高三数学上学期第三次月考试题理
安徽省桐城中学2019届高三数学上学期第三次月考试题理
一、单选题（每题5分，共60分）
1．下列说法错误的是（）
A．对于命题，则
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若命题为假命题，则都是假命题
D．命题“若，则”的逆否命题为：
“若，则”
2．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
3．函数的零点所在的区间为（）
A．B．C．D．
4．设，，，则a，b，c的大小关系是
A．B．C．D．
5．（）
A．B．C．D．
6．函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．
7．已知函数且的最大值为,则的取值范围是（）A．B．C．D．
8．若在上是减函数，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
9．已知定义在R 上的函数
满足，且的导数在R 上恒有，则不等式
的解集为( )
A ． (－∞，－1)
B ． (1，＋∞)
C ． (－∞，－1)∪(1，＋∞) D． (－1,1) 10．若函数的图象如图所示，则的范围为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
11．若，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若曲线2
1:C y x =与曲线2:x
e C y a
=（0a >）存在公共切线，则a
的取值范围为（ ）
A ． ()01，
B ． 214e ??
???
， C ．
2,24e ??
???? D ． 2,4e ??+∞????
二、填空题（每题5分，共20分） 13．5．函数
的部分图象如图所示,则
__________． 14．已知：；：
，
且
是
的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________.
15．己知函数
．若函数
在定义域内不是单调函数，则实数
的取值范围是__________． 16．已知函数()21
2
x f x x e =+-
（0x <）与()()2ln g x x x a =++，若函数()f x 图像上存在点P 与函数()g x 图像上的点Q 关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________． 三、解答题
17．（10分）已知函数
.
（Ⅰ）求
的最小周期和最小值，
（Ⅱ）将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的
图像.当x 时，求
的值域.
18．（12分）已知函数()(
)
()1
2log 12
4,x x f x a bx a b R +=+++∈.
（Ⅰ）若1a =，且()f x 是偶函数，求b 的值；
（Ⅱ）若4a =，且()()(){}
11A x f x b x ==++=?，求实数b 的取值范围.
19．设函数=[
]．
（1）若曲线在点（1，
）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
20．已知函数， （1）求函数
的单调区间；
（2）证明：对一切
，都有
成立.
21．已知函数．
（1）求函数在上的值域；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
22．已知函数．
(I)讨论的单调性；
(II)若有两个零点,求的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题知A正确；由于可得，而由得或，所以“”是“”的充分不必要条件正确；命题为假命题，则不一定都是假命题，故C错；根据逆否命题的定义可知D正确，故选C.
2．C
【解析】
【分析】
先根据指数函数的性质求出集合，再求解分式不等式化简集合，然后由交集运算性质得答案．
【详解】
，，
∴，故选B.
【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，指数函数的值域问题，解题的关键是认清集合，是基础题．
3．B
【解析】
【分析】
判断函数单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=3＞0，即可判断．
【详解】
∵函数单调递增，
∴f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=3＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，
故选B．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．
4．C
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【详解】
，
，
，
，b，c的大小关系是．
故选：C．
【点睛】
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．D
【解析】
【分析】
利用积分的运算公式和定积分的几何意义即可求得结果
【详解】
为奇函数
又表示半圆的面积
故选
【点睛】
本题主要考查了积分的基本运算，以及定积分的几何意义，只要根据计算法则即可求出结果，注意几何意义。
6．C
【解析】
【分析】
由三角函数图象确定满足条件，解得结果.
【详解】
由题意得，选C.
【点睛】
本题考查三角函数图象与性质，考查基本求解能力.
7．A
【解析】
【分析】
对进行分类讨论，当时，和当时，．由最大值为1得到的取值范围．
【详解】
∵当时，，
∵函数且的最大值为
∴当时，．，
解得
故选：A．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，注意分类讨论思想的合力应用．
8．C
9．C
10．B
【解析】分析：,当时,的根
详解：（1）
（2），整理可得，由图可知，或者，解得
由（1）（2）可知，故选B
点睛：由图像求参数的取值范围，抓住关键点（零点、已知坐标的点、极值点、最值点）的位置，往往利用导数研究函数的关键点的位置。
11．C
【解析】
【分析】
利用特值法可判断错误，构造函数利用导数可的在上递减，从而可得结果.【详解】
对，时，，故错误；
对，时，，故错误；
设，
时，，在上递减，
，可得，错误，正确，故选C.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形
状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
12．D
【解析】2
y x =在点(
)
2
,m m 的切线斜率为2m , x
e y a =在点,
n e n a
?? ???
的切线的斜率为e n
a ,故
e 2n m a =,由斜率公式得2
2n
e m a m m n
-=-,即22m n =-,则e 44n n a -=有解.由44y x =-,
e x
y a
=的图象有交点即可,相切时有2e 4a =,所以2e 4a ≥,故选D.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,过曲线上某点出的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题.要求曲线上某点的切线方程,需要到两个量,一个是切点,一个是切线的斜率,分别求得切点和斜率,然后根据点斜式可写出切线方程. 13．
14．m≥9 【解析】 【分析】
根据?p 是?q 的必要不充分条件，转化为p 是q 的充分不必要条件，建立不等式关系进行求解即可 【详解】 已知
,解得-2x 10, 已知x 2-2x+1-m 2≤0得（x-1）2≤m 2 ，∵m＞0∴1-m≤x≤1+m ∵?p 是?q 的必要不充分条件∴q 是p 的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件 ∴ 且等号不能同时成立
∴m≥9 【点睛】
本题考查了充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键.
15．
【解析】 【分析】
转化为函数在定义域内有极值点求解，分离参数后得，从而求出函数
的值域
即可． 【详解】 由函数在定义域
内不单调，得函数
在定义域内有极值点．
∵， ∴，
∴．
令，则
，
∴函数在上单调递增，在上单调递减， 又时，
，
，
∴
．
∴实数的取值范围是．
【点睛】
解答本题的关键在于将问题进行转化，即把函数在定义域内不单调的问题转化为导函数在定义域内有变号零点的问题求解，同时解题中要结合函数的图象求解，体现了数形结合在解题中的应用． 16．(e -∞
【解析】设点()000,0P x y x <（）
在函数()f x 上，由题意可知，点P 关于y 轴的对称点()00',P x y -在函数()
g x 上，所以()
0200001
{ 2(x y x e y ln x a -
=+-
=+-+，消0y ，可得
()()02
20001=ln 2x x e x x a +--+-+，即()0001ln -=0(0)2
x e x a x --+<，所以
()0001
-=ln (0)2
x e x a x -+<
令()1
-(0)2
x m x e x =<， ()()ln (0)n x a x x =-<，问题转化为函数()m x 与函数()n x 在
0x <时有交点。在平面直角坐标系中，分别作出函数()m x 与函数()n x 的图象，如图所示，
()()()ln =ln n x a x x a ??=---??，当()()ln n x a x =-过点1
02
（，）时，解得a e = 。 由图可知，当a e <
时，函数()m x 与函数()n x 在0x <时有交点.
17．（1）最小正周期为，最小值为；（2）
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）借助题设和二倍角公式将其化为求解；（Ⅱ）借助题设条件
和正弦函数的最大值最小值求解． 试题解析: （1）
,
因此
的最小正周期为，单调递增区间为
（2）由条件可知：．
当
时，有
，
从而的值域为，
那么的值域为
．
故
在区间
上的值域是
．
考点：三角函数的图象和性质等有关知识的综合运用． 18．(1) 1b =-;(2) ()2,log 3-∞
【解析】试题分析：(1)由()()0f x f x --=，得： 2122log 2012x
x
bx -++=+，即220x bx +=，
1b =-；
（2）()f x 在(),1-∞-上有意义?对任意(),1x ∈-∞-， 1
12
40x x a +++>恒成立，变量
分离得： 11242x x a ????>-- ? ?????恒成立，令()1
1142x x g x -????
=-- ? ?
????
，求此函数的最值即可；
（3）
()()(){}11A x f x b x ==++=??方程221log 2212x x b +??
++=+ ???无实根，又
2221log 22log 62x x +??
++≥ ???
，即2log 3b <时A =?.
试题解析：
（Ⅰ）当1a =时， ()(
)()
1
22log 12
42log 12x x x f x bx bx +=+++=++，
若()f x 是偶函数，则()()0f x f x --=，即2
122log 2012
x
x
bx -++=+， 即220x bx +=，所以1b =-.
（Ⅱ）当4a =时， ()()()(
)
1
1211log 12
41x x f x b x x b ++=++?++-=+
221log 2212x x b +??
?++=+ ???
，
由A =?可得方程2
21log 2212x x
b +??++=+
???
无实根，
因为
221122222622x x x x ++++≥?+=， 2
221log 22log 62x x +??++≥ ???
所以，当21log 6b +<，即2log 3b <时A =?， 故实数b 的取值范围是()2,log 3-∞. 点睛：恒成立问题处理策略：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >. 19．(1) 1 (2)（，
）
【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a ；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，
根据是否满足
在x =2处取得极小值，进行取舍，最后可得a 的取值范围．
详解：解：（Ⅰ）因为
=[
]，
所以f ′（x ）=［2ax –（4a +1）］e x +［ax 2–（4a +1）x +4a +3］e x （x ∈R ） =［ax 2–（2a +1）x +2］e x ．
f ′(1)=(1–a )e ．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1． 此时f (1)=3e≠0． 所以a 的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x =（ax –1）(x –2)e x ． 若a >，则当x ∈(，2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )>0． 所以f (x )<0在x =2处取得极小值．
若a ≤，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤x –1<0， 所以f ′(x )>0．
所以2不是f (x )的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
20．(1)递增区间是，递减区间是；(2)证明见解析.
【解析】分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）对一切，都有成立等价于m对一切恒成立，利用导数可得+的最小值为，从而可得结果；（3）原不等式等价于即，由（1）可得的最大值为，利用导数可证明的最小值为，从而可得结论.
详解：（1），得由，得
∴的递增区间是，递减区间是
（2）证明：等价于，即f(x)<
由（1）知，（当时取等号）
令，则，易知在递减，在递增
∴（当时取等号）∴对一切都成立
则对一切，都有成立.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.
21．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，确定函数在上单调性和最值，即可求出函数在上的值域；
（2）通过构造函数，将问题转化为在区间上问题，求
导函数，通过分类讨论确定实数的取值范围．
【详解】
解：（1）易知，
在上单调递减，，
时，，
在上的值域为．
（2）令，
则，
①若，则由（1）可知，，在上单调递增，
，与题设矛盾，不符合要求；
②若，则由（1）可知，，在上单调递减，
，符合要求；
③若，则，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
，，
．
由题：，即，，
即．