠） （注：换元时保持变量的等价性） 则y tan 1cos θθ? = 11 sin cos )4 θθθ==π??． 22θππ?<<∵，且4θπ≠， 3444 <，且0θπππ ∴?π?， ()f x ∴ 的值域为((12 ?∞?+∞∪，，)． 评析 此函数为分式型无理函数，解决此类问题 通常是化无理式为有理式，即努力将根式中的被开方数(式)化成完全平方数(式)，由221tan 1cos θθ+=联想到三角换元，思路由此打开．解法二 数形结合法 y =∵ ，(y x ∴1)?=（＊1）， 322t x L 3L 1(1)?=≥切． 相联立方程221t x (1)t y x =????=?， 得(1)y x ??． 即2222(1)210y x y x y ，22210x ?=??+?=． 若直线1)(t y x =?x t ≥相切， )4(0y y 与2t ?=21( 1)2y =?则2(21)222Δ=?=??，． ∴直线(1)t y x =?绕着点(1，逆时针方向旋转过程中，0)从2 L 2 到L 的y ≤3． 综上得y ≤或即函数的值域为 1y >， ((1)?∞+∞∪，， ． 解法比较巧妙地函数值赋予“特殊身份”，想，将问题转化为我们熟悉的两类曲线有公共点问题．其转化基本思路为：函数 有意义评析 本将利用数形结合思方程有解曲线有公共点． ←←解法三 基本不等式法 （1） 若1x >， ()f x 1x >∵，20x x ∴+?>2x x ∴+>，， 2 1112x x ∴+>+?，f x ()1∴>（2）若． ， x 1<
二次根式提高练习题(含答案)
一.计算题： 1． (235+-）（235--）； 2. 1145 -－ 7 114-－7 32+ ； 3.（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ） ÷a 2b 2m n ； 4.（a ＋b a ab b +-）÷（b ab a +＋ a a b b -－ab b a +） （a ≠b ）． 二.求值： 1.已知x ＝ 2 323-+，y ＝ 2 32 3+-，求 322342 3 2y x y x y x xy x ++-的
值． 2.当x ＝1－ 2 时，求 2 2 2 2 a x x a x x +-+＋ 2 2 2 22 2a x x x a x x +-+-＋221 a x +的值． 三.解答题： 1．计算（2 5＋1）（211 +＋ 3 21+＋431 +＋… ＋100 991 +）． 2.若x ，y 为实数，且y ＝ x 41-＋14-x ＋21 ．求
x y y x ++2－ x y y x +-2的值． 计算题： 1、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2 －2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式． 【解】原式＝1116)114(5-+－7 11) 711(4-+－ 79) 73(2--＝4＋ 11－11－ 7－3＋ 7＝1． 3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2 m n －m ab mn ＋
m n n m ）·2 21b a n m ＝2 1b n m m n ?－mab 1n m m n ? ＋ 2 2b ma n n m n m ? ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221 b a ab a +-． 4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a a b b ab a +-++÷) )(() )(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+-- ＝ b a b a ++÷) )((2 222b a b a ab b a b ab b ab a a -++---- ＝
小学数学竞赛：统筹规划.学生版解题技巧 培优 易错 难
统筹规划 教学目标 1.掌握合理安排时间、地点问题. 2.掌握合理布线和调运问题． 知识点拨 知识点说明： 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。 例题精讲 板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？
二次根式单元测试题含答案
《二次根式》单元测试题 （一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）【提示】 2 31 -＝4323-+＝－（3 ＋2）．【答案】×． 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、 3 1 b a 3、 b a x 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】3 1 b a 3、 b a x 2- 化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8， 3 1 ，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子 3 1 -x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－ 8 15 27102 ÷3 1225 a ＝_．【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 2 2 22d c ab d c ab +-＝______．【提 示】22d c ＝|cd |＝－cd ． 【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．
一次函数拔高题(含答案)
巩固练习 一、选择题： 1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3 2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（） （A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（） （A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg） 之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图， 所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长 为y2，则y1与y2的大小关系为（） （A）y1>y2（B）y1=y2 （C）y1
（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位 10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（） （A）m>-1 4 （B）m>5 （C）m=- 1 4 （D）m=5 11．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）． （A）k<1 3 （B） 1 3 二次根式基础测试题含答案 一、选择题 1．9≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤ B ．37x ≤≤ C ．36x ≤≤ D ．17x ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】 先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解． 【详解】 9， 即：23579x x x x -+-+-+-≤， 当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾； 当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合； 当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合； 当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合； 当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾； 综上，x 取值范围为：26x ≤≤， 故选：A ． 【点睛】 本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则． 2．a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 3．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式，所以B 选项错误； C 、原式C 选项错误； D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．已知n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：=Q 也是整数， ∴n 的最小正整数值是15，故选C ． 5．在下列算式中：= ②=； ③42 ==；=，其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①④ 【答案】B 一次函数竞赛题归纳及其解法 一次函数是与现实生活联系最紧密的知识点,受到各级各类竞赛的青睐.近几年各国各地竞赛试题中与一次函数相关的问题屡见不鲜. 1 一次函数的性质问题 一次函数y kx b =+(,k b 是常数,k ≠0)的性质大致如下: (1)它的图象是经过点(,0b k -)和(0,b )的一条直线; (2)它的系数符号决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况),如图1所示. 来源学科网Z,X,X,K] 例1 已知一次函数,0y kx b kb =+<,则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有 个,即第 象限. 例2 已知abc ≠0,并且a b b c c a p c a b +++===,那么y px p =+一定经过( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、第一、四象限 2 一次函数图象上的特殊点问题 (k<0,b<0) (k<0.b>0) (k>0,b<0) (k>o,b>0) O x y O x y O x y y x O 一次函数图象上的特殊点主要指与两坐标轴的交点、定点(恒过某一点)、整点以及两个一次函数图象的交点等. 例3 函数3|2|y x =--的图象如图2所示,则点A 与B 的坐标分别是A ,B 例 4 如图3在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6),直线 1 3 y x b =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分,那么,b = 3 一次函数的图象与面积问题 一次函数的图象与两坐标轴的交点以及坐标原点构成的直角三角形的面积,可用一次函数的系数,k b 表示;若所考察的三角形的边不在坐标轴上,关键是把相关三角形的面积用边在坐标轴上的其他三角形的面积来表示,使面积问题与坐标建立联系. 例5 设直线(1)2nx n y ++=(n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为 n S (n =1,2,3,…,2000).则S 1+S 2+S 3+…+S 2000的值为 ( ) A.19992000 B.1 C.20002001 D.2001 2002 例6 如图4,直线3 13 y x =- +与x 轴,y 轴分别交于点,A B ,以线段AB 为直y x A O B (15,6)y x A C O B y 一道数学竞赛试题的解法探索及启示 一、的提出 笔看在分析2010年全国初中数学联合竟赛试题时.对第一大题 第4小禽产生了极大的兴趣。厚题如下：若方程。. 3x-l=0(l)的两个根 也是方程x\ax4bxM=0(2)的根， 则ib-2c 的值为(,)(A)?13 (B)-9 (C)6 (D)0 为什么笔者会对这道试题特别感兴趣？我们一起从解决这一试题 的思路形成过程及解答过程中寻求答案。 二、何题的分析及解决 该题纶出的参冬答案中解答如下： 设m是方程x2-3x-l=O的一个根，则m2-3m-l=O，所以mJ3m+l o 由鹿意.m也是方程x4>ax2fbx>cxO得根，所以m4fam2+ bin代 =0,把代人上式，得(3m+l)A?mJbmM=0，整理 AVTT -2~ 将x>x2分别代入方程联立方程组并化简得： (952^-264 VTT+88a+24a VTT+24b+8b VIT+】6c=0 (3) '952-264\/TT*88a-24aV1T4-24b-8bx/1T?l^O (4) (3*)得：3a+b=-33 (5) (3 片(4)得：lla?3b+2c=-l 19 (6) (5)x4-(6)得：wb-2g-13 反思一：该思路清嘶、明了 .但在具体运算中.计算过程比较 繁琐,且技巧性比较强?则有下面的分析： 思路分析二：若方程(1)的两个根也是方程(2)的根.则多项式 x^ax^bx+c可分解为/?3x-l与另一个因式乘积的形式，可设 x%ax24-bx-H：=(x2-3x-1 Xx2^mx+n) (7) 其中?mji为待定的系IL为了得到a+b-2c的值，可以有两种 解法. 解必二：由多顼式恒等定理知道，两个多项式恒等，对应次项 的系数对应相等，即由x4+ax2+bx-H5=x4-Hm-3)x3+(n-3in-1) x2- (m+3n)x-n,得 m-3=0 n-3m-l=a m+3n=-b ic=f 典I a+b-2c—13 解法三：(7)式既然是怛等式，那么该式对所有实数均成立， 令x=(?=l得： n=-c -3(m+n+ l)=a+b+c+1 1 +a-b+c=4( 1 -m+n) *l<#a+b-2c=-13 反思二：由思路分析二可知，x%ax、bwc能被F?3x?l 整 除，设其商式F+mx+n,姻余式为O0此时，问题转换为求X、 ax24bx*c 除以x^-Sx-l 的商? 解法四：由长除法m x4 4-0-jr1?-女-1 * -3.？X 4 >3X4(0 4 10X^30 J G X-t-far +c 3? -X -* (a^lO)j^ +(64 3)x (o ? 10湿 T。? 10U - 10) (8 + 3a + 33)x +(Q + c*10)(余式) 右jb+3a+33=O 侣：aw 10=0 解之得：a+b-2c=-13 反思三：由解法四可知.当按长除法计算两多项式之商时，各项排列的位置完全可以表示它们所含字母的次救，故可以略去字母而只写出系数,以简化计算，此方法称为分离系数的长除法。 僻法五：由分离系数的长除法⑶ 1 ?0 40 ?!> ?c 1 ?3 T ■)1 T T h *3 .("10X商式) 3 +("1)?b 3 “?3 _______________ ("10) ?(8?3) +c 9 + 10) -3("10) -(。+ 10) (8i?33) ?("?c?10X余式) 下同解法四。 反思四：显然，分离系数的长除法比长除法简单，为使除法书写更简单一些。下面我们进一步讨论被除式、除式、商以及余式之间的系数关系：设 Rx)二KX W.I LI???”以+炒。(a.#0)? 除以x-a的商及余数分别是q(x)、r,其中 b#T??4遇1蛎。(bi。。) 得(9.a)mW6*b)m+c+1 =0。 从而可知：方程x2-3x-1=O的两根也是方程(9+a)mW6+ b)m-K>l=0的根,这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有(9+a)m2+<6+b)m+c+l =k(x2-3x-1)(k 为常数)，故9±a_=6^=c+t，所以Jb=-3a律3 .因此出扯&-也 1 一3 —1 ic=—a—iu 笔者在对这道题经过研究，又得到了下面几种解法： 思路分析一：由原题可知，方程(1)的两个根也是方程(2)的根，据此得： 解法一：求出方程(1)的炯个根：由=号豆?％= 下用待定系数法来确定q(x)中的系数与余数r o f(x)Hx-a)q(x片 T,即 ? ? ? fxQao =b-ixN 二次根式测试题(1) 时间：45分钟 分数：100分 一、选择题（每小题2分，共20分） 1． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a 6．如果)6(6-= -?x x x x ，那么（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题： ① 24416a a =；②a a a 25105=?；③a a a a a =?=1 12；④a a a =-23.做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简 6 1 51+的结果为（ ） A ． 3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．43- =a B ．3 4 =a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简)22(28+- 得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2 )52( . 12．二次根式 3 1-x 有意义的条件是 . 13．若m<0，则332||m m m ++= . 14．1112-= -?+x x x 成立的条件是 . 15．比较大小： . 16．=?y xy 82 ，=?2712 . 17．计算3 393a a a a - += . 18． 232 31+-与的关系是 . 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 . 20．化简? ?? ? ??--+ 1083114515的结果是 . 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题24分，共48分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- 22．化简： （1）)169()144(-?- （2）2253 1 - ２），则ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ ｃｏｓ３ αｓ ｉｎα的最小值为（ ） （Ａ）２７６４． （ Ｂ）３５槡２．（Ｃ）１． （Ｄ）５６ 槡３．本文首先给出问题的多种解法，然后对问题作引申推广． 一、一题多解 解法１ ∵α∈（ ０，π２ ），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，∴ｓｉｎ３ αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα＝ ｓｉｎαｃｏｓα （１－ｃｏｓ２α）＋ｃｏｓαｓｉｎα（１－ｓｉｎ２ α）＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα－ｓ ｉ ｎ ２α≥２－１＝１． 等号成立当且仅当α＝π４． 因此，ｓｉｎ３ αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓ ｉｎα的最小值为１．解法２ ∵α∈（ ０，π２ ），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由柯西不等式得 （ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎαｃｏｓα）（ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα）＝［（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２＋（ｓｉｎαｃｏｓ槡α）２ ］· ［（ｓｉｎ３αｃｏｓ槡α ）２＋（ｃｏｓ３ αｓｉｎ槡 α）２ ］ ≥（ｓｉｎαｃｏｓ槡α·ｓｉｎ３ αｃｏｓ槡 α ＋ｓｉｎαｃｏｓ槡α·ｃｏｓ３ α ｓｉｎ槡 α ）２ ＝（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）２ ＝１， ∴ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα≥１ｓｉｎ ２α ≥１．等号成立当且仅当α＝π４ ． 因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓ ｉｎα的最小值为１．解法３ ∵α∈（ ０，π２ ），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由均值不等式，得 ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｓｉｎ３αｃｏｓα ＋ｃｏ ｓ２ α≥３ ３ （ｓｉｎ３ αｃｏｓα ）２ｃｏｓ２槡 α＝３ｓｉｎ２ α，ｃｏｓ３αｓｉｎα＋ｃｏｓ３ αｓｉｎα ＋ｓｉ ｎ２ α≥３ ３ （ｃｏｓ３ αｓｉｎα ）２ｓｉｎ２槡 α＝３ｃｏｓ２ α，将上面二式相加，整理得ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３ αｓ ｉｎα≥１．等号成立当且仅当α＝π４ ．因此，ｓｉｎ３αｃｏｓα＋ｃｏｓ３αｓｉｎα的最小值为１．二、引申推广 对问题作引申推广，可得如下命题． 命题１ 设α∈（０，π２），则ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｃｏｓｎ＋ ２αｓｉｎｎ α 的最小值为１． 证明 ∵α∈（０，π２ ），∴ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＞０，由均值不等式，得 ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎα＋ｓｉｎｎ＋２αｃｏｓｎ α ＋ｃｏｓα＋ｃｏｓα＋…＋ｃｏｓ烉烇烋αｎ个 ≥（ ｎ＋２）ｎ＋ ２（ｓｉｎｎ＋ ２αｃｏｓｎα ）２ｃｏｓ２ｎ槡 α，即２ｓｉｎｎ＋ ２αｃｏｓｎ α ＋ｎｃｏｓ２α≥（ｎ＋２）ｓｉｎ２ α，６５数学通讯———２０１２年第４期（上半月） ·课外园地· 二次根式测试题 时间：45分钟 分数：100分 姓名： 一、选择题（每小题2分，共20分） 1． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22 -x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ． b a D ．44+a 6．如果)6(6-=-?x x x x ，那么（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题： ①24416a a =；②a a a 25105=?；③a a a a a =?=112；④a a a =-23。做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简6 151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．43-=a B ．3 4=a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简)22(28+-得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2 )52( 。 12．二次根式31 -x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m + += 。 14．1112-=-?+x x x 成立的条件是 。 15．比较大小： 16．=?y xy 82 ，=?2712 。 17．计算3 393a a a a -+= 。 18．23231+-与的关系是 。 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 。 20．化简??? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题24分，共48分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2） a 831- （3）42+m （4）x 1- 22．化简： （1）)169()144(-?- （2）22531- （3）5102421?- （4）n m 2 18 初二数学一次函数竞赛试题 一、快来选选，相信你一定行（每小题3分,共30分） 1、一个变化过程中有两个变量、对于每取一个值，都会有唯一的值与它对应，那么我们就说是自变量，是的函数.下图中表示函数关系的图象是（） 2、函数中，自变量的取值围应是（） 、、、、 3、下列函数中，是的一次函数的是（） 、、、、 4、下面哪个点在函数的图象上（） 、、、、 5、若把一次函数向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) 、、、、 6、函数的图象大致位置应是下图中的（） 7、一次函数的图象经过点和（1，3）和（0，1），那么这个一次函数是（） 、、、、 8、汽车开始行驶时，油箱有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系式应为（） 、、、、 9、某教师到一村寨进行学生入学动员工作，开始时骑摩托车大约用了40分钟的时间走了20里路，休息10分钟后，又花近30分钟的时间徒步走了8里路，方到达该村.下列能表示该教师行走的路程s（里）与时间t（分）的函数图象是（） 10、如果直线与交点坐标为（a，b），则是方程组_______的解（?） 、、、、 二、快来填填，这些洞口难不倒你（每小题3分，共24分）. 11、函数中，当时，它是一次函数，当它是正比例函数. 12、将直线往上平移3个单位得到的一次函数的解析式是. 13、要使直线经过二、一、四象限，则0，0.（填“＞”“＜”＝） 14、直线与轴、轴的交点分别为（－1，0）、（0，3）则这条直线的解析式为. 15、已知直线中，随的增大而减小，那么直线经过象限. 16、已知方程的解是，则直线与轴的交点为（，）. 17、如图，是函数的图象，要使图象处于虚线部分时自变量的取值围是.这个取值围也就是不等式的解集. 18、如图，直线与直线相交于点P，则P点的坐标是（，）.不等式的解集为 三、认真解答，要仔细哟.（共34分） 19、（10分）根据下列条件，求出函数解析式： （1）与成正比例，且当时，； （2）一次函数图象经过点（-2，1）和点（4，-3）. 一道美国数学竞赛题的解法新探 吴家华（四川省遂宁中学校 629000） 摘 要 本文在文]1[对一道美国数学竞赛题的多种解法的基础上，又给出了它的几种不同的新解法. 关键词 美国数学；竞赛题；解法 美国第七届中学数学竞赛中有如下一道试题： 已知e d c b a ,,,,是实数且满足e d c b a ++++8=，1622222=++++e d c b a ，试确定e 的最大值. 笔者最近在查阅资料时，看到文]1[中给出了本题的五种解法，它们分别是判别式法，平均值不等式法，平均值代换法，构造函数法，空间解析几何法等. 笔者通过对它进行一番分析、研究后，又得到它的另外几种解法，现介绍如下： 解法1 （三角代换法）由已知得：01622222≥-=+++e d c b a ，则可令 γβαcos cos cos 162e a -=，γβαcos cos sin 162e b -=， γβcos sin 162e c -=，γsin 162e d -=，)2,0[,πβα∈，),0[πγ∈. ∵8=++++e d c b a ， ∴d c b a e +++=-8， )sin cos sin cos cos sin cos cos (cos 162γγβγβαγβα+++-=e , ]sin cos sin cos cos )4sin(2[162γγβγβπ α+++-=e ， }sin cos ]sin cos )4sin(2{[162γγββπα+++ -=e ， ]sin cos )sin(1)4 (sin 2[1622γγ?βπ α++++-=e （其中2tan =?）， ]sin cos )sin(112[162γγ?β+++?-≤e ， ]sin cos )sin(3[162γγ?β++-≤e ， )]sin(1)(sin 3[1622θγ?β+++-=e （其中)sin(3tan ?βθ+=） ， )sin(162)]sin(113[1622θγθγ+-=++?-≤e e ， 2162e -≤， 即e e -≥-81622. 二次根式混合运算1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、． 8、 9、． 10、； 11、． 12、； 13、； 14、． 15、； 16、． 17、． 18、 19、 20、； 21、 22、． 23、 24、 25、 26、； ． 27、 28、； ； 29、 ； 30、 31、； （5）； 32、 33、； 34、； 35、 36、3﹣9+3 37、÷（3×） 38、 39、 40、； ．41、 42、 43、 44、 45、； 46、． 47、（﹣）2﹣； 48、； 49、； 50、． 51、； 52、． 53、3﹣﹣+（﹣2）（+2） 54、 55、 56、 57、 58、 59、2÷﹣（2﹣）2 60、﹣2+（﹣1）2 61、（+2）﹣． 62、 63、 64、 65、． 67、． 68、 69、 70、3﹣（﹣） 71、 72、﹣2 73、 74、 75、 76、 77、÷ 78、×+÷﹣ 79、 80、 81、﹣． 82、 83、 84、 85、（+1）2﹣2 86、（+1）（1﹣）﹣（﹣1）2+（+1）2 87、 88、 89、 90、； 91、． 92、； 93、； ； 94、 95、； 96、； 97、 98、|﹣|+﹣； 99、； ； 100、 101、（+）2008（﹣）2009． 102、； 103、； 104、． 105、（3+）÷； 106、 107、； 108、；109、． 110、﹣1 111、（﹣）（+）+2 +|﹣3|﹣2﹣1（4）（﹣2）×﹣6 114、 115、（2﹣）； 116、 ； 117、 118、． 119、． 120、 121、 122、+6a； ﹣×． 123、 124、（2）（7+4）（7﹣4）+（2+）125、 一道数学竞赛题的解法中蕴涵的数学思想方法 发表时间：2014-07-08T15:56:15.280Z 来源：《素质教育》2014年4月总第150期供稿作者：曾宪波[导读] 数学思想方法是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴。 曾宪波江西省赣州市南康区新世纪中英文学校341400 数学思想方法是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴。数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中。“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。 数学中渗透基本数学思想，如果能使它们落实到我们学习和应用数学中去，那么我们得到的是很多的。下面就全国初中数学竞赛初赛试题中的几种解法中，谈谈数学思想的重要性。 解法一：“特殊”思想。 “特殊”思想就是将一般问题特殊化，从事物的特殊性中去探求它的一般的普遍规律是一种重要的数学方法。由于事物的特殊性中包含着事物的普遍性，所以在研究某些有关一般值的数学问题而直接解答有困难时，我们可以不考虑一般值，而直接利用特殊值去研究解决，从而促使原问题获解。 此题由于四边形AEPH和四边形CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难，由题意可知，四边形CFPG的面积大小只与四边形AEPH的面积大小有关，而与它们的形状无关，因此我们可以采用“特殊”思想来解答。 解法二：“转化”思想。 “转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法。此题由于四边形AEPH和四边形CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难，我们就想能否把一般的四边形转化为我们熟悉的图形来解决。有题意可知，HE∥GF，所以可以利用同底等高的三角形面积相等，把四边形AEPH的面积转化为直角三角形AEM的面积来解决（如图）。 二次根式练习题 一.选择题(共4小题) 1.要使式子有意义,则x得取值范围就是() A.x＞1 B.x＞﹣1 C.x≥1 D.x≥﹣1 2.式子在实数范围内有意义,则x得取值范围就是() A.x＜1 B.x≤1 C.x＞1 D.x≥1 3.下列结论正确得就是() A.3a2b﹣a2b=2 B.单项式﹣x2得系数就是﹣1 C.使式子有意义得x得取值范围就是x＞﹣2 D.若分式得值等于0,则a=±1 4.要使式子有意义,则a得取值范围就是() A.a≠0 B.a＞﹣2且a≠0 C.a＞﹣2或a≠0 D.a≥﹣2且a≠0 二.选择题(共5小题) 5.使有意义,则x得取值范围就是. 6.若代数式有意义,则x得取值范围为. 7.已知就是正整数,则实数n得最大值为. 8.若代数式+(x﹣1)0在实数范围内有意义,则x得取值范围为. 9.若实数a满足|a﹣8|+=a,则a=. 四.解答题(共8小题) 10.若a,b 为实数,a=+3,求. 11.已知,求得值？ 12.已知,为等腰三角形得两条边长,且,满足,求此三角形得周长 13.已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+,求a+b+c得平方根. 14.若a、b为实数,且,求. 15.已知y＜++3,化简|y﹣3|﹣. 16.已知a、b满足等式. (1)求出a、b得值分别就是多少？ (2)试求得值. 17.已知实数a满足+=a,求a﹣20082得值就是多少？ 参考答案与试题解析 一.选择题(共4小题) 1.(2016?荆门)要使式子有意义,则x得取值范围就是() A.x＞1 B.x＞﹣1 C.x≥1 D.x≥﹣1 【解答】解:要使式子有意义, 故x﹣1≥0, 解得:x≥1. 则x得取值范围就是:x≥1. 故选:C. 2.(2016?贵港)式子在实数范围内有意义,则x得取值范围就是() A.x＜1 B.x≤1 C.x＞1 D.x≥1 【解答】解:依题意得:x﹣1＞0, 解得x＞1. 故选:C. 3.(2016?杭州校级自主招生)下列结论正确得就是() 一次函数竞赛试题 一．选择题： 1．直线y＝3X＋b 与两坐标轴围成的三角形面积为6，求与Y轴的交点坐标……………………………（） A、（0，2） B、（0，－2）（0，2） C、（0，6） D、（0，6）、（0，－6） 2．已知一次函数Y＝KX＋b ，当x =0时,y <0;,当y =0时,x >0,那么下列结论正确的是 ( ) A、k >0,b >0 B、k >0，b <0 C、k <0,b >0 D、k <0，b <0 3．某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米 （），再前进 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关 系示意图是（ ）。 4．.如图1，在一次函数3+-=x y 的图象上取点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴;垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（ ） （A ） 4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个 4．在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）个 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ） A 、k< 31 B 、3 1 < k <1 C 、k>1 D 、k>1或k<31 6．一次函数y=ax+b （a 为整数）的图象过点（98，19），交x 轴于（p,0）,交y 轴于（0，q ）,若p 为质数，q 为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.无数 7．当－1≤x ≤2时，函数6+=ax y 满足10二次根式基础测试题含答案
一次函数竞赛题归纳及其解法
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