向量集体备课
平面向量
李振麟
【知识特点】
平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考查的重点。对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点。
【重点关注】
1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。
2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题。向量与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知识的综合问题。对学生能力的考查有较高的要求。
3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。
【地位和作用】
向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归和数形结合的思想。向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。在运用向量知识时，充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。
通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：
1、考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题；
2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识交汇处命题；
3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的
运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。
4.1平面向量
【高考目标定位】
一、平面向量的概念及其线性运算
1、考纲点击
（1）了解向量的实际背景；
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
（3）理解向量的几何表示；
（4）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
（6）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
2、热点提示
（1）重点考查平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示；
（2）多以选择、填空的形式呈现，有时和其他知识相结合，在知识的交汇点处命题。
二、平面向量的基本定理及坐标表示
1、考纲点击
（1）了解平面向量的基本定理及其意义；
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
2、热点提示
（1）向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点，常以选择、填空题的形式出现，为中、低档题；
（2）向量的坐标运算常与三角，解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题的形式呈现，属中档题。
三、平面向量的数量积及平面向量应用举例
1、考纲点击
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
（5）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
（6）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
2、热点提示
（1）平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题的高考命题的热点，多以选择、填空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变；
（2）可与三角函数、解析几何等知识综合命题，是高考的另一个热点。
【考纲知识梳理】
一、平面向量的概念及其线性运算
1、向量的有关概念及表示方法
（1）向量的有关概念
（2）向量的表示方法
①字母表示法，如：,a AB等；
②几何表示法：用一条有向线段表示向量。 2、向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的
运算
（1）交换律：
a b b a +=+。
（2）结合律：
()()a b c a b c ++=++
减法 求a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a 与b 的差
数乘
求实数λ与向量
a 的积的运算
（1）.a a λλ= （2）当λ>0时，a λ与
a 的方向相同；当λ<0
时, a λ与a 的方向相反；当λ=0时, a λ=0
()();a a λμλμ=
();a a a λμλμ+=+
()a b a b λλλ+=+
注：式子2222
||||2(||||)a b a b a b ++-=+的几何意义为：平行四边形两条对角线的
平方和等于它们四条边的平方和。
3、向量(0)a a ≠与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ，使.b a λ=
注：用向量法证明三点A 、B 、C 共线时，首先求出AB AC 、
，然后证明AB AC λ=，即AB AC 与共线即可。
二、平面向量的基本定理及坐标表示 1、两个向量的夹角 （1）定义
已知两个非零向量a 和b ，作,OA a OA b ==，则∠AOB=θ叫做向量a 与b 的夹角。 （2）范围
向量夹角θ的范围是00
≤θ≤1800
，a 与b 同向时，夹角θ=00
；a 与b 反向时，夹角θ
=1800
。
（3）向量垂直
如果向量a 与b 的夹角是900
，则a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
注：在ΔABC 中，设,AB a BC b ==，则向量a 与b 的夹角为∠ABC 是否正确？（答：不正确。求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a 与b 的夹角为π-∠ABC ）。
2、平面向量基本定理及坐标表示 （1）平面向量基本定理
定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+。
其中，不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 （2）平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 （3）平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一实数x,y,使a xi y j =+，把有序数对（x,y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x,y ）,其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。
②设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标（x,y ）就是终点A 的坐标，即若OA =（x,y ），则A 点坐标为（x,y ），反之亦成立。（O 为坐标原点）
3、平面向量的坐标运算 （1）加法、减法、数乘运算
（2）向量坐标的求法
已知A （x1,y1），B(x2,y2)，则AB =（x2-x1，y2-y1），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标。
（3）平面向量共线的坐标表示
设a =（x1,y1），b =(x2,y2)，其中b ≠0，则a 与b 共线?a =λb ? x1y2- x2y1=0。 注：a =（x1,y1），=(x2,y2)，，则a //b 的充要条件不能写成1122
x y
x y =，因为x2,y2有可能为0，故应表示成x1y2- x2y1=0。
【热点难点精析】
一、平面向量的概念及其线性运算 （一）向量的有关概念 ※相关链接※
1、着重理解向量以下几个方面：
（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。 2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系； （2）单位向量的长度及方向。 ※例题解析※
【例1】给出下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②若,AB DC =则ABCD 为平行四边形； ③若//,//,a b b c a c =则； ④若//,//,//a b b c a c 则。
其中正确命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
思路解析：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键。注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反倒即可。
解答：选B 。①错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段。②错，因为,AB DC =则可能A 、B 、C 、D 四点在一条直线上。③正确。④错，若0b =，则对不共线的向量a 与c ，也有a //0，0//c ，但a 与c 不平行。
【例2】下列结论中，不正确的是 （ ） （A ） 向量AB ，CD 共线与向量AB //CD 同义； （B ） 若向量AB //CD ，则向量AB 与DC 共线； （C ） 若向量AB =CD ，则向量BA =DC ； （D ） 只要向量a ，b 满足|a |=|b |，就有a =b 。
解答：选D 。根据平行向量（或共线向量）定义知A ，B 均正确；根据向量相等的概念知C 正确，D 不正确。
（二）向量的线性运算 ※相关链接※
（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；
（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。
注：若A 为BC 的中点，则
※例题解析※ 〖例1〗在ΔABC 中，
2
,//DE N
3
AD AB DE BC AC
=交于E,BC
边上的中线AM交于。
,,,BC D DN AM
AB a AC b a b AE E AN
==用表示向量、、、、、。
思路解析：解本题要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如
211
,,
333
AB AD DB AB a
===
11
.
33
BD AB a
=-=-在进行计算时要充分利用//
DE BC ADE
??∽ΔABC，ΔADN∽ΔABM等条件。
解答：
||
22
2
33
3
DE BC
AE AC b
AD AB
?
?
?==
?
=
??
.
BC AC AB b a
=-=-由ΔADE∽ΔABC，得
22
()
33
DE BC b a
==-，又AM是ΔABC 的中线，DE//BC，且AM与DE交于点N，得
11
().
23
DN DE b a
==-
111
()()
222
AM AB BM a BC a b a a b
=+=+=+-=+〖2〗在ΔOAB中，
延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使
1
3
DB OB
=。DC与OA交于E，设,,
OA a OB b
==用,a b表示向量OC及向量DC。
解答：∵A是BC的中点，∴
1
()
2
OA OB OC
=+，即22,
OC OA OB a b
=-=-
225
22.333
DC OC OD OC OB a b b a b =-=-=--=-
（三）向量的共线问题
〖例〗设两个非零向量a 与b 不共线，
（1） 若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A 、B 、D 三点共线； （2） 试确定实数k ，使ka b +和a kb +共线
思路解析：（1）由已知求BD →判断AB 和BD 的关系→判断A 、B 、D 的关系；（2）应用共线向量的充要条件→列方程组→解方程组得k 值。
解答：（1）∵,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-
∴283()28335()5BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+= ∴AB 、BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线
（2）∵ka b +和a kb +共线，∴存在实数λ，使ka b +=λ（a kb +），即
ka b +=a kb λλ+。∴()(1).k a k b λλ-=-∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴
k λ-=1k λ-，∴2k -1=0。∴k =±1。
注：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想。
（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。
二、平面向量的基本定理及坐标表示 （一）平面向量基本定理及其应用 ※相关链接※
1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同；
2、对于两个向量a ，b ，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映a 与b 的关系；
3、利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量
的加减运算或进行数乘运算。
注：由于基底向量不共线，所以0不能作为一个基底向量。 ※例题解析※
〖例〗如图：在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的
中点，已知,,AM c AN d ==试用,c d 表示,AB AD 。
思路解析：直接用,c d 表示,AB AD 有难度，可换一个角度，由,AB AD 表示AM ，
AN ，进而解方程组可求,AB AD 。
解答：方法一：设
则
将②代入①得
得
方法二：设
因M ，N 分别为CD ，BC 中点，所以
因而
即
（二）平面向量的坐标运算
1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；
2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；
3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数；
4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。
※例题解析※
〖例〗已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）。设,,AB a BC b ==且3,2,CM c CN b ==-求：
（1）33;a b c +-
（2）满足a mb nc =+的实数m,n; （3）M 、N 的坐标及向量MN 的坐标。
思路解析：利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解。 解答：由已知得(5,5),(6,3),(1,8).a b c =-=--=
（1）33a b c +-=3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（15-6-3，-15-3-24）=（6，-42）
（2）∵(6,38)(5,5),mb nc m n m n +=-+-+=-
∴651
,3851
m n m m n n -+==-???
?
-+=-=-??解得 （3）∵3CM OM OC c =-=，∴3(3,24)(3,4)(0,20)OM c OC =+=+--=。∴M （0，20）又∵2CN ON OC b =-=-，∴2(12,6)(3,4)(9,2),ON b OC =-+=+--=∴N （9，2）。∴(9,18)MN =-。
（三）平面向量共线的坐标表示
1、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；
2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。
※例题解析※
〖例〗已知(1,2),(3,2),a b ==-当k 为何值时，ka b +与3a b -平行；平行时它们是同向还是反向？
思路解析：将ka b +用坐标表示→将3a b -用坐标表示→应用共线向量的充要条件求k →把k 代入向量判断结果。
解答：∵ka b +=k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），3a b -=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），∴ka b +与3a b -平行等价于（k-3）（-4）-10（2k+2）=0，解得k=1
3
-。故当k=13-
时，ka b +与3a b -平行。此时ka b +=11
(3)33
a b a b -+=--，∴ka b +与3a b -反向。
注：向量平行的坐标公式裨是把向量问题转化为实数的运算。通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用。
（四）向量与其他知识的综合
〖例〗已知向量(,)u x y =现向量(,2)v y y x =-的对应关系用()v f u =表示。 （1）设(1,1),(1,0)a b ==，求向量()f a 与()f b 的坐标； （2）求使()(,)()f c p q p q c =、为常数的向量的坐标；
（3）证明：对任意的向量a b 、
及常数m,n 恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+成立。 思路解析：本题关键是找出“函数” ()v f u =的对应关系，此处的变量为向量的坐标，因此，可通过坐标运算来解决问题。
解
答
：
（
1
）
(1,1),()(1,211)(1,1)
a f a =∴=?-=又
(1,0),()(0,201)(0,1).b f b =∴=?-=-