最新七年级数学一元一次方程单元测试卷附答案
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)
1.如图,动点A从原点出发向数轴负方向运动,同时,动点B也从原点出发向数轴正方向运动,运动到3秒钟时,两点相距15个单位长度.已知动点A、B的运动速度比之是3∶2(速度单位:1个单位长度/秒).
(1)求两个动点运动的速度;
(2)A、B两点运动到3秒时停止运动,请在数轴上标出此时A、B两点的位置;
(3)若A、B两点分别从(2)中标出的位置再次同时开始在数轴上运动,运动的速度不变,运动的方向不限,问:运动到几秒钟时,A、B两点之间相距4个单位长度?
【答案】(1)解:设点B的速度为2x个单位长度/秒,则点A的速度为3x个单位长度/秒,
根据题意得:3×(2x+3x)=15,
解得:x=1,
∴3x=3,2x=2,
答:动点A的运动速度为3个单位长度/秒,动点B的运动速度为2个单位长度/秒;
(2)解:3×3=9,2×3=6,
∴运动到3秒钟时,点A表示的数为﹣9,点B表示的数为6;
(3)解:设运动的时间为t秒,
当A、B两点向数轴正方向运动时,有|3t﹣2t﹣15|=4,
解得:t1=11,t2=19;
当A、B两点相向而行时,有|15﹣3t﹣2t|=4,
解得:t3= 或t4= ,
答:经过、、11或19秒,A、B两点之间相距4个单位长度.
【解析】【分析】(1)根据已知:动点A、B的运动速度比之是3∶2,因此设点B的速度为2x个单位长度/秒,则点A的速度为3x个单位长度/秒,根据两点相距15,列方程,求解即可。
(2)根据两点的运动速度,就快求出A、B两点运动到3秒时停止运动,就可得出它们的位置。
(3)设运动的时间为t秒,分两种情况:当A、B两点向数轴正方向运动时;当A、B两点相向而行时,分别根据A、B两点之间相距4个单位长度,列方程求出t的值。
2.综合题
(1)如图,、、是一条公路上的三个村庄,、间的路程为,、间的路程为,现要在、之间建一个车站,若要使车站到三个村庄的路程之和最小,则车站应建在何处?______
A.点处
B.线段之间
C.线段的中点
D.线段之间
(2)当整数 ________时,关于的方程的解是正整数.
【答案】(1)A
(2)或
【解析】【解答】(1)故答案为:A;(2)或
【分析】(1)根据图形要使车站到三个村庄的路程之和最小,得到车站应建在C处;(2)根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一;求出m的值.
3.同学们都知道,|4﹣(﹣2)|表示4与﹣2的差的绝对值,实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索:
(1)|4﹣(﹣2)|的值.
(2)若|x﹣2|=5,求x的值是多少?
(3)同理|x﹣4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x﹣4|+|x+2|=6,写出求解的过程.
【答案】(1)解:∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,
∴|4﹣(﹣2)|=6.
(2)解:|x﹣2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5,
∵﹣3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5,
∴若|x﹣2|=5,则x=﹣3或7.
(3)解:∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,
∴使得|x﹣4|+|x+2|=6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数(包括﹣2和4),
∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4.
【解析】【分析】(1)根据4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,可得|4-(-2)|=6.(2)根据|x-2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5,可得x=-3或7.(3)因为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,所以使得|x-4|+|x+2|=6成立的整数是-2和4之间的所有整数(包括-2和4),据此求出这样的整数有哪些即可.
4.如图1,已知,在内,在内,
.
(1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时,如图2,
________ ;
(2)若图1中的平分,则从图1中的位置绕点逆时针旋转到与
重合时,旋转了多少度?
(3)从图2中的位置绕点逆时针旋转,试问:在旋转过程中的度数是否改变?若不改变,请求出它的度数;若改变,请说明理由.
【答案】(1)100
(2)解:∵平分,
∴,
设,
则,,
由,
得:,
解得:,
∴从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时,旋转了12度;
(3)解:不改变
①当时,如图,
,,
∵,,
∴
;
② 时,如图,
此时,与重合,
此时,;
③当时,如图,
,,
;
综上,在旋转过程中,的度数不改变,始终等于
【解析】【解答】(1)解:由题意:∠EOF= ∠AOB+ ∠COD=80°+20°=100°
【分析】(1)根据∠EOF=∠BOE+∠BOF计算即可;(2)设,得,,再根据列方程求解即可;(3)分三种情形分别计算即可;
5.已知:如图所示,O为数轴的原点,A,B分别为数轴上的两点,A点对应的数为﹣30,B点对应的数为100.
(1)A、B的中点C对应的数是________;
(2)若点D数轴上A、B之间的点,D到B的距离是D到A的距离的3倍,求D对应的数.(提示:数轴上右边的点对应的数减去左边对应的数等于这两点间的距离);
(3)若P点和Q点是数轴上的两个动点,当P点从B点出发,以6个单位长度/秒的速度向左运动时,Q点也从A点出发,以4个单位长度/秒的速度向右运动,设两点在数轴上的E点处相遇,那么E点对应的数是多少?
【答案】(1)35
(2)解:设点D对应的数是x,则由题意,
得100﹣x=3[x﹣(﹣30)]
解得,x=2.5
所以点D对应的数是2.5.
(3)解:设t秒后相遇,
由题意,4t+6t=130,
解得,t=13,
BE=100﹣6t=78,
100﹣78=22
答:E点对应的数是22.
【解析】【解答】解:(1)点A表示的数是﹣30,点B表示的数是100,
所以AB=100﹣(﹣30)=130
因为点C是AB的中点,
∴AC=BC==65
A、B的中点C对应的数是100﹣65=35.
故答案为:35.
【分析】(1)根据点A和点B的坐标,求出AB之间的距离,取其中点,找出C点对应的数字即可。
(2)根据题意,可以设点D对应的数为x,根据其与AB两点之间的距离关系,列出方程解出x的值,即可得到D点对应的坐标。
(3)根据题意设二者相遇的时间为t,根据二者运动的距离之和为线段AB的长度列出方程,解出t的值,即可得到E点对应的数。
6.一般情况下不成立,但有些数可以使得它成立,例如:.我
们称使得成立的一对数,为“相伴数对”,记为 .
(1)若是“相伴数对”,求的值;
(2)若是一个“相伴数对”,请将所满足的等式化为,其中均为整数的形式(如);
(3)若是“相伴数对”,求代数式的值.
【答案】(1)解:根据题意得:,
解得b=;
(2)解:根据题意得:,即,
∴,
∴;
(3)解:∵是“相伴数对”,
∴,
∴,
∴原式
.
【解析】【分析】(1)根据“相伴数对”的定义列出方程求解即可;(2)根据“相伴数对”的定义列出等式,然后去分母,化简即可;(3)由(2)可得,变形得,然后对所求式子进行化简,代入计算即可.
7.光华中学在运动会期间准备为参加前导队的同学购买服装(前导队包括花束队、彩旗队和国旗队)其中花束队有60名同学,彩旗队有30名同学,国旗队有10名同学,已知花束队的服装与彩旗队的服装单价比为4:3,国旗队的服装单价比彩旗队的服装单价多5元。(1)若购买花束队和国旗队的服装一共花去6800元,求每个队服装的单价分别是多少
元?
(2)国庆来临之际恰逢商店搞活动,有以下三种优惠方案:
A方案:花束队的服装超过2000元的部分打九折,其它两队按原价出售;
B方案:彩旗队的服装买五送一,其它两队按原价出售;
C方案:国旗队的服装打三折,其它两队按原价出售;请你帮助学校计算一下选择哪种方案购买前导队的服装合算?
(3)在(2)的条件下商店卖出这些服装共获利20%,请你算一算商店购进这些服装的成本是多少元?
【答案】(1)解:设花束队的服装单价为4x元,则彩旗队服装单价为3x元,则国旗队服装单价为3x+5.根据题意
解得x=25,则4x=100, 3x=75,3x+5=80
故花束队服装单价100元,彩旗队的服装单价75元,国旗队的服装单价80元.
(2)解:A方案优惠的费用为:元
B方案优惠的费用为:6×75=450元
C方案优惠的费用为:80×10×0.7=560元.
因为C方案优惠的费用最多,
故答案为:择C方案比较划算.
(3)解:选择C费用时,花费元.
设购进这些服装的成本是a元,则根据题意
解得a=7075元.
商店购进这些服装的成本是7075元.
【解析】【分析】(1)由花束队的服装与彩旗队的服装单价比为4:3,可设花束队的服装单价为4x元,则彩旗队服装单价为3x元,根据购买花束队服装费用+国旗队的服装费用=6800,列出方程,解出方程即可.
(2)根据优惠方案,分别求出A、B、C优惠的费用,然后比较即可.
(3)设购进这些服装的成本是a元,根据成本×(1+20%)=C方案的费用,列出方程,求出a值即可.
8.郑老师想为希望小学四年(3)班的同学购买学习用品,了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元,用124元恰好可以买到3个书包和2本词典.
(1)每个书包和每本词典的价格各是多少元?
(2)郑老师有1000元,他计划为全班40位同学每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后,余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品,共有哪几种购买书包和词典的方案?
【答案】(1)解:设每个书包的价格为x元,则每本词典的价格为(x-8)元.根据题意,得
3x+2(x-8)=124.
解得x=28.
∴x-8=20.
答:每个书包的价格为28元,每本词典的价格为20元.
(2)解:设购买书包y个,则购买词典(40-y)本.根据题意,得
解得10≤y≤12.5.
因为y取整数,所以y的值为10或11或12.
所以有三种购买方案,分别是:
①书包10个,词典30本;
②书包11个,词典29本;
③书包12个,词典28本.
【解析】【分析】(1)设每个书包的价格为x元,则每本词典的价格为(x-8)元,由“用124元恰好可以买到3个书包和2本词典”可列方程求解即可;(2)设购买书包y 个,则购买词典(40-y)本,根据“ 余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品”可列不等式组,求解不等式组的正整数解集即可。
9.我们知道,分数可以写成无限循环小数的形式,即;反之,无限循环小数也可以写成分数形式,即 = 事实上,任何无限循环小数都可以写成分数形式.例:无限循环小数写成分数形式为方法步骤如下:
解:∵=0.777……
设则
②-①得
∴ =
同理可得 = =1+ =
根据以上阅读,解答下列问题:
(1) =________, =________;
(2)用题中所给的方法比较与8的大小: ________8(填“>”、“<”或“=”). (3)将写成分数形式,请写出解答过程;
(4)将写成分数形式,请直接写出结果.
【答案】(1);5
(2)=
(3)解:设 =x,由=0.3535…可知,100x-x=
35,
即100x-x=35.
解方程,得x= ,
于是,得
(4)解:设 =x,由=0.423423…可知,1000x-x=423. =423,即1000x-x=423.
解方程,得x= ,
于是,得. =
【解析】【解答】解:(1)设 =x,由=0.666…得,10x-x=6.
解方程,得x= = .
于是,得 = .
设 =x,由=0.222…得,10x-x=2.
解方程,得x= ,
∴ =5
故答案为:,5 ;
( 2 )设 =x,由=0.999…得,10x-x=9.
解方程,得x=1,
∴ =8,
故答案为:=;
【分析】(1)设 =x,由=0.666…得,10x-x=6.解方程即可得到结论,设 =x,由=0.222…得,10x-x=2.解方程加5即可;(2)设 =x,由==0.999…得,10x-x=9.解方程即可得到结论;(3)设 =x,由=0.3535…得,100x-x=35,解方程即可得到结论;(4)设 =x,由=0.423423…得,1000x-x=423.解方程即可得到结论.
10.(阅读理解)如果点M,N在数轴上分别表示实数m,n,在数轴上M,N两点之间的距离表示为或或 .
利用数形结合思想解决下列问题:已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度,点A 在原点的左侧,到原点的距离为24个单位长度,点B在点A的右侧,点C表示的数与点B 表示的数互为相反数,动点P从A出发,以每秒2个单位的速度向终点C移动,设移动时间为t秒.
(1)点A表示的数为________,点B表示的数为________.
(2)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离: ________, ________. (3)当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒4个单位的速度向C点运动,Q点到达C点后,立即以同样的速度返回,运动到终点A,在点Q开始运动后,P、Q两点之间的距离能否为2个单位?如果能,请求出此时点P表示的数;如果不能,请说明理由. 【答案】(1);
(2)2t;
(3)解:设点Q运动了m秒,则m秒后点P表示的数是 .
当,m秒后点Q表示的数是,则
,解得或7,
当m=5时,-12+2m=-2,
当m=7时,-12+2m=2,
∴此时P表示的是或2;
当时,m秒后点Q表示的数是,
则,
解得,
当m= 时,-12+2m= ,
当m= 时,-12+2m= ,
此时点P表示的数是 .
答:P、Q两点之间的距离能为2,此时点P点Q表示的数分别是,2, .
【解析】【解答】解:设A表示的数为x,设B表示的数是y.
,
∴
又
故答案为:; .
( 2 )由题意可知:秒后点P表示的数是,点A表示数,
点C表示数12
, .
故答案为:2t;。
【分析】(1)因为点A在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度,所以点A表示数?24;点B在点A右侧且与点A的距离为12个单位长度,故点B表示:?24+12=?12;(2)因为点P从点A出发,以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C运动,则t秒后点P表示数?24+2t(0≤t≤18,令?24+2t=12,则t=18时点P运动到点C),而点A表示数?24,点C表示数12,根据两点间的距离公式即可表示出PA,PC的长;
(3)以点Q作为参考,则点P可理解为从点B出发,设点Q运动了m秒,那么m秒后点Q表示的数是?24+4m,点P表示的数是?12+2m,再分两种情况讨论:①点Q运动到点C之前;②点Q运动到点C之后根据两点间的距离公式列出方程求解即可解决问题。
11.数轴上点A对应的数为,点B对应的数为,且多项式的二次项系数为,常数项为 .
(1)直接写出: ;
(2)数轴上点A、B之间有一动点P,若点P对应的数为,试化简
;
(3)若点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动;同时点N从点B 出发,沿数轴每秒2个单位长度的速度向左移动,到达A点后立即返回并向右继续移动,求经过多少秒后,M、N两点相距1个单位长度?
【答案】(1)-2|5
(2)解:∴数轴上点A对应的数为a,点B对应的数为b,
∴数轴上点A对应的数为?2,点B对应的数为5,
∵数轴上点A、B之间有一动点P,点P对应的数为x,
∴?2<x<5,
∴2x+4>0,x?5<0,6?x>0,
∴|2x+4|+2|x?5|?|6?x|=2x+4?2(x?5)?(6?x)=2x+4?2x+10?6+x=x+8
(3)解:设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,
由运动知,AM=t,BN=2t,
①当点N到达点A之前时,
a、当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度,
∴t+1+2t=5+2,
∴t=2秒,
b、当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,
∴t+2t?1=5+2,
∴t=秒,
②当点N到达点A之后时,
a、当N未追上M时,M、N两点相距1个单位长度,
∴t?[2t?(5+2)]=1,
∴t=7秒;
b、当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,
∴[2t?(5+2)]?t=1,
∴t=8秒;
即:经过2秒或秒或7秒或8秒后,M、N两点相距1个单位长度.
【解析】【解答】(1)解:∵多项式6x3y?2xy+5的二次项系数为a,常数项为b,
∴a=?2,b=5,
故答案为:?2,5
【分析】(1)根据多项式的定义可求出a、b的值.
(2)由于数轴上点A、B之间有一动点P,可得出?2<x<5,从而可得2x+4>0,x?5<0,6?x>0,根据绝对值的性质将原式化简,即可求出结论.
(3)设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,由运动知,AM=t,BN=2t,①当点N到达点A之前时,分两种情况:当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度或当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,②当点N到达点A之后时,分两种情况:当N未追上M时,M、N两点相距1个单位长度或当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,据此分别列出方程,求出t值即可.
12.如图是一种数值转换机的运算程序
(1)若第1次输入的数为x=1,则第1次输出的数为4,则第10次输出的数为________;若第1次输入的数为12,则第10次输出的数为________.
(2)若输入的数x=5,求第2010次输出的数是多少?
(3)是否存在输入的数x,使第3次输出的数是x?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)4;3
(2)解:第一次输出x+3=5+3=8,
第二次输出x=×8=4,
第三次输出x=×4=2,
第四次输出x=×2=1,
第五次输出x+3=1+3=4,
第六次输出x=×4=2,
第七次输出x=×2=1,
……
∴除去第一次,以4,2,1循环,
∵(2010-1)÷3=669 (2)
∴第2010次输出的数为2.
(3)解:①当输入的数x为偶数时,
∴××x=x,解得:x=0;
×x+3=x,解得:x=4;
×(x+3)=x,解得:x=2;
②当输入的数x为奇数时,
×(x+3)+3=x,解得:x=9;
×x(x+3)=x,解得:x=1;
综上所述:x=9或1,x=0或4或2.
【解析】【解答】解:(1)第一次输出x+3=1+3=4,
第二次输出x=×4=2,
第三次输出x=×2=1,
……
∴以4,2,1循环,
∵10÷3=3……1,
∴第10次输出的数是4;
第一次输出x=×12=6,
第二次输出x=×6=3,
第三次输出x+3=3+3=6,
第四次输出x=×6=3,
……
∴以6,3循环,
∵10÷2=5,
∴第10次输出的数是3;
故答案为:4,3.
【分析】(1)由图知:当输入的数x为偶数时,输出x;当输入的数x为奇数时,输出x+3,按此规律计算找出规律即可求解.
(2)由图知:当输入的数x为偶数时,输出x;当输入的数x为奇数时,输出x+3,按此规律计算找出规律即可求解.
(3)分情况讨论:①当输入的数x为偶数时,②当输入的数x为奇数时,按照图中规律分情况列出方程,解之即可得出答案.