高中微积分基本知识
高中微积分基本知识
第一章、 极限与连续
一、
数列的极限
1. 数列 定义:
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 1,
,,
n x x 叫数列,记作{}n x ,并吧每个数叫做数列的项,第n 个数叫做数列
的第n 项或通项 界的概念:
一个数列{}n x ,若0M ?>,..s t 对*n N ?∈,都有n x M ≤,则称{}n x 是有界的: 若不论M 有多大,总*m N ?∈,..s t m x M >,则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤,则a 称为n x 的下界,b 称为n x 的上界
{}n x 有界的充要条件:{}n x 既有上界,又有下界
2. 数列极限的概念 定义:
设{}n x 为一个数列,a 为一个常数,若对?0ε>,总?N ,..s t 当n N >时,有
n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限,记作lim n n x a →∞
=或()n x a n →→∞
数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的 几何意义:
从第1N +项开始,{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+ 3. 数列极限的性质
①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性:极限大小关系?数列大小关系(n N >时) 二、
函数的极限
1.定义:两种情形
①0x x →:设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,
0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,恒有()f x A ε-<成立, 则称()f x 在0x x →时有
极限A
记作0
lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→
几何意义:对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限:设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,
恒有()f x A ε-<成立,称()f x 在0x 处有右极限A , 记作0
lim ()x x f x A +
→=或0()f x A +
= 0
lim ()x x f x A →=的充要条件为:0
0()()f x f x +-
==A 垂直渐近线:当0
lim ()x x f x →=∞时,0x x =为()f x 在0x 处的渐近线
②x →∞:设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义,A 为常数,若对0ε?>,,..X b s t ?>当x X >时,有()f x A ε-<成立,则称()f x 在x →∞时有极限A ,记作
lim ()x f x A →∞
=或()()f x A x →→∞
lim ()x f x A →∞
=的充要条件为:lim ()lim ()x x f x f x A →+∞
→-∞
==
水平渐进线: 若lim ()x f x A →+∞
=或lim ()x f x A →-∞
=,则y A =是()f x 的水平渐近线
2.函数极限的性质:
①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性(②③在当00x x δ<-<时成立) 三、
极限的运算法则
1. 四则运算法则
设()f x 、()g x 的极限存在,lim (),lim ()f x A g x B ==则 ①lim ()()f x g x A B ±=± ②lim[()()]f x g x AB = ③()lim
()f x A
g x B
= (当0B ≠时) ④lim ()cf x cA = (c 为常数) ⑤lim[()]k k f x A = (k 为正整数) 2. 复合运算法则
设[()]y f x ?=,若0
lim ()x x x a ?→=,则0
lim [()]()x x f x f a ?→=
可以写成0
lim [()][lim ()]x x x x f x f x ??→→= (换元法基础)
四、极限存在准则及两个重要极限 1.极限存在准则 ①夹逼准则
设有三个数列{}n x ,{}n y ,{}n z ,满足
n n n y x z ≤≤ , lim lim n n n n y z a →∞
→∞
== 则lim n n x a →∞
=
②单调有界准则 有界数列必有极限 3. 重要极限
①0sin lim
1x x x →= ②1lim 1x
x e x →∞??
+= ???
或()1
0lim 1x x x e →+= 五、无穷大与无穷小 1.无穷小:
在自变量某个变化过程中lim ()0f x =,则称()f x 为x 在该变化过程中的无穷小
※ 若()0f x =,则()f x 为x 在所有变化过程中的无穷小
若()f x ε=,则()f x 不是无穷小 性质:1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小 4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理:lim ()f x A =的充要条件是()()f x A x α=+,其中()x α为x 在该变化中过程
中的无穷小
无穷小的比较:(趋于0的速度的大小比较)
(),()x x ααββ==,为同一变化过程中的无穷小
若lim
c α
β
=(0c ≠常数) 则α是β的同阶无穷小 (当1c =时为等价无穷小) 若lim
k c α
β
=(0c ≠常数) 则α是β的k 阶无穷小 若lim
0α
β
= 则α是β的高阶无穷小 常用等价无穷小:(0x →)sin tan arcsin arctan ln(1)
1x x
x
x
x
x
x e +-;
2
1cos 2
x x
-;(1)1x x βααβ+-;1ln x a x a - 2.无穷大:
设函数()f x 在0x 的某去心邻域内有定义。若对于0M ?>,0δ?>..s t 当
00x x δ<-<时,恒有()f x M >
称()f x 当0x x →时为无穷大,记作0
lim ()x x f x →=∞
定理:lim ()f x 1lim ()1lim ()f x f x ??
????
????
????
无穷大为无穷小无穷小为无穷大 (下:趋于某点,去心邻域不为0)
※ 无穷大的乘积为无穷大, 其和、差、商不确定 六、连续函数 1.定义
设函数()y f x =在0x 某邻域有定义,若对0ε?>,0δ?>..s t 当00x x δ<-<时,恒有: 0()()f x f x ε-<
也可记作 0
0lim ()()x x f x f x →= 或 0
lim 0x y ?→?=
00()()f x f x -=(或00()()f x f x +
=)为左(或右)连续
2.函数的间断点
第一类间断点:左右极限存在???
左右极限相等,该处无定义可去间断点左右极限不等跳跃间断点
第二类间断点:无穷间断点,震荡间断点等 3.连续函数的运算
若函数()f x 与()g x 都在x 处连续,则函数
()()f x g x ±,()()f x g x ,
()
()
f x
g x (()0g x ≠) 定理:[()]y f g x =,00()g x u =,若()g x 在0x 处连续,()f g 在0u 处连续,则
[()]y f g x =在0x 处连续
4. 闭区间连续函数的性质
① 最值定理:()f x 在[,]a b 上连续, 则12,x x ?,对一切[,]x a b ∈有
12()()()f x f x f x ≤≤
②介值定理:()f x 在[,]a b 上连续,对于()f a 与()f b 之间的任何数u ,至少?一点ξ,
..s t ()f u ξ=
第二章、 导数
一、导数的概念
定义:设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义,如果极限 000
()()
lim
x f x x f x x
?→+?-? 存在,则称函数()y f x =在点
0x 可导,极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数,记为'0()f x
单侧导数:设函数()y f x =在点0x 处的左侧00(,]x x δ-有定义,若极限 000
()()
lim x f x x f x x
-
?→+?-? 存在,则称此极限为函数
()y f x =在点0x 处的左导数,记为'0()f x -,类似有右导数'0()f x +
导函数:函数()y f x =在某区间上可导,则 '0
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-=?
性质:①函数()y f x =在点0x 处可导的充要条件''00()()f x f x -+= ②可导?连续
导数的几何意义: 函数点处的切线斜率 二、求导法则
1.函数的和、差、积、商的求导法则
定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数()()u x v x ±在x 处也可导,且 '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±
定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数()()u x v x 在x 处也可导,且
'''[()()]u x v x u v uv =+ 推论:若1,
,n u u 都在x 处可导,则函数12
n u u u 在x 处也可导,且
'''
'1212
12
12
[]n n n n u u u u u u u u u u u u =++
定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数
()
()
u x v x 在x 处也可导,且 '
''
2
()()u x u v uv v x v ??-=???? 2.反函数的求导法则
定理:设函数()x g y =在y I 上单调可导,它的值域为x I ,而'()0g y ≠,则其反函数
1()()y g x f x -==在区间x I 上可导,并且有
''1
()()
f x
g x = 4. 复合函数的求导法则
定理:若函数()u x ?=在0x 可导,函数()y f u =在点00()u x ?=可导,则复合函数
(())y f x ?=在0x 处可导
'''[(())](())()f x f x x ???= 或 dy dy du
dx du dx
=
(连锁规则) 三、高阶导数
定义:若函数()y f x =的导数''()y f x =仍可导,则''()y f x =导数为()y f x =的二
阶导数,记作2"
"
2,(),d y y f x dx , 类似的,有n 阶导数()()
,(),n n n n d y y f x dx
四、隐函数求导
对于[,()]0F x y x =,或[,()][,()]F x y x G x y x =,若求dy
dx
求导法:方程两侧对x 求导 微分法:方程两侧求微分